說(shuō)起數(shù)學(xué)中名聲在外的函數(shù)，大家都不陌生。但是，似乎都忘記了映射這個(gè)重要的媒介。當(dāng)時(shí)，為了解釋函數(shù)，教科書(shū)里才簡(jiǎn)單描述了它。那么，它真的很簡(jiǎn)單？當(dāng)然不是。

說(shuō)起直積映射，我以前是不知道的。后來(lái)在一本代數(shù)數(shù)論書(shū)籍中，我看到了直積以及直積映射。直積是笛卡爾乘積，就是一個(gè)集合的任一元素與另一個(gè)集合的任一元素的乘積。說(shuō)起笛卡爾，想必誰(shuí)都不陌生。一句我思故我在，成為多少人的口頭禪。直積映射就是關(guān)于映射族的映射。映射族聽(tīng)起來(lái)和集合族差不多，其實(shí)也是同樣的道理。映射族就是映射代數(shù)化。怎么理解2＝2是個(gè)等式x-2＝x3－6就是一個(gè)方程。當(dāng)然，這還是不具有說(shuō)服力。32+42＝52就是一個(gè)等式，a?+b?=c?就是一個(gè)等式族。

我們知道同質(zhì)化和同胚，但是同構(gòu)呢？同胚有拓?fù)渫吆臀⒎滞?，而同?gòu)就有向量空間同構(gòu)。我們既然是談?dòng)成洌瑯?gòu)自然也有映射。同構(gòu)映射是同態(tài)映射和雙射，都是群論概念。同態(tài)本來(lái)就是映射，如果再說(shuō)映射，不就是同義重復(fù)嗎？它涉及群胚，是一種范疇論的概念。與元素偶有關(guān)。這個(gè)詞語(yǔ)聽(tīng)起來(lái)有些奇怪，為什么不叫元素對(duì)呢？對(duì)表示兩個(gè)，而偶可以表示多個(gè)。所以，偶是對(duì)的推廣。

說(shuō)起反射，是不是覺(jué)得是物理的？但是，數(shù)學(xué)中也有反射這個(gè)概念。在形態(tài)學(xué)里，指的是兩個(gè)集合存在相似。

對(duì)合聽(tīng)起來(lái)有些繞口，理解起來(lái)的確存在困難。對(duì)合和同態(tài)一樣，都是映射。對(duì)合的例子有很多，有恒等映射、圓反演等。而對(duì)合變換也很特殊，它是冪幺變換。冪幺變換的形式是指數(shù)，關(guān)鍵是冪幺指數(shù)。

切映射聽(tīng)起來(lái)像個(gè)動(dòng)詞組合，其實(shí)是名詞。微分幾何里，也有切空間。它們都和微分流形有關(guān)。

世界真奇妙，數(shù)學(xué)顯神功。

微分出流形，幾何連代數(shù)。

各個(gè)數(shù)學(xué)家，各展已之才。

大廈何其多，我從里面過(guò)。

依靠一后綴，尋出多條線。

一線引多線，概念如泉涌。

為解其中一，試思他二三。

從此形成鏈，進(jìn)而形成網(wǎng)。

我知學(xué)不應(yīng)急，怎奈迷茫太甚。

如若不尋一二助力，登上座座學(xué)術(shù)大廈豈非妄想？

記得孔子說(shuō)過(guò)，學(xué)習(xí)是要思考。

對(duì)此，我想也是。

很多時(shí)候，哪有現(xiàn)成的結(jié)論讓你用上。

到頭來(lái)，還不是要靠自己來(lái)想。

即使讀者讀得尷尬，我也實(shí)屬無(wú)奈。

第一，是為學(xué)習(xí)。第二，是為理想。

人生在世，怎能沒(méi)有追求？

如果事事都以不懂推脫，不是偷懶的表現(xiàn)嗎？

學(xué)術(shù)本是難事，故而難做。

但是，我想求知之火又怎么能讓它熄滅？

由于不是在學(xué)術(shù)平臺(tái)，所以我就不受限制。

當(dāng)然，凡事都有成本和代價(jià)。

自由也不例外。

我的觀點(diǎn)可能存在錯(cuò)誤而我卻不自知，不過(guò)人誰(shuí)無(wú)過(guò)呢？

好了，就這樣水了半章。