前言

很多孩子從簡單的英文字母書開始學習閱讀。舒舒服服地坐在大人溫暖的大腿上, 隨著字母表的展開, 孩子們從“A代表alligator（鱷魚）”到“Z代表zebra（斑馬）”, 靜靜地聆聽著。這樣的書也許不是什么偉大的文學著作, 卻是教孩子認識字母、詞匯和語言的有效啟蒙讀物。

效仿孩子們的這些字母讀物, 本書按字母A到Z的順序組織了一系列小短文, 以這種形式來嘗試解釋數學的基本原理。不過, 本書的內容相對要深奧一些, D在這里代表differential calculus （微分學）而不是doggie （小狗）, 因而, 是不是坐在溫暖的腿上也就無所謂了。但是, 按照字母順序周游知識世界的基本思想還是一致的。

這樣的組織方式要求極其嚴格, 讀者需要一頁一頁從頭讀到尾, 但數學原理畢竟不可能依照拉丁字母的順序展開它的邏輯進程。因此, 有時候章與章之間的銜接會有些生硬。另外, 某些字母可能包含很多題材, 而有些字母的題材卻相當地生僻。這種狀況在孩子們的字母讀本中也會出現, 比如“C代表cat（貓）”而輪到X卻是“X代表xenurus（犰狳）”。讀者會發現, 有些話題是硬塞進來的, 很像把16碼的大腳硬生生地擠進8碼的小靴子里。設計一個與字母順序一致的主題順序, 確實是對邏輯組織能力的一個不小的挑戰。

本書從算術這個（看似）簡單的主題開始。后面章節依次探討各個主題, 這些主題可能會有所重復, 而不同的主題也常常交織在一起。有時候, 前后相繼的幾章會討論同一個領域的問題, 例如第G、第H、第I這三章討論的是幾何, 而第K章和第L章講述的是17世紀牛頓與萊布尼茨這兩個死對頭的故事。有些章專門介紹某一位數學家, 比如第E章的歐拉、第F章的費馬和第R章的羅素。有些章陳述特定結果, 例如等周問題及球體的曲面面積的阿基米德確定法。有的章則關注一些更寬泛的主題, 如數學人物和這一學科中的女性等。無論是什么樣的主題, 每一章都講述了大量的歷史事實。

順著這樣一條路線, 我們將展示數學各主要分支的概況（從代數到幾何, 直至概率和微積分）。這些章節的設計著眼于解釋關鍵數學思想, 采用了不那么正統的教科書的形式, 行文間時而會出現一些實際的證明（至少是“小證明”）。例如, 第D章和第L章分別介紹微分和積分, 因此少不了要多涉及一些數學運算。

然而, 在多數章中, 我們會盡力減少技術性推理。事實上, 本書的主題都在初等數學范疇內。也就是說, 本書把主要內容框定于高中代數和高中幾何。數學專業人士在這些章節中不會發現什么新奇的東西。本書針對的是那些對數學有濃厚的興趣, 而且還有一定知識背景的人。

有幾個中心思想會不斷出現。例如, 數學這門學科雖然古老, 但極為重要；它既涵蓋了人們日常生活的方方面面, 又深入那些抽象的神秘領域；數學是一門博大精深的學問。而按照字母順序來組織內容并展示這門大學問的精髓正是本書追求的目標。

在此, 有必要提一下保羅斯（John Allen Paulos）的著作《超越數》（Beyond Numeracy）, 保羅斯把這本書描述成“部分是字典, 部分是數學短文集, 部分則是數學研究者的思考”。保羅斯這本生動的著作同樣按字母A到Z的順序描繪了數學的發展歷程, 他從algebra （代數）開始一直寫到（數學家） Zeno （芝諾）。對某些字母他安排了多個條目, 因此他那本書的覆蓋面更寬；而我選擇通過少量而篇幅較長的文章來增加深度。我希望這兩本都按字母順序編排但風格各異的書能夠相得益彰。

當然, 任何作者都沒有辦法做到面面俱到, 不可能討論到所有關鍵要點、介紹到所有重要人物, 或涉及所有亟待解決的數學問題。作者每次都必須做出選擇, 而這些選擇又要受到內在一致性、題材的復雜程度、作者的興趣和專業知識的限制, 還要受到完全人為的字母順序的限制。這類書的選題策劃方案決定了它難免掛一漏萬, 而大量的好素材最終都不得不忍痛割愛了。

這樣一來, 本書就成為一個人只身面對浩瀚數學宇宙的感悟。跟隨本書在數學知識的海洋中遨游, 只能經歷無數條路徑中的一條, 而且我也認為我所選擇的從A到Z的順序并不是最完美的路徑。

拋開限制不談, 我仍然希望本書至少能夠展示數學這門魅力無窮的學科的概貌。正如19世紀數學家索菲亞 ? 柯瓦列夫斯卡婭所說：“許多無緣更深入認識數學的人士把數學與算術混為一談, 而且還誤認為它是一門枯燥無味的科學。然而實際上, 它是一門需要最強大想象力的科學。”[1]也許這本書能夠再現5世紀希臘哲學家普羅克洛斯（Proclus）的高尚情懷：“單憑數學便能重振生機, 喚醒靈魂……賦予其生命, 化想象為現實, 變黑暗為智慧的光芒。”[2]