古羅馬數(shù)學(xué)

古希臘和古羅馬的思想差異在數(shù)學(xué)上最為明顯。希臘人統(tǒng)治時期，數(shù)學(xué)研究興盛，羅馬人統(tǒng)治時期，則產(chǎn)出貧瘠。羅馬人在哲學(xué)、詩歌和藝術(shù)方面，都模仿希臘人，但在數(shù)學(xué)方面，他們甚至沒有模仿的想法。希臘天才數(shù)學(xué)家的研究發(fā)現(xiàn)近在眼前，他們卻不屑一顧。在他們看來，一門與實際生活無直接關(guān)系的科學(xué)不值得任何關(guān)注。結(jié)果，不僅阿基米德和阿波羅尼奧斯的高等幾何被忽視，甚至連歐幾里得的《幾何原本》也被遺忘了。羅馬人所擁有的少數(shù)數(shù)學(xué)知識并非完全來自古希臘人，部分有更古老的源頭。事實上，我們并不清楚，古羅馬的數(shù)學(xué)知識到底來源于哪里，以及是如何傳播至古羅馬的。

似乎“羅馬數(shù)字表示法”以及古羅馬人早期的實用幾何圖形來自古老的伊特魯里亞人（Etruscans）。我們能夠追溯到的最早時期，伊特魯里亞人居住在亞諾河（Arno）和臺伯河（Tiber）間。

利維（Livy）稱，伊特魯里亞人每年會在密涅瓦圣殿中釘入一枚釘子，表示一年又已過去，羅馬人延續(xù)了這種習(xí)俗。之后，羅馬又出現(xiàn)了一種表示數(shù)字的方式，一種類似于當(dāng)今“羅馬數(shù)字表示法”的符號系統(tǒng)，大概也源于伊特魯里亞人。值得注意的是，該系統(tǒng)包含其他符號表示法中很少出現(xiàn)的法則，即減法法則。如果一個字母放在另一個較大的值之前，則其值不應(yīng)與較大的值相加，反而要從中減去。在表示大數(shù)時，在字母上加一水平杠以將其增加一千倍。羅馬人用十二進制表示分數(shù)。

羅馬人使用三種計算工具：手指、算盤和算數(shù)計算專用表。普林尼（Pliny）說，手指表示法最早出現(xiàn)在努瑪國王（King Numa）時期，因為他豎立了杰納斯（Janus）的雙面雕像，杰納斯的手指數(shù)表示一年中的天數(shù)365。羅馬學(xué)者的許多其他文章指出，手指可以輔助計算。實際上，早在公元初期，不僅是羅馬，希臘以及整個東方都采用了幾乎相同的手指表示法，并且這一方法中世紀期間繼續(xù)在歐洲使用，目前并不清楚它于何時何地發(fā)現(xiàn)。算盤的第二種模式是羅馬學(xué)校的基礎(chǔ)教學(xué)內(nèi)容。羅馬學(xué)者的記載表明，最常用的算盤用細粉末覆蓋，然后通過畫直線將其分成幾列。每列都裝有卵石[卵石的拉丁文是calculi，拉丁文的calculare（計算）一詞和英文中的calculate（計算）一詞即由此衍生而來]用于計算。

羅馬人還使用另一種算盤。這種算盤有一塊帶凹槽的金屬板，凹槽內(nèi)有可移動珠子，它可用于表示1到9999999之間的所有整數(shù)以及一些分數(shù)。在兩個相鄰的圖形中，線條代表凹槽，圓圈代表珠子。羅馬數(shù)字表示凹槽下相應(yīng)珠子的值，上方較短凹槽中的珠子具有下方珠子五倍的值。因=1000000；因此，在使用時，下方長凹槽中的每個珠子代表1000000，而上方短凹槽中的每個珠子代表5000000。用羅馬數(shù)字標記的其他凹槽也是如此，從左側(cè)開始的第八個長凹槽（有五個珠子）表示十二進制分數(shù)，每個珠子表示，而點上方的珠子表示。在第九欄中，上方的珠子代表，中間的代表，下面的兩個珠子每個都代表。示例中圖1-9表示運算開始前珠子的位置，圖1-10表示數(shù)字852。此處必須區(qū)分已使用的珠子和未使用的珠子。計數(shù)的是c上方的一個珠子（=500）, c下方的三個珠子（=300）, x上方一個珠子（=50）, I下面的兩個珠子（=2）;下面四個的珠子；第九欄上方表示的珠子。

現(xiàn)在假設(shè)將加上。操作者可以根據(jù)自己的喜好，從最大單位或最小單位開始。自然，最困難的部分是加分數(shù)。在這種情況下，第九欄表示的珠子，第八欄點上方的一個珠子和點下方的三個珠子用于表示總和。若加8，則需要用到I上方和下方的所有珠子，以加上10個單位。所以接下來，我們將珠子全部移回原位并在x下方的凹槽中向上移動一個珠子。接著再向上移動x下方的一個珠子，加10；通過將c上方和下方的所有珠子移回原位（下方的一個珠子除外），并向上移動上方的一個珠子，將300加至800，向上移動下方的一個珠子可再增加10000。減法操作相似。

乘法可以以多種方式進行。例如，乘，算盤可能會依次顯示以下值：

在除法中，算盤用于表示被除數(shù)減去除數(shù)或除數(shù)的倍數(shù)的差，計算過程既復(fù)雜又困難。這些算盤計算方法清楚地顯示了如何通過一系列連續(xù)的加法或減法來進行乘法或除法運算。在這方面，我們猜測他們必須依賴于心算和乘法表，可能也使用了手指計算。但無論采用哪種方法，大數(shù)的乘法都必然超出普通計算師的能力范圍。為了避免這種困難，羅馬人使用了算術(shù)表，如有需要可以立即從中獲取所需乘積。這種表由維多利亞斯（Victorius）發(fā)現(xiàn)，他的表包含分數(shù)的特殊表示法，并在整個中世紀一直沿用。維多利亞斯以他發(fā)現(xiàn)的“canon paschalis”（復(fù)活節(jié)規(guī)則）方法而聞名，根據(jù)這一方法可以找到復(fù)活節(jié)的正確日期，他于457年公開了這一方法。

利息支付和利息問題在羅馬的歷史也很悠久。在羅馬繼承法下產(chǎn)生了許多算術(shù)實例，其中有一個尤其特別：一個男人臨死前留下遺囑，如果他懷孕的妻子生了一個兒子，兒子應(yīng)獲得他的遺產(chǎn)的，而妻子應(yīng)獲得遺產(chǎn)的；但是如果生了一個女兒，女兒應(yīng)得到，而妻子則應(yīng)得到。碰巧的是妻子生了一對雙胞胎——一個男孩和一個女孩。那么應(yīng)如何執(zhí)行男子的遺囑呢？著名的羅馬法學(xué)家薩爾維亞努斯·朱利安努斯（Salvianus Julianus）決定將莊園劃分為七等份，兒子得四份，妻子得兩份，女兒一份。

接下來我們介紹羅馬幾何學(xué)。如果你期望在羅馬幾何學(xué)中找到成體系的定義、公理、定理和證明，恐怕你會大失所望。羅馬人只有應(yīng)用幾何學(xué)，與古老的埃及人一樣，他們的幾何學(xué)僅包含經(jīng)驗規(guī)則，應(yīng)用于勘測。由羅馬測量師編撰的文獻流傳至今，他們在當(dāng)時被稱為“agrimensores”或“gromatici”（測量師）。人們自然而然地認為他們會制定清晰的規(guī)則，但實際并非如此，他們留給讀者大量的數(shù)字示例，讓讀者自己總結(jié)規(guī)律。“總的印象是，似乎羅馬的測量學(xué)比希臘的幾何學(xué)要早數(shù)千年，而且似乎兩段時期之間曾發(fā)生過大洪水。”他們的某些規(guī)則可能是從伊特魯里亞人那里繼承的，但其他規(guī)則與海倫的規(guī)則相同。其中，他們有一條規(guī)則是用三角形邊長求三角形面積，以及求等邊三角形面積的近似公式, a是邊長。但是，后者的面積他們也會用公式和計算，前者海倫并不知曉。很有可能派生于埃及的四邊形的面積公式。這個公式被羅馬人用來求任意四邊形的面積，不僅是矩形。的確，羅馬測量師認為僅通過測量周長來確定不規(guī)則布局的城市區(qū)域就足夠準確了。在朱利烏斯·愷撒（Julius C?sar）時代，羅馬人擁有的埃及幾何學(xué)知識都被移植到了地中海，他下令在全國進行調(diào)查以確保征稅方法的公平。愷撒還對日歷進行了改革，并為此借鑒了埃及的知識。他獲得了亞歷山大天文學(xué)家索西琴尼（Sosigenes）的幫助。

兩位羅馬哲學(xué)家值得我們關(guān)注。哲學(xué)詩人盧克萊修（Lucretius）在他的《物性論》（De Rerum Natura）一書中提出了無窮多和無窮大的概念，并且和現(xiàn)代一樣，將這些術(shù)語定義為常量而非變量。但是，盧克萊修的無窮并非由抽象事物構(gòu)成，而是由物質(zhì)粒子組成。他口中的無窮多是可數(shù)的。他利用了無窮量的整體屬性。

幾個世紀后，拉丁教會著名神父圣奧古斯丁（St. Augustine）在談到芝諾時討論了同類問題。有一次，他和別人討論思想是否會隨著身體的移動而移動，談到最后，他們考慮了運動的定義。當(dāng)時，他的表現(xiàn)略顯輕浮。有人說，經(jīng)院主義沒有幽默感，這話也許不適合拿來說奧古斯丁。比如說，他當(dāng)時就說了這樣一個故事：“我們的對話結(jié)束后，一個男孩從屋子里跑來叫我們吃飯。我就說，這個男孩不僅強迫我們定義運動，還強迫我們看到運動。所以咱們走吧，從這里到那里；因為，那個，如果我沒記錯的話，那個就是運動。”應(yīng)當(dāng)承認奧古斯丁接受了無窮的實際存在，并認識到它不是變量，而是常量。他認為正整數(shù)集是無限集。在這一點上，他的立場與他的先驅(qū)，拉丁教會的希臘神父奧里根（Origen）完全不同。喬治·康托爾（Georg Cantor）聲稱，奧里根對無窮實際存在的反對是有史以來針對這一問題最深刻的論斷。

公元5世紀，西羅馬帝國迅速瓦解。西班牙、高盧和非洲行省這三大分支從腐爛的帝國脫離。476年，西羅馬滅亡，西哥特（Visigothic）首領(lǐng)奧多亞克（Odoacer）成為國王。不久之后，意大利在西奧多里克（Theodoric）的統(tǒng)治下被東哥特（The Ostrogothic Kingdom）征服。值得注意的是，這一時期在政治上雖然是一段屈辱歷史，但應(yīng)該是意大利最熱衷于研究希臘科學(xué)的時期。希臘學(xué)者的數(shù)學(xué)研究文獻被編撰整理，并用作教科書。雖然這些文獻有許多不足，但卻引起了人們的興趣，直到12世紀，這些都是西方唯一的數(shù)學(xué)知識來源。在這些希臘學(xué)者中，最重要的是波愛修斯（Boethioes，見圖1-11）。起初，他是西奧多里克國王（King Theodoric）的寵臣。但后來，由于嫉妒他的廷臣指控他叛國，波愛修斯被監(jiān)禁，最后被斬首。在監(jiān)獄里，他寫了《哲學(xué)的慰藉》。作為數(shù)學(xué)家，波愛修斯是羅馬學(xué)者中的巨人，但在希臘大師身邊只能算是小矮個。他寫作了《算術(shù)原理》，本質(zhì)上只是對尼科馬霍斯算術(shù)研究的翻譯。他還寫了一本包含數(shù)卷內(nèi)容的《幾何學(xué)》。波愛修斯的算術(shù)研究沒有保留尼科馬霍斯的最優(yōu)秀的一些發(fā)現(xiàn)。《幾何學(xué)》第一卷摘自歐幾里得的《幾何原本》，其中除定義、公設(shè)和公理外，還包含前三卷中的定理，但沒有給出證明。如何解釋這種遺漏呢？有人認為，波愛修斯擁有的《幾何原本》副本不完整；還有一些人認為，他只有希恩整理的版本，并相信其中只有定理來自歐幾里得，而證明是由希恩提供的。第一卷，以及其他歸于波愛修斯名下的《幾何學(xué)》的其他各卷，都結(jié)合示例講解了如何用測量室的方法測量平面圖形。

波愛修斯幾何學(xué)研究中與算盤有關(guān)的部分頗為知名，這一部分據(jù)他說是畢達哥拉斯學(xué)派的研究成果。在這一部分中，波愛修斯介紹了大幅改進舊算盤的辦法。他不再使用小石子，而是使用了“頂點”（可能是小圓錐），每個頂點上都有一個小于10的數(shù)字。這些數(shù)字的名稱是純阿拉伯文，或者幾乎是純阿拉伯文，但顯然是由后人添加的。波愛修斯在著作中未提及“0”。這些數(shù)字與公認起源于印度的西阿拉伯的粉塵數(shù)字（Gubar-numerals）極為相似。以上這些問題一直以來爭議不斷，一些人爭辯說，畢達哥拉斯曾去過印度，之后從那里把這9個數(shù)字帶到了希臘，畢達哥拉斯學(xué)派一直在希臘秘密使用這些數(shù)字。該假設(shè)已被普遍否定，因為不能確定畢達哥拉斯或者他的門徒去過印度，也沒有任何希臘學(xué)者的記錄能夠證明，希臘人知道這些頂點，或者他們將任何數(shù)字符號與算盤配合使用。而且，起源于印度符號的這些頂點不可能像畢達哥拉斯的時代那樣古老。第二種理論則認為，波愛修斯的《幾何學(xué)》是偽造的，真實寫作時間不早于10世紀或可能是9世紀，并且其中的頂點來源于阿拉伯人。但是由卡西奧多拉斯（Cassiodorius，卒于約585年）所寫的《百科全書》（Encyclop?dia），提到了波愛修斯的算術(shù)和幾何研究。對于如何正確解讀《百科全書》中的一些內(nèi)容，目前存在爭論。無論如何，有充分證據(jù)表明，波愛修斯的幾何學(xué)研究，或者至少是提到數(shù)字的那部分是偽造的。第三種理論“韋普克（Woepcke）的理論”稱，亞歷山大人于約公元2世紀直接或間接地從印度人那里獲得了9個數(shù)字，一方面將它們交給羅馬人，另一方面又將它們交給西方的阿拉伯人，這種解釋最為合理。

值得一提的是，卡西奧多拉斯是第一位在著作中使用與當(dāng)代算術(shù)和代數(shù)領(lǐng)域含義相同的“有理”和“無理”兩個術(shù)語的學(xué)者。