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古埃及數(shù)學(xué)

雖然關(guān)于古埃及文明的古老程度眾口不一,但專家一般都同意,似乎無論往前追溯多遠(yuǎn),都找不到古埃及社會(huì)的原始未開化時(shí)期。據(jù)記載,“古埃及第一任國王梅內(nèi)斯改變了尼羅河的航道,建造了一座巨大的水庫,并在孟菲斯(Memphis)建造了普塔神廟。”古埃及人很早就開始建造金字塔。既然經(jīng)常建造此類規(guī)模浩大的工程,理所當(dāng)然,他們必須了解一些數(shù)學(xué)知識(shí),至少是實(shí)踐方面的數(shù)學(xué)知識(shí)。

古希臘學(xué)者普遍認(rèn)為,古埃及人率先發(fā)明了數(shù)學(xué)。不過話說回來,他們并不怎么羨慕古埃及。柏拉圖在《菲德羅篇》(Phcedrus)中說:“在埃及的瑙克拉斯(Naucratis)有個(gè)著名的舊神,名叫南斯(Theuth);有一種鳥,名為宜必思(Ibis),是南斯的圣鳥。南斯發(fā)明了算術(shù)、計(jì)算、幾何、天文學(xué)、國際跳棋和骰子,但他最偉大的發(fā)明是字母。”

亞里士多德(Aristotle)說,數(shù)學(xué)誕生于古埃及,因?yàn)槟抢锏纳衤毴藛T有閑暇學(xué)習(xí)。希羅多德斯(Herodotus)、狄奧多羅斯(Diodorus)、第歐根尼·拉爾修(Diogenes Laertius)、楊布里柯(lamblichus)和其他古代學(xué)者尤為同意幾何學(xué)源于古埃及的說法C. A. Bretschneider Die Geometrie und die Geometer vor Euklides. Leipzig, 1870, pp.6-8.。希羅多德斯(《歷史》第2卷,第109段)曾說:“塞索斯特利斯(Sesostris)國王把土地分給埃及人,并確保每人都有一片大小相等的四邊形土地,每年征收一定稅款,作為國家財(cái)政收入。但是一些地區(qū)洪水肆虐,劃定的土地界線被洪水沖毀,這些地區(qū)的人不得不再去找國王匯報(bào)情況。然后,國王會(huì)派遣監(jiān)督者測量出百姓的土地變小了多少,以便土地所有者可以根據(jù)剩余土地的大小繳稅。我認(rèn)為,幾何學(xué)就是這么產(chǎn)生的,并在之后傳到了希臘。”

關(guān)于古埃及數(shù)學(xué),我們將不再介紹其他古希臘人的看法或猜想。接下來,我們希望基于檔案證據(jù)繼續(xù)討論。1877年,艾森洛爾(Eisenlohr)解讀了大英博物館的萊茵德(Rhind)藏品中的紙草書,他發(fā)現(xiàn)這是一本包含算術(shù)和幾何學(xué)問題的數(shù)學(xué)手冊(cè)。它由阿默士于公元前1700年左右所寫,基于一本更古老的據(jù)信為博奇(Birch)所寫的書,該書的寫作時(shí)間可追溯至公元前3400年。這本奇特的紙草書——已知最古老的數(shù)學(xué)手冊(cè)——使我們得以接觸到3000年乃至5000年前的古埃及人的數(shù)學(xué)思想。它的標(biāo)題為“了解所有黑暗事物的方法”。從中我們可以看出,埃及人并不關(guān)心理論結(jié)果。書中根本找不到任何定理。它“幾乎沒有任何一般性的步驟規(guī)則,主要介紹的是計(jì)算結(jié)果,用途可能是課堂授課。”James Gow, A Short History of Greek Mathematics. Cambridge, 1884, p.16.在幾何學(xué)領(lǐng)域,埃及人的強(qiáng)項(xiàng)主要在建筑和計(jì)算面積方面。但是,在阿默士紙草書中,腰長為10開赫特(Khet,一說等于16.6米,另一觀點(diǎn)認(rèn)為是這一長度的3倍A. Eisenlohr, Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter, 2. Ausgabe, Leipzig, 1897, p.103; F. L. Griffit in Proceedings of the Society of Biblical Archaeology, 1891.),底邊為4開赫特的等腰三角形的面積可算成底邊乘以腰長的一半,即20平方開赫特。類似地,等腰梯形的面積可算成兩平行邊長度之和的一半乘以腰長,圓形面積可算成圓周長減去直徑的所得的差的平方,此處,π取值為。這是一個(gè)非常合理的估計(jì)。另外,該紙草書也解答了另外一些問題,比如實(shí)地標(biāo)出邊長為10單位和4單位的正三角形或者是上下底邊分別為4單位和6單位,腰長為20單位的等腰梯形。

該紙草書中的一些問題似乎表明埃及人已經(jīng)掌握了基本比例知識(shí)。

金字塔的基線是南北和東西走向,但大概只有南北走向的基線通過天文觀測所確定。再加上,我們知道埃及幾何學(xué)家用“harpedonaptce”一詞表示“司繩官”。由此我們可得出結(jié)論:古埃及人像古印度人和古代中國的幾何學(xué)者一樣,已經(jīng)學(xué)會(huì)在給定線上構(gòu)造直角三角形,他們將一條繩子繞在三根樁上,三部分長度比例為3:4:5,從而構(gòu)造一個(gè)直角三角形。M. Cantor, op. cit. Vol. I, 3. Aufl. , 1907, p.105.如果這個(gè)解釋是正確的,那么就說明埃及人在公元前2000年就掌握了直角三角形的這一眾所周知的屬性,至少在上述特殊情況下,即邊長比例為3:4:5時(shí),他們很熟悉。

伊德夫(Edfu)著名的荷魯斯(Horus)神廟,人們發(fā)現(xiàn)神廟的墻上寫著一些象形文字,時(shí)間大約在公元前100年,文字中列舉了神職人員擁有的土地及其面積。四邊形的面積不考慮是否規(guī)則,通過公式計(jì)算。因此,若一四邊形邊長分別為5、8、20、15,則面積為H. Hankel, Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter, Leipzig, 1874, p.86.阿默士使用大約公元前3000年的不精確的計(jì)算公式得出了比伊德夫石碑上的方法更準(zhǔn)確的結(jié)果,而伊德夫石碑的書寫時(shí)間比《幾何原本》(Elements,簡稱《原本》)的發(fā)表還要晚200年。

古埃及幾何學(xué)主要是構(gòu)造知識(shí),但這遠(yuǎn)不能解釋古埃及幾何學(xué)中某些重大缺陷。古埃及在兩個(gè)重要問題上都失敗了,解決不了這兩個(gè)問題,就談不上存在真正意義上的幾何學(xué)。首先,在這個(gè)地方,他們未能構(gòu)建出基于公理和公設(shè)的嚴(yán)密幾何邏輯體系。他們總結(jié)的許多幾何學(xué)規(guī)則,尤其是立體幾何規(guī)則,很可能根本沒有找到證明方法,而是僅僅憑借觀察或者認(rèn)為是基本事實(shí),就認(rèn)定這些規(guī)則是正確的。他們的第二個(gè)重大缺陷是他們未能將眾多特殊情況納入更一般的視角,從而無法得出更廣泛和更基本的定理。一些最簡單的幾何學(xué)真理被劃分為無數(shù)特殊情況,每種特殊情況都需要單獨(dú)處理。

在介紹古埃及幾何學(xué)時(shí),我們順帶介紹一些曾跟隨古埃及祭司學(xué)習(xí)的古希臘數(shù)學(xué)家。

通過商博良(Champollion)、楊(Young)以及他們的繼承者對(duì)古埃及象形文字的解讀,我們對(duì)古埃及計(jì)數(shù)法有了更多了解。古埃及計(jì)數(shù)使用了以下符號(hào):代表“1”,代表“10”,代表“100”,代表“1000”,代表“10000”,代表“100000”,代表“1000000”,代表“10000000”M. Cantor, op. cit. Vol. I, 3. Aufl. , 1907, p.82.。代表1的符號(hào)是一個(gè)垂直物體,代表1萬的符號(hào)是一個(gè)指向某處的手指,代表10萬的是一條淡水鱈魚,代表100萬的是一個(gè)震驚的男子。其余符號(hào)的意義則令人懷疑。用象形文字寫這些數(shù)字非常煩瑣,每個(gè)數(shù)位的單位有多大,該數(shù)位的符號(hào)就需要重復(fù)多少次,其中運(yùn)用的運(yùn)算法則是加法,因此,23會(huì)寫成

除了象形文字,埃及人還有僧侶文字和通俗文字。但是由于篇幅有限,此處不做討論。

關(guān)于古埃及的計(jì)算方式,希羅多德斯有一條重要論斷。他說,他們“通過從右向左移動(dòng)手來計(jì)算卵石,而希臘人則從左向右移動(dòng)手來計(jì)算”。于此我們認(rèn)識(shí)了一種古老的人們廣泛使用的輔助計(jì)算方法。埃及人使用十進(jìn)位制。既然他們?cè)谟?jì)數(shù)中水平移動(dòng)他們的手,所以他們似乎使用了帶有垂直欄的算板。在每個(gè)欄中,卵石不超過9個(gè),因?yàn)?0個(gè)卵石等于相鄰左欄中的1個(gè)卵石。

阿默士紙草書顯示,古埃及人使用分?jǐn)?shù)的方式非常有趣。他們的操作方法與我們的方法截然不同。分?jǐn)?shù)對(duì)這些古代人來說是非常困難的問題。他們通常避免同時(shí)改變分子和分母。在處理分?jǐn)?shù)時(shí),古巴比倫人保持分母(60)不變。類似地,古羅馬人也保持分母不變,且等于12。而埃及人和希臘人則保持分子不變,分母可變。阿默士使用的是狹義上的“分?jǐn)?shù)”,因?yàn)樗麅H使用“單位分?jǐn)?shù)”,即分子為1的分?jǐn)?shù)。具體表示法是先寫分母,接著在其上加一點(diǎn)表示分子。如果一個(gè)分?jǐn)?shù)值無法用任何單位分?jǐn)?shù)表示,則用兩個(gè)或兩個(gè)以上單位分?jǐn)?shù)之和表示。因此,阿默士用表示。另外,雖然他知道等于,但令人奇怪的是,他經(jīng)常將用作單位分?jǐn)?shù),并使用了一個(gè)特殊符號(hào)表示。那么,首先自然而然就會(huì)有用單位分?jǐn)?shù)的和表示任意分?jǐn)?shù)的問題,這個(gè)問題借助紙草書中給出的一個(gè)表得以解決,在這個(gè)表格中n取最大到49的所有數(shù)字)代表的所有分?jǐn)?shù)都用單位分?jǐn)?shù)表示。因此,。這份表格是何時(shí)何人如何計(jì)算出來的,我們不得而知。很有可能是由不同的人于不同時(shí)期以經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)編寫的。接下來,我們將會(huì)看到,如果一個(gè)分?jǐn)?shù)分子大于2,且分母和該表中的某個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相同,那么通過重復(fù)應(yīng)用這個(gè)表,就可以用想要的形式來表示分?jǐn)?shù)。以5除以21為例。首先,由表可得,,那么。紙草書中給出了一些數(shù)學(xué)難題,解決這些難題需要分?jǐn)?shù)通過加法或者乘法增加到給定整數(shù)或者分?jǐn)?shù)。例如,現(xiàn)在有一題要求把加到1。古埃及人在這里采用的公分母應(yīng)該是45,于是這些數(shù)字的分子表示為, 1,這些數(shù)字的總和為四十五分之,然后加上,和為,再加上,得1,因此給定分?jǐn)?shù)加到1的條件下,需要相加的數(shù)字為

阿默士給出如下例子,其中涉及等差數(shù)列:將100片樹葉分給5個(gè)人后,后兩人所得為前三人所得,問差是多少。阿默士給出如下解答:“令差為,乘以。”為什么阿默士會(huì)想到選擇作為差呢?原因也許是這樣:M. Cantor, op. cit. , Vol. I, 3. Aufl. , 1907, p.78.a及-d作為所需等差數(shù)列第一項(xiàng)及公差,那么[a+(a-d)(a-2d)]=(a-3d)+(a-4d),而,即公差d為上一項(xiàng)的。設(shè)最后一項(xiàng)為1,即可得到第一個(gè)數(shù)列。數(shù)列和為60,但實(shí)際應(yīng)該是100;因此,乘以,因。此處所用的解法,也就是著名的“假位法”,它將會(huì)再次出現(xiàn)于古印度數(shù)學(xué)家、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家和現(xiàn)代歐洲數(shù)學(xué)家的研究中。

阿默士還提到了一個(gè)等比數(shù)列,其中包含數(shù)字7、49、343、2401、16807。在這些7的冪旁邊有這樣一些詞匯畫:“貓”“老鼠”“大麥”“麥粒”。這些神秘的數(shù)字有什么含義?3000年后,斐波那契(Fibonacci,又稱Leonard of Piza)在考慮這個(gè)問題時(shí),在他的《算盤書》(Liber Abaci)中給出了如下問題:“7名老婦人去往羅馬,每位婦人有7頭騾子,每頭騾子擔(dān)著7個(gè)口袋。”莫里茨·康托爾(Moritz Cantor)如此解讀阿默士之謎:有7個(gè)人,每人有7只貓,每只貓吃7只老鼠,每只老鼠吃7根大麥穗,從每根大麥穗中可以長出7顆大麥粒。一共有多少人、貓、老鼠、麥穗和麥粒?阿默士給出的這一等比數(shù)列的和為19607。因此,我們可以說阿默士紙草書既揭示了等差數(shù)列的知識(shí),又介紹了等比數(shù)列的知識(shí)。

阿默士接著去求解一個(gè)未知數(shù)的方程。他將未知數(shù)稱為“hau”或者說“堆”。他給出的一個(gè)問題為:“堆的與堆之和為19,求堆。”意即,此題解答如下:。但是在解其他問題時(shí),需要采用其他各類辦法。這樣看來,似乎代數(shù)的歷史和幾何學(xué)一樣古老。

阿默士的時(shí)代是埃及數(shù)學(xué)的黃金時(shí)代,同時(shí)代的其他紙草書(發(fā)現(xiàn)時(shí)間更晚)也記載著相同方法。這些紙草書發(fā)現(xiàn)于伊拉洪(Illahun)金字塔以南的卡洪(Kahun),與阿默士的記錄非常相似。此外,它們還包含二次方程的示例,這是已知最早的記錄。其中一個(gè)是:假設(shè)給定平面面積為100單位,需用兩個(gè)正方形的和來表示,正方形邊長之比為。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言描述就是,x2+y2=100,且,求xy的值。解題需要用到假位法。首先嘗試x=1,,那么。但,且。剩余解題過程無法辨認(rèn),但很有可能應(yīng)該是x=8×1,。由此解答,我們可得關(guān)系式62+82=102

阿赫米姆(Akhmim)紙草書同阿默士紙草書在某些方面類似J. Baillet, “Le papyrus mathématique d'Akhmirn”, Memoires publiés par les membres de la mission archéologique fran?aise au Caire, T. IX, Paris, 1892, pp.1-88.另見Cantor, op. cit. Vol. I, 1907, pp.67, 504.,該書成書于阿默士紙草書2000年之后,發(fā)現(xiàn)地點(diǎn)位于阿赫米姆——埃及尼羅河邊的一座城市。該書用希臘文所寫,據(jù)信成書于公元500年到800年,像阿默士紙草書一樣其中包含數(shù)學(xué)例題以及解“單元分?jǐn)?shù)”的表。與阿默士不同的是,這本書同時(shí)介紹了此類表是如何構(gòu)造的。其中規(guī)則用現(xiàn)代符號(hào)表示就是:,當(dāng)z=2時(shí),該公式即可生成阿默士紙草書中的表的一部分。

古埃及算術(shù)的主要缺陷是缺少簡易、全面的符號(hào)系統(tǒng),這一問題甚至連古希臘人都沒解決。

阿默士紙草書和同一時(shí)期的其他紙草書代表了古埃及算術(shù)和幾何學(xué)最先進(jìn)的成就。值得注意的是,他們竟這么早地達(dá)到了如此高的數(shù)學(xué)水平。但是,同樣令人奇怪的是,接下來的2000年里,他們竟沒有取得任何進(jìn)展。我們不得不得出這樣的結(jié)論,他們的科學(xué)文化和政治制度發(fā)展逐漸陷入停滯。公元前6世紀(jì)希臘學(xué)者訪問埃及時(shí)所擁有的所有幾何知識(shí),毫無疑問古埃及人早于他們2000年就已經(jīng)熟知,因?yàn)檎窃谀菚r(shí)他們建造了那些驚人的龐大建筑——金字塔。

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