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第19章 數軸的空白

  • 數學屋
  • 雪南衣
  • 1045字
  • 2022-07-08 11:09:24

埃斯皮諾薩在紙上畫了一條數軸,然后說:幾天前,我們講過皮亞諾的證明1+1=2的過程中提到了后繼數。那么,是不是每個數都有后繼數,還有一個數的后繼數是等于它加一?

艾麗西亞說:數本質是人造的,和物理世界無關。就算把所有的在宇宙中的粒子的數量加起來,也不能讓窮盡數學中的數。

既然是人造的,就肯定符合規律。如果你仔細觀察,就會發現后繼數肯定是普遍存在的。

其實不用想,我們的計算不就是建立在后繼數的基礎上嗎?奇數和偶數的概念不就是以它為基石嗎?

1的后繼數是2,2的后繼數自然是3。然后,這樣一直下去直到無限。

如果你要我證明,我就需要有一些規定。然而,有了規定后還能算證明嗎?所以,我不打算證明。

小尼聽后,不以為然:后繼數的問題其實是在談論數軸是否空白。如果數軸是空白的,那么后繼數自然不是每個數都有。相反地,就可以證明所有數可能有后繼數。如果有數軸具有對稱性,后繼數就是每個數都有的。這句話怎么理解呢?只看整數,是不是會發現每隔一段距離就有一個整數。然而,我在想數軸真是如此嗎?每兩個相鄰整數之間的距離真的都相等,還是只是我們的錯覺?我們以為數軸是對稱的,這會不會是我們的錯覺呢?假如數軸沒有對稱性,不是一樣可以存在嗎?

埃斯皮諾薩鼓掌道:小尼你點出了我真正想說的,數軸的空白到底是真實存在還是我們的想象呢?這個問題的關鍵是后繼數。只要后繼數是普遍存在的,數軸的空白就不可能有。如果不出什么意外,也許問題就會這樣被解決。

無論想什么數學問題我都會想到無理數,這次也不例外。為什么會想到它呢?因為它很特殊,值得深入探討。我就在想無理數的無限不循環的特性應該會影響數軸,導致數軸出現不對稱的情況。所以,不是所有數軸上的數都有后繼數。當然這并不能說明數軸是空白的。

有人認為無窮大減一和無窮大是一樣大,本質上沒有區別。甚至,希爾伯特在著名的旅店問題里就是反復運用這一原理。不少人看到后都忍不住問道:這怎么能一樣?無窮大減一就是偽命題。其實這就可以看成是數軸蜷縮一點的狀態。以前,我不是這樣認為的。我覺得這是因為數軸中存在一個無窮群,而每個無窮都不一樣。而我為什么會有現在的感受呢?其實,我在思考數軸是否空白時就自然而然地聯想到這一點。數軸真的在很遠處蜷縮成一點了?我不確定!但是我突然覺得數軸的空白或許就是存在的。

數學的討論不必急于一時,我們可以仔細思考。我希望大家在接下來的時間里可以好好想一想,以便有更好的觀點涌現。看,太陽有又升起了。明天太陽升起的時候,我們又會在這里討論數學問題。不管怎樣,我們都要享受當下。

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