函數是很多學生都感到頭疼的數學概念，不過大家放心我是不會提出特別復雜的相關概念的。好了，我就開始了。

第一個是概括。概括的現象在所有學科里都有出現，但是在函數中似乎沒有表示概括的。由于我孤陋寡聞和學識淺淡，或許不知道數學家早就對函數進行了概括。不過呢，我還是要提出它。沒錯，就是概括。若函數g(x)=x＋1，k(x)=mx＋n，其中m和n都不為零，那么k（x）就是g(x)的概括，而g(x)就是k(x)的具體。

由于符號看起來總是有點別扭和不舒服，不如文字直觀。那么，接下來我就全部以文字來描述。等價是數學中的重要概念，至于屬于哪一學科就是需要查詢的事情。為了讓結論有說服力，我還是來舉例。x關于f的函數值等于x關于g的函數值的平方加上二倍的x關于g的函數值再加上負三，而x關于g的函數還是和我之前舉的例子是一樣的。把x關于g的函數表達式代入x關于f的函數，經過化簡得到一個新的函數表達式。這樣，我稱x關于f的函數是二階函數或者說它的階是二。由于本來就存在一個x關于h的函數等于相同的表達式，則x關于h的函數和x關于f的函數的結果等價的。其實，這就說明函數的階只是表面的。

既然說到等價，那么等價只有這一種嗎？當然不是。等價還有平移等價和對稱等價，那么它們是怎么樣的呢？x關于g的函數2等于二倍的x加上負三，還是那個x關于g的函數。那么兩個函數就是平移等價的。這是什么原因呢？首先它們都是一次函數，函數圖像對應的是兩條不同的直線。由于直線的斜率相同，兩條直線就是平行的。而平行的兩條直線除了所在位置不同，其他都是相同的。因此，兩條直線對應的函數也是可以看成是等價的。那么，對稱等價又是怎么回事呢？這個就留給你們來說吧！核桃似乎知道自己說得有點多，就及時把還沒有說完的拋給大家。

對稱等價很簡單。在一次函數中，只要讓兩條直線的斜率互為相反數，那么它們就是對稱等價的。其實，你也可以看成是旋轉。只不過旋轉就不一定是等價的了。依然以x關于g的函數為基礎，x關于g的函數3是負三倍的x加上一。因而，它們就是互為偏折的。在這里，我要提出一個概念：同元。而上述兩個函數就是同元。同元就是兩個函數的自變量的最高次方是相同的，否則就是非同元。為了敘述方便，我把自變量的最高次方稱為元次。就是說，兩個函數的元次相同就是同元。如果函數的元次同為奇或者偶，那么它們的圖形具有分形相似。就是說高次函數的圖像必然部分包含低次函數的圖像。即高低次函數的圖像不是高次函數的圖像的分形。小尼很自信，也很快就說完了。

我來說說函數的擴展吧！函數可以看成是有序對的集合。既然說到集合，就要說子集。函數是一個集合，自然有子集。子函數就是函數的子集。那么，什么是子函數呢？就是子函數是以函數的各個項中的一個或者多個為函數表達式，總之比原來的函數少一個項。隨著函數元次的增大，函數的子函數也會相應增多。

核桃都說了等價，但是沒有定義域。只有兩個函數的定義域是相同的，即同域。那他們才是完全等價的。否則就是不完全等價的。埃斯皮諾薩也在說著。

我來繼續說。系數變換是函數變化的一種方式。在此情況下，就形成了一個交換集。在變換的過程中，函數元次是不會改變的。在一次函數里，系數變換是沒有意義的。

函數肯定和坐標系脫離不了關系，而坐標系又是由四個象限決定的。我就問函數圖像能否經過四個象限呢？說起圖像，我就想到了直線多邊形。那么，直線多邊形可以是函數的圖像嗎？不能。因為直線多邊形是閉合的，必然出現一個自變量的值對應兩個函數值甚至多個。而我們知道函數的定義是一個自變量只能對應一個因變量，就是說一個橫坐標的函數值是唯一的。不過，這倒符合映射。只有一次函數的圖像永遠不會經過四個象限，而其他函數只是部分情況下是會經過四個象限的。

嗯，大家都有點超常發揮。不過，也該結束了。