Circle / 圓

前兩章介紹了數論和概率兩個領域的內容。下面我們考慮一個幾何話題, 這是數學的一個重要分支。正如我們將在第G章中所看到的那樣, 幾何是古希臘數學家最關注的領域, 擁有悠久而光輝的歷史。在古典數學世界中, 這門學科如此著名, 以至于數學家和幾何學家二者成了同義詞。在很大程度上, 幾何就是數學家的工作對象。

當然, 我們可以從許多不同的角度介紹幾何。本章講述的是圓, 這是最重要的幾何概念之一。圓簡單、端莊、優美, 充分展示了二維的完美。在古希臘人的手里, 這些圓不僅自身非常重要, 而且是展示其他幾何思想的主要工具。

圓這一術語已經成為我們的常用詞。根據定義, 圓是到一個固定點距離相同的所有點組成的平面圖形。這個固定點稱為圓心, 而所有點到圓心的相同距離稱為半徑。通過圓心穿過圓的線段距離稱為直徑。這個圓形曲線的長度, 即做一次完整圓周運動所經過的距離稱為周長。

第一次認識圓的初學者也會很快認識到這樣一個事實：所有圓都有相同的形狀——可能有的大些而有的小些, 但是它們“圈”的樣子, 它們完美的圓形是完全相同的。數學家稱所有圓都是相似的。不妨做個對比, 我們說并不是所有的三角形都有相同的形狀, 并不是所有的矩形都有相同的形狀, 并不是所有的人都有相同的體態。我們很容易想象高而細長的矩形, 或者高而瘦的人。但是, 高而細長的圓根本就不是圓。

所以, 圓都有相同的形狀。在這些枯燥的觀察之后有一個重要的數學定理：對于所有圓來說, 周長與直徑的比值是相同的。無論是有大圓周和大直徑的大圓, 還是有小圓周和小直徑的小圓, 周長與直徑的這個相對比值都是相同的。設表示周長, 表示直徑, 數學家說, 對于所有的圓, 比值是常數。

我們把這個常數稱作什么呢？數學家從不會錯過引入新符號的機會, 他們選擇了希臘字母表中的第十六個字母, 從此使它成為一種數學永恒。這一選擇非常合適, 因為是古希臘人首先對圓進行數學研究的, 但是古希臘人自己并不在這種意義之下使用。

為了形式化這個概念, 我們考慮圖C-1并引入如下定義。

圖C-1

定義　如果是圓的周長, 是它的直徑, 那么。

交叉相乘后, 這個定義產生了一個著名的公式。由于直徑是半徑（）的兩倍, 我們利用這個關系得到了一個等價的著名公式。

因此, 提供了周長（一個長度）和半徑（另一個長度）之間的關系。這非常重要, 因為同樣是這個常數提供了圓的面積與其半徑之間的關系, 盡管這一事實不是十分顯然的。討論一下為什么會這樣, 還是很值得的。

其重要思想是用一個內接正多邊形來近似一個圓, 所謂的正多邊形指的是所有邊都有相同長度且所有角都有相同大小的多邊形。與圓比起來, 多邊形是一個更容易接受的圖形, 我們對于多邊形的了解能引導我們了解它們的外接圓。

圖C-2

在圖C-2中, 我們看到一個正多邊形內接于半徑為的圓。為了確定這個多邊形的面積, 我們從這個圓的圓心到這個圓上的五個頂點畫半徑, 于是把這個多邊形分成五個三角形。每個三角形都有長度為的底邊, 這是這個多邊形的邊。三角形的高為, 這是從這個圓的圓心到這個多邊形的邊垂直畫出的虛線, 我們稱其為邊心距。根據著名的三角形面積公式, 我們看到

所以

而正是這個多邊形的邊長的5倍, 因此它等于這個多邊形的周長。總之, 我們已經得到

經過片刻的沉思, 我們就會明白, 無論我們在一個圓內內接一個正五邊形還是正二十邊形或者正1000邊形, 這個公式都成立。對于一般的情況, 即在圓內內接一個正邊形, 這個多邊形被分成個小三角形, 每個小三角形都有相同的邊心距（從圓心到多邊形的邊的垂直距離）和底（這個邊形的邊長）。因此,

因為周長是多邊形邊長的倍。

現在, 我們想象連續地內接一個正10邊形、一個正10000邊形、一個正10000000邊形等, 這樣不停地增加邊數。很顯然, 至少在直觀上, 以這種方式, 多邊形將逐漸“填滿”（fill up）圓, 古希臘人說這是“耗盡”（exhaust）圓, 因此內接圖形的面積將接近圓面積, 以圓面積為其面積的上限。使用記法lim表示極限limit, 我們看到

內接正多邊形的面積永遠不會與圓的面積精確地相等, 因為無論內接多邊形的邊多么小, 它們都不會精確地與圓弧重合。但是, 這個多邊形的面積可以任意接近這個極限面積, 即這個圓的面積。

還有兩個問題：當多邊形的邊數無限增加時, 邊心距和周長有什么變化呢？顯然將以這個圓的半徑為其極限值。同樣內接正邊形的周長的極限值是這個圓的周長。這些事實可以用符號表示如下：

因此,

終于露面了, 因為我們注意到上面的。因此前面的公式變成：

毫無疑問, 這是數學中一個關鍵的公式, 這個公式不僅令數學家感到興奮, 甚至令報紙漫畫家感到興奮（見圖C-3）。

圖C-3　（FRANK & ERNEST, 得到NEA, Inc. 的許可翻印）

所以, 如果求一個給定的圓的周長或者面積, 我們就一定會遇到。但是這引發了一個實際問題, 即要確定這個重要的比值。總之, 是一個真正的、毫不摻假的數的符號, 任何人要做與圓相關的計算時都需要知道這個數（至少是近似值）。就像只使用“雞蛋”一詞不能做蛋糕一樣, 只使用符號也無法求圓面積的數值。

近似比值的最簡單的方法是量出某個圓的周長和直徑, 然后由前者除以后者。例如, 繞一輛自行車的輪胎一周的一段繩子量出是82英寸[3], 而同時拉伸另一段繩子測得這個輪胎的直徑是26英寸。因此, 我們實際的實驗產生的估測是, 而表示“約等于”, 和前一章的意思一樣。遺憾的是, 當用同樣的方法去測量一個咖啡罐的圓形蓋子的周長和直徑時, 我們得到, 這個結果并沒有非常接近第一次的估測值。像這類物理測量顯然要帶來一些誤差, 無論如何, 現實中的咖啡罐和自行車輪胎都不是完美的數學圓。

為了對周長和直徑的比值做一次精確的數學估測, 我們把注意力轉向錫拉庫扎的阿基米德（公元前287—前212）, 這是數學史上一位令人尊敬的人物。阿基米德是一個有點古怪的人, 經常心不在焉, 沉迷于自己的想法。早在他那個時代, 他就被認為是一位科學天才。不管怎樣, 之所以人們至今仍然紀念他, 可能是因為他辨別出赫農王的王冠被摻了假。

據傳說, 這位錫拉庫扎的國王命令一名工匠用一定量的黃金制作一頂精致的王冠。當這項計劃完成時, 有流言說這名工匠用一定量的銀取代了等量的黃金, 因此這個王冠不值錢, 工匠欺騙了國王。這個流言是真的嗎？揭示真相的任務被指派給阿基米德。我們引用羅馬建筑師維特魯威（Vitruvius）的一段話來講述這個故事。

盡管這個故事的真實性有些可疑, 但是它的確是一個著名的故事。也許在整個科學史中, 再沒有其他傳說能把才智與赤裸等要素如此生動地結合在一起。

歷史學家說, 阿基米德經常在沙地上畫圖形來研究數學。甚至傳說他經常攜帶一個沙盤, 就像當時的一種筆記本電腦。當靈感涌動的時候, 他把沙盤放在地上, 然后抹平沙子, 開始畫他的幾何圖形。在今天看來, 這樣的方法顯然有它的缺陷：一陣大風就可能把他那杰出的證明吞掉；一個惡棍也許會把定理踢到他的臉上；一只貓可能會闖入沙盤, 弄得狼藉一片, 讓他無法靜心沉思。

然而, 阿基米德成功了, 他創造了數學的主體, 不僅把它留給了他同時代的人, 而且還一代一代地傳給后來的學者。我們將在第S章接著介紹他, 在那里我們將更仔細地介紹他最偉大的成果, 即確定了球的表面積。但是這里先講述他對圓周與直徑的比值的估測, 換句話說, 他對的估測。

同上面的做法一樣, 阿基米德的方法是用正多邊形逼近圓。盡管下面的做法啟用了現代的符號而且起點稍有不同, 但是整個進程與阿基米德的方法一致。這個過程只需要一點代數知識和畢達哥拉斯定理。而畢達哥拉斯定理是說在一個直角三角形中, 其斜邊的平方等于其他兩個邊的平方和。（畢達哥拉斯定理將在第H章討論。）

我們利用圖C-4, 有一個圓的內接正方形。因為周長和直徑的比值對于所有圓都是相同的, 所以可以把這個圓的半徑選為, 這使得我們的工作變得相對簡單些。因此這個正方形的對角線, 即圖中的虛線是這個圓的直徑, 。

圖C-4

我們用表示這個正方形的邊長, 于是直角三角形有兩個邊的邊長是, 斜邊是2。根據畢達哥拉斯定理, 它滿足, 所以, 。于是這個正方形的周長是。

這個正方形的周長首先給出了這個圓的周長的一個粗略的估測。用正方形的周長取代圓的周長, 我們得到

此時的近似值2.8284誤差很大, 甚至比上面的自行車的輪胎估測值更糟糕。如果我們不能比這做得更好, 那就真應該回到制圖板或者沙盤了。

但是, 根據阿基米德的思想, 我們可以通過加倍這個多邊形的邊數來改進第一次估測, 因此得到一個內接正八邊形并設它的周長是這個圓的周長的下一個估測值。我們再次把邊數加倍, 得到一個內接正十六邊形, 然后是正三十二邊形, 等等。顯然每一步, 我們的估測值都更精確。同樣顯然的是, 在這一方法中, 我們的主要障礙是確定這些多邊形中的一個多邊形的周長與下一個多邊形周長之間的關系。

再次使用畢達哥拉斯定理就可以克服這一障礙。圖C-5給出了圓心是且半徑為的一個圓的一部分。長度為的線段是內接正邊形的一條邊。點把線段二等分, 畫一條通過點的半徑, 其與圓相交于點, 生成線段, 這是內接正邊形的一條邊。如果是的長度, 我們希望確定與之間的關系, 即一個內接正多邊形的邊長與邊數是其邊數2倍的正多邊形的邊長之間的關系。

圖C-5

首先注意到是直角三角形, 其斜邊長為, 直角邊的長為。如果代表直角邊的長, 畢達哥拉斯定理保證

因為的長度顯然是（半徑）的長度和的長度之差, 于是我們得出的長度是

再次對直角三角形運用畢達哥拉斯定理, 得到

/4項消失了。我們把上面表達式中的2從根號外面移到根號里面就可以化簡這個表達式, 于是得到

最后得到

現在, 我們要回到對進行估測的問題上來。回想一下我們的內接正方形的邊長是。當我們運用上面的公式計算內接正八邊形的邊長時, 這個值相當于：

因此八邊形的周長是, 于是我們估測為

接下來我們要利用十六邊形。這一次, 這是已經確定的正八邊形的邊長, 我們使用它求正十六邊形的邊長：

所以十六邊形的周長是

于是我們對的更好的估測值是

現在我們取得了某種程度的進展。再次把邊數加倍, 并運用這一公式得到內接正三十二邊形的周長是

所以的估測值為

我們可以繼續進行。顯然我們可以隨意重復這一過程。事實上, 這一進展模式使得從一步到下一步的過渡變得非常順利。

在計算器的幫助下, 我們再進行七次加倍, 得到了正六十四邊形、正128邊形、正256邊形、正512邊形、正1024邊形、正2048邊形以及正4096邊形。顯然正4096邊形已經相當接近圓了, 盡管它與自己所內接的圓不完全相同。這次對的估測是：

上面的表達式已經精確到了小數點后第五位, 它的特殊外形充分展示了數學的藝術性。更重要的是我們知道了如何得到更精確的估測值：再繼續這樣的模式一次, 或者一激動再做50次。以這樣的模式, 常數可以達到我們希望的精確度。

使用正多邊形的這種基本方法要追溯到22個世紀之前的阿基米德。但是它有一種缺點：需要計算平方根的平方根的平方根。隨著每一次邊數的加倍, 我們都陷入一次平方根嵌套, 因而隨之使整個過程變得復雜。阿基米德當時既沒有十進制體系也沒有計算器, 他不得不通過尋求大致等值的小數來渡過平方根造成的難關。他最后用到了正九十六邊形。他做到的這一切已經足以證明了他是天才。

然而還有更容易、更有效的途徑到達同樣的終點嗎？答案是肯定的, 盡管在17世紀微積分和無窮級數出現之前, 這一途徑還隱于迷霧之中。只有有了微積分和無窮級數, 數學家才能真正找到更有效的近似值。盡管這是一個相當精妙的話題, 但是我們還是希望至少給出一種沖擊這一防線的感覺。

有一個重要的函數, 它被稱為反正切函數（記為）, 出身于三角學領域, 在這里我們不需要考慮三角學。重要的是, 我們可以把表示成無窮級數。

上面這個求和過程以一種顯然的模式無限地進行下去。我們越往前進行算術運算, 就越接近的真實值。

但是這與有什么關系呢？使用三角學我們可以證明下面的事實：

然后, 我們分別把, , 代入上面所示的級數中來近似, , 。對每一個級數計算七項得到：

像我們前面的估測一樣, 這一估測可以精確到小數點后許多位。然而前面的估測導入了很多平方根, 其中每一個都需要自己的估測程序, 而上面的估測卻再也見不到平方根的身影！通過引入的無窮級數, 數學家可以避開平方根這樣可怕的事情。

在大約三個世紀前取得的這一成果使得人們在的計算方面有了巨大的進步。1948年（計算機出現之前）, 人們就已經將精確到小數點后808位了。一年后, ENIAC計算機把這一精度推到了2037位[2]。而按現在的標準, 這樣的計算機絕對是太初級了。這一精度的改進說明一個事實：計算機可以做的任意位數的計算。的確, 位數探索已成為一小部分人熱情追逐的事情, 他們致力于一系列數值計算機的研究。不久, 精度就增加到10萬位、100萬位, 以及令人吃驚的10億位。這樣的計算一般在著名大學或大型研究中心內依賴于強大的超級計算機完成。

然而, 戴維（David）和喬治 ? 楚德諾夫斯基（Gregory Chudnovsky）這一對聰明卻有點古怪的兄弟卻逆潮流而上, 在曼哈頓島公寓里, 他們把郵購來的元器件組裝成計算機, 計算到小數點后20億位。他們的工程令桌面放滿了計算機部件, 走廊上布滿了電線, 所有這些電子小部件產生的熱量使得公寓的室溫急劇升高。盡管如此, 楚德諾夫斯基兄弟倆還是努力完成了這一任務。這兄弟二人的方法與各大學的超級計算機的對比就相當于他們二人與《圣經》故事中的巨人歌利亞的對比, 盡管此時, 這對處于劣勢的兄弟擁有許多小硅棒。[3]

如果說紐約的楚德諾夫斯基兄弟是成功攻克了的一對孤獨的狼, 那么古德溫（E. J. Goodwin）醫生的孤軍奮戰則相當失敗。他的故事很多數學家都知道, 卻常講常新。

故事發生在19世紀末。古德溫醫生生活在美國印第安納州的索利圖德鎮（Solitude, 意為“孤獨、荒僻”）, 這是一個偏遠且毫無生氣的小鎮。為了打發業余時間, 這位優秀的醫生涉足了數學, 遺憾的是, 他熱情有余而能力不足。他相信自己對圓的面積及其周長之間的關系做出了重大發現, 事實上這就隱含著關于的重大發現。

偉大的數學進步應該與學術團體一起分享, 但是古德溫醫生卻采用了不同的策略。他把他的成果引上了政治舞臺而不是學術舞臺, 他要求印第安納州眾議院的代表引入下面的條款作為1897年的246號法案：“印第安納州眾議院制定如下法律, 確定圓的面積等于這個圓的周長的四分之一的平方。”[4]當然, 1897年的政治領導人并不比現代的政治領導人對數學更內行, 只不過他們覺得它完全可以接受。但是這是什么意思呢？

圖C-6

正如圖C-6所示的那樣, 古德溫的法案說左邊圓的面積等于右邊正方形的面積, 而正方形的每條邊長正好等于圓周長的四分之一。如果我們用表示這個圓的半徑, 周長表示為, 那么我們知道這個圓的面積等于, 而正方形的面積等于：

若像古德溫所說的那樣, 這兩個面積相等, 那么有下式成立：

交叉相乘后我們得到, 消除兩邊的, 我們得到最終結果是。

也許阿基米德要在他的墳墓里抗議, 但是印第安納州的立法者們沒有一個人因為這樣的結論而感到困惑。對于他們來說, 這些話聽起來太深奧而無法反駁。奇怪的是, 這一法案首先由眾議院沼澤地事務委員會討論通過。1897年2月, 眾議院教育委員會討論通過。三天后, 整個印第安納州議會代表投票表決贊同古德溫的主張：。

其間, 這件事引起了新聞界的注意, 《印第安納波利斯哨兵》就表明了對它的支持：

上段文字除了說明州教育廳長支持這一法案之外, 還給出了后面某些奇怪舉動的一個合適的理由：這些立法人員非常渴望全美國人民或者全世界人民都使用這個新的值, 從而使印第安納州擁有全國乃至世界性的榮譽。

246號法案提交到參議院的戒酒委員會, 并于2月12日獲得通過, 只要再通過參議院全體會議, 就能得到法律的身份了。

幸運的是, 在最后關頭, 這一法案沒有通過。它的失敗很大程度上要歸功于普度大學的數學家沃爾多（C. A. Waldo）, 他當時正在印第安納波利斯。沃爾多回憶了他在參觀州議會大廈時所發生的事情, 下面是別人的回憶：“一名委員向他出示了這個法案的副本……并問他是否愿意認識一下這位博學的醫生。他婉言謝絕了這番好意, 并說他已經認識了足夠多的瘋子。”[6]

由于這位教授的負面評價, 通過這個法案的提議被否決了。2月12日下午, 參議院無限期推遲了這一議案, 維持等于的合法性。一位很有見識的反對該議案的參議員哈貝爾抱怨說：“參議院還不如立法讓水往山上流。”

從阿基米德的沙盤到印第安納州的立法大廳, 圓和激起了人們的興趣。在本書后面的章節中我們還會看到它們兩個, 因為它們是數學事業的中心。現在, 我們給出這一世界性偉大數值的前30位小數：

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[3]1英寸等于2.54厘米。——譯者注