廣義相對論

相對論的問世讓人們知道了四維彎曲時空、有限無邊宇宙、引力波、引力透鏡、大爆炸說以及21世紀宇宙學的主旋律——黑洞，等等。這一切來得都太突然，讓人們覺得相對論神秘莫測，因此在相對論剛問世那幾年，一些人宣稱“全世界只有12個人懂相對論”。甚至有人說“全世界只有兩個半人懂相對論”。更有甚者將相對論與“通靈術”相提并論。其實相對論并不神秘，它是被檢驗了無數次的理論，更不似人們想象得那么高不可攀。但想要理解相對論，需要掌握一定的數學、幾何知識。

相對論應用的幾何學并不是普通的歐氏平面幾何，而是黎曼幾何。相信很多人都知道非歐幾何，它分為羅氏幾何（雙曲幾何）與黎氏幾何（橢圓幾何）兩種。在非歐幾何里，有很多奇怪的結論，三角形內角和不是180°，圓周率也不是3.14，因此在剛出來時備受嘲諷，被認為是最無用的理論。直到在球面幾何中發現了它的應用才受到重視?？臻g如果不存在物質，時空是平直的，用歐氏幾何就足夠了。比如在狹義相對論中只是考慮了四維偽歐幾里得空間，加一個“偽”字是因為時間坐標前面還有個虛數單位i。當空間存在物質時，物質與時空相互作用，使時空發生了彎曲，這是就要用到非歐幾何。事實上不存在沒有物質的空間，因為就算有你也永遠無法發現，因為當你看見它的同時它就有了物質，最起碼是光。

知識拓展9

非歐幾何

非歐幾何完全是基于歐幾里得第五公設無法給出確定證明而創立的。

古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》第一卷中列舉了23個定義、5條公設、5條公理，由此推證出48個命題。第五條公設內容如下：“如果兩條直線被一直線截得的一組同側內角之和小于180°，則適當延長這兩條直線，一定在夾角和小于180°的一側相交?！苯酉聛砺L的歲月中人們用各種方法來證明第五公設，從古希臘時代到18世紀末，許多數學家都嘗試用歐幾里得幾何中的其他公理來證明歐幾里得的平行公理，但是結果都歸于失敗，他們都在論證過程中不知不覺地引進了未加證明的新假設。19世紀，德國數學家高斯、俄國數學家羅巴切夫斯基、匈牙利數學家波爾約等人各自獨立地認識到這種證明是不可能的。這說明平行公理是獨立于其他公理的，并且可以用不同的“平行公理”來替代它。

羅巴切夫斯基和波爾約分別在1830年前后發表了他們關于非歐幾何的理論。在這種幾何里，羅巴切夫斯基平行公理替代了歐幾里得平行公理，即在一個平面上，過已知直線外一點至少有兩條直線與該直線不相交。由此可演繹出一系列全無矛盾的結論，并且可以得出三角形的內角和小于180°。想象一下，我們在一個雙曲面空間（不是雙曲線），這個雙曲面，我們可以把它想象成一口平滑的鍋或太陽能罩，我們就在這個雙曲面里畫三角形，這個三角形的三邊的任何點都絕對不能離開雙曲面，我們將發現這個三角形的三邊無論怎么畫都不會是直線，那么這樣的三角形就是羅氏三角形。經過論證發現，任何羅氏三角形的內角和都永遠小于180°，無論怎么畫都不能超出180°。

繼羅氏幾何后，德國數學家黎曼在1854年又提出了既不是歐氏幾何也不是羅氏幾何的新的非歐幾何。這種幾何采用如下公理替代歐幾里得平行公理：同一平面上的任何兩直線一定相交。同時，還對歐氏幾何的其他公理做了部分改動。在這種幾何里，三角形的內角和大于180°，假設我們把雙曲面舒展成平面以后，再繼續朝平面的另一個方向變，則變成了橢圓面或圓面，這個時候，如果我們在這個橢圓面上畫三角形，會發現無論怎么畫，這個三角形的內角和都大于180°，人們把這種幾何稱為橢圓幾何，黎曼幾何在證明廣義相對論時起到了至關重要的作用。

在廣義相對論中，愛因斯坦放棄了關于時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而表現為均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰與黎曼幾何的觀念是相似的。在數學界，歐氏幾何仍占主流；而物理學界，則用的是黎曼幾何。

相對論預言了引力波的存在，發現了引力場與引力波都是以光速傳播的，否定了萬有引力定律的超距作用。當光線由恒星發出，遇到大質量天體時光線會重新匯聚，也就是說，我們可以觀測到被天體擋住的恒星。一般情況下，看到的是個環，被稱為愛因斯坦環。愛因斯坦將場方程應用到宇宙時發現宇宙不是穩定的，它要么膨脹要么收縮。而當時的宇宙學認為宇宙是無限的、靜止的，于是他不惜修改場方程，加入了一個宇宙常數，得到一個穩定解，提出有限無邊宇宙模型。可是在1929年，哈勃發現了星系光譜紅移和距離的線性關系，即所謂哈勃定律。人們把紅移歸結于宇宙的膨脹，并推論宇宙是由于100多億年前的一次大爆炸產生的，產生了標準的大爆炸宇宙學理論。

當愛因斯坦得知哈勃發現了“宇宙普遍在膨脹”這一事實后，這位偉大的科學家認為自己引入的宇宙常數是犯了一個大錯誤，于是他就將方程中的常數項去掉了，這之后的60年，宇宙常數項被排除在宇宙學之外。后來天文學家通過哈勃太空望遠鏡發現，一種神秘的能量在宇宙中起著作用，這種能量在推動宇宙加速膨脹，天文學家稱之為暗物質與暗能量，于是宇宙常數項被再次引入，但其代表的已不是愛因斯坦提出時的意義了。

在以后的研究中，物理學家們驚奇地發現，宇宙已不能用膨脹來描述了，簡直是在爆炸。極早期的宇宙分布在極小的尺度內，宇宙學家們需要粒子物理內容給出更全面的宇宙演化模型，而粒子物理學家需要宇宙學家們的觀測結果和理論來豐富和發展粒子物理，結果就使粒子物理學和宇宙學這兩個物理學中最大和最小的分支結合起來。值得一提的是，雖然愛因斯坦的靜態宇宙被拋棄了，但它的有限無邊宇宙模型卻是宇宙未來三種可能的命運之一，而且是最有可能完美解釋宇宙的理論。

根據廣義相對論中“宇宙中一切物質的運動都可以用曲率來描述，引力場實際上就是一個彎曲的時空”的思想，愛因斯坦寫出了著名的引力場方程。該方程是一個以時空為自變量、以度規（gμν）為因變量的帶有橢圓形約束的二階雙曲型偏微分方程。它以復雜而美妙著稱，但并不完美，計算時只能得到近似解，后來人們得到了真正球面對稱的準確解——史瓦西解。

關于場方程和史瓦西解，我們會在后面章節中加以介紹。

原理與驗證

在狹義相對論那一節我們已講到慣性系無法定義，因對一切運動的描述，都是相對于某個參考系的，參考系選取的不同，對運動的描述或者說運動方程的形式也隨之不同。于是愛因斯坦將相對性原理推廣到非慣性系，提出了廣義相對論的第一個原理——廣義相對性原理：一切坐標系（包括非慣性系）應全部遵守客觀真實的物理規律，應該在任意坐標系下均有效。為此，物理規律在任意坐標變換下應是協變的，故廣義相對性原理也稱為廣義協變性原理。這與狹義相對性原理有很大區別，狹義相對性原理是說在不同參考系中一切物理定律完全等價，沒有任何描述上的區別。但在一切參考系中就不可以了，只能說不同參考系可以同樣有效地描述自然規律。這就需要我們尋找一種更好的描述方法來適應這種要求。

在前面的內容中我們已知道，狹義相對論無法包含萬有引力定律，也無法處理加速度這個麻煩。引力和加速度，一個代表力，一個代表運動，這兩件事在狹義相對論里都解決不了，那要怎么辦呢？于是愛因斯坦用等效原理來處理。愛因斯坦是如何解釋等效原理的呢？所謂念念不忘必有回響，關于這個原理的發現還有一個神奇的故事。據說有一天晚上，愛因斯坦做了一個夢，夢到自己在一個下降的電梯里自由下落，然后他想到了一件事：如果一個人在電梯里與電梯同時做自由落體運動，他是感受不到重力的，就像在電梯里懸浮一般。電梯自由下落是引力導致的，人在電梯里感受不到重力加速度。這個場景剛好把狹義相對論無法處理的兩個東西（引力和加速度）都包含進來了，而且，他們似乎是等效的。通俗地講，對于一個觀察者來說，無法確定這個人是懸浮在太空里（慣性系）還是在一個做自由落體運動的電梯里（有地球引力的非慣性系），無法區分就視為等效。

讓我們從故事世界來到物理世界。在物理世界，質量有兩種：慣性質量和引力質量。慣性質量是用來度量物體慣性力大小的，起初由牛頓第二定律定義（物體加速度的大小跟作用力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同）。引力質量則是度量物體引力荷的大小，起初由牛頓的萬有引力定律定義，它們是互不相干的兩個定律。慣性質量不等于電荷，那么慣性質量與引力質量（引力荷）在牛頓力學中不應該有任何關系。然而通過當代最精密的實驗也無法發現它們之間的區別，慣性質量與引力質量嚴格成比例（選擇適當系數可使它們嚴格相等）。廣義相對論將慣性質量與引力質量完全相等作為等效原理的內容，這樣，非慣性系與引力之間也建立了聯系。那么在引力場中的任意一點都可以引入一個很小的自由降落參考系，然后就可以用狹義相對論來處理剩下的內容，即初始條件相同時，等質量、不等電荷的質點在同一電場中有不同的軌道，但是所有質點在同一引力場中只有唯一的軌道。

等效原理使愛因斯坦認識到，引力場很可能不是時空中的外來場，而是一種幾何場，是時空本身的一種性質。由于物質的存在，原本平直的時空變成了彎曲的黎曼時空。在廣義相對論建立之初，曾有一個慣性定律：不受力（除去引力，因為引力不是真正的力）的物體做慣性運動，在黎曼時空中，就是沿著測地線運動。測地線是直線的推廣，是兩點間最短（或最長）的線，是唯一的。比如，球面的測地線是過球心的平面與球面截得的大圓的弧。廣義相對論的場方程建立后，這一定律可由場方程導出。值得一提的是，伽利略曾認為勻速圓周運動才是慣性運動，勻速直線運動總會閉合為一個圓，這樣提出是為了解釋行星運動。牛頓力學對這一說法是否定的，然而相對論又將它復活了，行星做的的確是慣性運動，只是不是標準的圓周勻速運動。

愛因斯坦在建立廣義相對論時，就提出了三個實驗并很快就得到了驗證：引力紅移、光線偏折、水星近日點進動?，F在又增加了第四個驗證：雷達回波的時間延遲。

1．引力紅移

廣義相對論證明，在引力勢低的地方固有的時間流逝速度慢。也就是說離天體越近，時間越慢。這樣，天體表面原子發出的光周期變長，由于光速不變，相應的頻率變小，在光譜中向紅光方向移動，稱為引力紅移。宇宙中有很多致密的天體，我們可以測量它們發出的光的頻率，并與地球的相應原子發出的光做比較，發現紅移量與相對論預言一致（相對論預言，由于地球上不同高度引力勢能不同，會引起光子離開地球時在不同高度的頻率不同，相差20米帶來的頻率測量變化為2×10-15Hz）。1960年，龐德和里布卡利用穆斯堡爾效應測量到了這個微小的變化，他們在地球引力場中利用γ射線的無反沖共振吸收效應（穆斯堡爾效應）測量了光垂直傳播22.5米產生的紅移，結果與相對論預言一致。

2．光線偏折

如果按光的波動說，光在引力場中不應該有任何偏折，可用普朗克公式E=hv和質能公式E=mc2求出光子的質量，用牛頓萬有引力定律得到的太陽附近的光的偏折角是0.87″，而按廣義相對論計算的偏折角是1.75″。

1919年，第一次世界大戰剛結束，英國科學家愛丁頓派出兩支考察隊，利用日食的機會觀測，觀測的結果約為1.7″，剛好在相對論預言的誤差范圍之內。引起誤差的主要原因是太陽大氣對光線的偏折?，F在利用射電望遠鏡就可以觀測類星體的電波在太陽引力場中的偏折，不必等日食這種稀有機會。隨著測量儀器的日益精密，所測量的結果也進一步證實了相對論的結論。

3．水星近日點進動

16世紀以來，第谷等天文學家已經得到大量準確的天文觀測記錄數據。1859年，法國天文學家勒威耶發現水星近日點進動的觀測值，天文觀測記錄了水星近日點每百年進動5600″，人們考慮了各種因素，根據牛頓理論只能解釋其中的5557″，還剩43″無法解釋。廣義相對論的計算結果與萬有引力定律有所偏差，這一偏差剛好解釋了水星的近日點每百年進動43″這一現象。原來在太陽系中，行星在太陽所產生的彎曲空間中運動，它們的軌道是測地線，而由太陽質量所彎曲的時空連續體的測地線并不是嚴格的橢圓或雙曲線，軌線的軸會隨時間而緩慢進動（進動是指一個自轉的物體受外力作用導致其自轉軸繞某一中心旋轉的現象）。

4．雷達回波實驗

從地球向行星發射雷達信號，接收行星反射的信號，測量信號往返的時間，來檢驗空間是否彎曲（通過三角形內角和來檢驗）。20世紀60年代，美國物理學家克服重重困難做成了此實驗，結果與相對論預言相符。

從那時起，人們對廣義相對論的檢驗表現出越來越濃厚的興趣。但由于太陽系內部引力場非常弱，引力效應本身就非常小，廣義相對論的理論結果與牛頓引力理論的偏離很小，觀測非常困難。20世紀70年代以來，由于射電天文學的進展，觀測的距離遠遠突破了太陽系，觀測的精度隨之大大提高。特別是1974年9月由美國麻省理工學院的泰勒和他的學生赫爾斯，用305米口徑的大型射電望遠鏡進行觀測時，發現了脈沖雙星，它是一個中子星和它的伴星在引力作用下相互繞行，周期只有0.323天，它的表面的引力比太陽表面強10萬倍，是地球上甚至太陽系內不可能獲得的檢驗引力理論的實驗室。經過長達十余年的觀測，他們得到了與廣義相對論的預言符合得非常好的結果。由于這一重大貢獻，泰勒和赫爾斯獲得了1993年諾貝爾物理學獎。

接下來，讓我們來了解一下引力波。

根據廣義相對論，引力是質量扭曲時空的結果。一個時空之中只有一個靜止的物體（或者處于勻速運動狀態），那么它所處的時空不會發生變化。但如果你加入第二個有質量物體，這兩個物體之間就會發生相互運動，會相互向對方施加一個加速度，在這一過程中也就將造成時空結構的改變，這種變化會以波的形式向外以光速傳播，這也就是相對論預言的引力波。事實上，真正探測到引力波是最近兩年的事，為什么引力波的發現會讓人如此興奮？原來，引力波有兩個非常重要而且比較獨特的性質：第一，不需要任何的物質存在于引力波源周圍，這時就不會有電磁輻射產生。第二，引力波能夠幾乎不受阻擋地穿過行進途中的天體。它能夠提供給地球上的觀測者有關遙遠宇宙中黑洞和其他奇異天體的信息，更為有趣的是，它能夠提供一種觀測極早期宇宙的方式，甚至是最初宇宙奇點所發生的事情。

愛因斯坦曾用一個繃緊的床單放入不同質量的物體來解釋他的理論，請在大腦形成這個畫面，如果這兩個質量物體處于相互運行的軌道之中，那么隨著時間推移這個軌道將會逐漸收縮，這兩個質量物體之間的距離將逐漸縮短，現在意識到什么了嗎？也就是說這兩個物體會碰撞到一起，是不是很可怕？不過完全不必擔心，對于像地球圍繞太陽運行這樣一個系統，兩個天體的質量還太小，而兩者之間的距離又非常實在太遙遠，因此在引力波耗散能量的條件下，這個軌道也將需要經過10150年才會衰減完畢，如此長的時間根本不是我們人類要擔心的，但對未知世界的探索引發的快樂才是人生存的意義所在?。?/p>

人類自從發現了引力波，對神秘宇宙的探索又有了質的飛躍。

哈勃用數據讓人類知道宇宙是膨脹的，但卻不知道造成這種膨脹的原因及膨脹速度，宇宙科學家決定通過分析死亡恒星在空間和時間結構中產生的漣漪——引力波來解開這個謎題。

確定哈勃常數可以測定宇宙膨脹速度，從而推算出宇宙的確切年齡以及目前宇宙狀態的一些細節。今天科學家主要通過兩種方法來測量哈勃常數：一種方法是，監測鄰近的天體光譜紅移值，估計它們的距離，從而推算出宇宙的膨脹速度。另一種方法是，關注宇宙微波背景輻射，通過分析宇宙微波背景輻射隨時間的變化也可以計算出宇宙膨脹的速度。

可是這兩種方法測得的結果不同，得出的宇宙膨脹速度也就不同了。宇宙微波背景輻射的數據顯示，宇宙目前正在以大約每秒326萬光年67千米的速度膨脹，而超新星爆發和造父變星的數據顯示，宇宙膨脹的速度是每秒326萬光年73千米。雖然只是6千米的差距，但這也說明物理學家對宇宙的結構及解釋是不盡人意的。

物理學家認為，愛因斯坦預言的引力波可以解決人類對宇宙認識模糊這一難題。如果全世界各地的多個引力波探測設施都檢測到同一次中子星合并事件的引力波信號，那么將這些觀測數據結合起來，科學家們可以計算出這一信號的絕對強度，并十分準確地計算出這一中子星合并事件發生處與地球之間的距離。然后再進一步探索這個合并事件發生在哪個星系。通過對這一星系紅移值的觀測，然后再與引力波信號推出的距離對比，就可以得到更精確的宇宙膨脹速度。

引力波非常微弱，2016年6月16日凌晨，LIGO（激光干涉引力波天文臺）合作組宣布：2015年12月26日03:38:53（UTC：協調世界時），位于美國漢福德區和路易斯安那州的利文斯頓的兩臺引力波探測器同時探測到了一個引力波信號（兩個初始質量分別為約14個太陽質量和約8個太陽質量的黑洞，合并成一個約21倍太陽質量的旋轉黑洞），這是繼LIGO 2015年9月14日探測到首個引力波信號之后（由質量分別相當于29個太陽質量和36個太陽質量的兩個黑洞合并時發出）人類探測到的第二個引力波信號。

2017年8月17日，LIGO和Virgo（室女座引力波天文臺）科學家首次探測到由雙中子星合并產生的引力波（同時，中國第一顆空間X射線天文衛星——慧眼HXMT望遠鏡又有了重要發現，它對此次引力波事件進行了成功監測）。

知識拓展10

X射線爆發

X射線爆發與宇宙γ射線爆發相似，宇宙X射線爆發（簡稱X爆發）也是20世紀70年代天體物理學的重大發現之一。X爆發的主要特征：爆發的上升時間≤1秒；爆發的持續時間由幾秒到幾十秒；大部分的能量在低于50keV（千電子伏）的范圍內輻射；爆發重復出現，但沒有準確的周期。大多數爆發源的爆發間隔由幾小時到幾十小時，也有一些X爆發源的爆發間隔由幾秒鐘到幾分鐘，有人把前者稱為Ⅰ型X爆發，把后者稱為Ⅱ型X爆發。MXB1730-335是非常奇特的X爆發源，在它上面可以同時觀測到Ⅰ型和Ⅱ型X爆發。對于多數爆發源，在兩次爆發之間還觀測到有一種比較穩定的X射線輻射。而且發現這種穩定輻射處于高強度狀態時，不出現X爆發；處于低強度狀態時，才出現爆發。同時發現，大多數爆發源，或許是全部爆發源，都有一個爆發活動時期和一個爆發寧靜時期。在地面上測得的X爆發的極大流量的典型數值為10-10erg/cm·s（erg，爾格，1erg=10-7J）。如果取爆發源的距離為3萬光年，則得X爆發的極大功率為10-10erg/ cm·s。觀測表明，在X爆發的亮度下降階段，Ⅰ型X爆發的能譜有變弱的傾向，Ⅱ型X爆發無此傾向。

為什么要選擇中子星合并事件呢？因為與黑洞相撞不同，中子星會發出可見光，中子星碰撞產生的引力波可以幫助科學家確定它們與地球的距離，而碰撞所發出的光有助于確定它們相對于地球的移動速度。利用這兩組數據，研究人員就能計算出準確的哈勃常數。這個常數能讓我們知道宇宙是否一直這樣膨脹下去，或達到某個值時灰飛煙滅。

引力波的觀測意義不僅在于對廣義相對論的直接驗證，更在于它能夠提供一個觀測宇宙的新途徑，就像觀測天文學從可見光天文學擴展到全波段天文學那樣極大地擴展了人類視野。傳統的觀測天文學完全依靠對電磁輻射的探測，而引力波天文學的出現則標志著觀測手段已經開始超越電磁相互作用的范疇，引力波觀測將揭示關于恒星、星系以及宇宙更多前所未知的信息。引力波為我們打開了一個除電磁輻射、粒子外的全新觀察宇宙的窗口，讓我們更加了解了時空糾纏的秘密！

知識拓展11

造父變星

造父變星（Cepheid variable stars）是一類光度周期性脈動變星，即其亮度呈周期性變化。因典型星——仙王座δ（中文名造父）而得名。由于根據造父變星周光關系可以確定星團、星系的距離，因此造父變星被譽為“量天尺”。1784年約翰·古德利發現了造父變星的光變現象，1912年哈佛天文臺的亨麗愛塔·勒維特通過研究麥哲倫星云內成千上萬顆的變星發現了造父變星的周期—光度關系。造父變星本身亮度雖然巨大，但是不足以測量極遙遠星系核天體，更遠的星系用Ⅰa型超新星測量。

相對論的狹義與廣義

在愛因斯坦剛剛提出相對論的初期，人們用所討論的問題是否涉及非慣性參考系作為區別狹義與廣義相對論的標志。隨著相對論理論的發展，這種區分方法越來越顯現出其缺點——參考系是與觀察者緊密相關的，以這樣一個相對的物理對象來劃分物理理論不能很好地反映問題的本質。

目前，多數物理學家認為，狹義與廣義相對論的區別在于所討論的問題是否涉及引力（彎曲時空），即狹義相對論只涉及那些沒有引力作用或者引力作用可以忽略的問題，而廣義相對論則是討論有引力作用時的物理學的。用相對論的語言來說，就是狹義相對論的背景時空是平直的，即由三維歐幾里得空間與時間組成的四維流形配以閔氏度規，其曲率張量為零，又稱閔氏時空；而廣義相對論的背景時空則是彎曲的，其曲率張量不為零。

知識拓展12

曲率張量

曲率就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率，表明曲線偏離直線的程度。數學上表明曲線在某一點的彎曲程度的數值。曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大。曲率是幾何體不平坦程度的一種衡量，平坦對不同的幾何體有不同的意義。

張量這一術語起源于力學，它最初是用來表示彈性介質中各點應力狀態的，后來張量理論發展成為力學和物理學的一個有力的數學工具。張量的重要特性在于它可以滿足一切物理定律與坐標系的選擇無關。

曲率張量是幾何張量的一種，而黎曼曲率張量更因相對論為大家所熟知。