書名：九章算術(shù)
作者名：張蒼
本章字?jǐn)?shù)： 9616字
更新時(shí)間： 2022-05-16 18:51:16

卷四：少?gòu)V

少?gòu)V術(shù)曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘諸分子及全步，各以其母除其子，置之于左。命通分者，又以分母遍乘諸分子及已通者，皆通而同之，并之為法。置所求步數(shù)，以全步積分乘之為實(shí)。實(shí)如法而一，得從步。

今有田廣一步半。求田一畝，問從幾何？

答曰：一百六十步。

術(shù)曰：下有半，是二分之一。以一為二，半為一，并之得三，為法。置田二百四十步，亦以一為二乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝，問從幾何？

答曰：一百一十五步五分步之一。

術(shù)曰：下有四分，以一為一十二，半為六，三分之一為四，四分之一為三，并之得二十五，以為法。置田二百四十步，亦以一為一十二乘之，為實(shí)。實(shí)如法而一，得從步。

原文

少?gòu)V（1）術(shù)曰：置全步（2）及分母子，以最下分母遍（3）乘諸分子及全步，各以其母除其子，置之于左。命通分者，又以分母遍乘諸分子及已通者，皆通而同之，并之為法。置所求步數(shù)，以全步積分乘之為實(shí)。實(shí)如法而一，得從步。

注釋

（1）少?gòu)V：少，少量。廣，長(zhǎng)方形的寬。少?gòu)V，這里指由長(zhǎng)方形的面積或體積，求其中一邊的長(zhǎng)。

（2）全步：整數(shù)部分。

（3）遍：全部。

譯文

求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊的運(yùn)算法則：列出步數(shù)的整數(shù)部分及分?jǐn)?shù)的分子分母，用最大的分母乘所有分子和整數(shù)部分。各分子除以其分母進(jìn)行約分，得數(shù)放在左邊，然后將能通分的分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分，并進(jìn)行約分。用其次的分母乘所有分子和已經(jīng)通分的數(shù)，使得各分母相同，并把它們的和作為除數(shù)。所求步數(shù)乘整數(shù)部分作為被除數(shù)。被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為長(zhǎng)的步數(shù)。

原文

（一）今有田廣一步半。求田一畝，問從幾何？

答曰：一百六十步。

術(shù)曰：下有半，是二分之一（1）。以一為二，半為一，并之得三（2），為法。置田二百四十步，亦以一為二乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。

注釋

（1）下有半，是二分之一：列在下面的分母為2，即。

（2）以一為二，半為一，并之得三：把1化為2，化為1，和為3。

譯文

（一）現(xiàn)有田寬為1步。面積為1畝，那么長(zhǎng)是多少？

答：160步。

運(yùn)算法則：列在下面的分母為2，把1化為2，化為1，和為3作為除數(shù)。1畝化為240平方步，乘1所化的整數(shù)2作為被除數(shù)。被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為長(zhǎng)邊的步數(shù)。

譯解

（一）2+1=3，作為除數(shù)；

240×2=480平方步，作為被除數(shù)；

被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為所求長(zhǎng)邊的步數(shù)，即480÷3=160步。

術(shù)解

（1）1畝=240平方步，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，得出長(zhǎng)=面積÷寬。

（2）即240÷1=240÷=240×=240×2÷3。

（3）240×2÷3=160步，與題中運(yùn)算法則相符。即長(zhǎng)為160步。

原文

（二）今有田廣一步半、三分步之一。求田一畝，問從幾何？

答曰：一百三十步一十一分步之一十。

術(shù)曰：下有三分，以一為六，半為三，三分之一為二，并之得一十一為法。置田二百四十步，亦以一為六乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。

譯文

（二）現(xiàn)有兩塊田寬分別為1步、步。田面積總共為1畝，長(zhǎng)邊是多少？

答：130步。

運(yùn)算法則：列在下面的分母為3，把1化為6，化為3，化為2，和為11作為除數(shù)。1畝化為240平方步，乘1所化的整數(shù)6作為被除數(shù)。被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為長(zhǎng)邊的步數(shù)。

譯解

（二）6+3+2=11，作為除數(shù)；

240×6=1440平方步，作為被除數(shù)；

被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為所求長(zhǎng)邊數(shù)，即1440÷11=130步。

術(shù)解

（1）1畝=240平方步，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，得出長(zhǎng)=面積÷寬。

（2）最大的分母為3，先用3通分，然后再用2通分。通分后的和為。即240÷（1+）=240÷=240×=240×6÷11=130步。

原文

（三）今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝，問從幾何？

答曰：一百一十五步五分步之一。

譯文

（三）現(xiàn)有3塊田，寬分別為1步、步、步。田面積共為1畝，那么長(zhǎng)邊是多少？

答：115步。

運(yùn)算法則：列在下面的分母為4，把1化為12，化為6，化為4，化為3，和為25作為除數(shù)。1畝化為240平方步，乘1所化的整數(shù)12作為被除數(shù)。被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為長(zhǎng)邊的步數(shù)。

譯解

（三）12+6+4+3=25，作為除數(shù)；

240×12=2880平方步，作為被除數(shù)；

被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為所求長(zhǎng)邊數(shù)，即2880÷25=115步。

術(shù)解

（1）1畝=240平方步，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，得出長(zhǎng)=面積÷寬。

（2）最大的分母為4，先用4通分，然后用3通分，再用2通分，最后通分后的和為。

即240÷（1++）=240÷=240×=115步。

原文

（四）今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一畝，問從幾何？

答曰：一百五步一百三十七分步之一十五。

術(shù)曰：下有五分，以一為六十，半為三十，三分之一為二十，四分之一為一十五，五分之一為一十二，并之得一百三十七，以為法。置田二百四十步，亦以一為六十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。

譯文

（四）現(xiàn)有4塊田，寬分別為1步、步、步、步。田面積共為1畝，那么長(zhǎng)邊是多少？

答：105步。

運(yùn)算法則：列在下面的分母為5，把1化為60，化為30，化為20，化為15，化為12，和為137作為除數(shù)。1畝化為240平方步，乘1所化的整數(shù)60作為被除數(shù)。被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為長(zhǎng)邊的步數(shù)。

譯解

（四）60+30+20+15+12=137，作為除數(shù)；

240×60=14400平方步，作為被除數(shù)；

被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為所求長(zhǎng)邊數(shù)，即14400÷137=105步。

術(shù)解

（1）1畝=240平方步，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，得出長(zhǎng)=面積÷寬。

（2）最大的分母為5，先用5通分，然后分別用4、3、2進(jìn)行通分，通分后的和為。即240÷（1+++）=240÷=240×=105步。

原文

（五）今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一畝，問從幾何？

答曰：九十七步四十九分步之四十七。

術(shù)曰：下有六分，以一為一百二十，半為六十，三分之一為四十，四分之一為三十，五分之一為二十四，六分之一為二十，并之得二百九十四以為法。置田二百四十步，亦以一為一百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。

譯文

（五）現(xiàn)有5塊田，寬分別為1步、步、步、步、步。田面積共為1畝，那么長(zhǎng)邊是多少？

答：97步。

運(yùn)算法則：列在下面的分母為6，把1化為120，化為60，化為40，化為30，化為24，化為20，和為294作為除數(shù)。1畝化為240平方步，乘1所化的整數(shù)120作為被除數(shù)。被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為長(zhǎng)邊的步數(shù)。

譯解

（五）120+60+40+30+24+20=294，作為除數(shù)；

240×120=28800平方步，作為被除數(shù)；

被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為所求長(zhǎng)邊數(shù)，即28800÷294=97步。

術(shù)解

（1）1畝=240平方步，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，得出長(zhǎng)=面積÷寬。

（2）最大的分母為6，先用6通分，然后分別用5、4、3、2進(jìn)行通分，最后通分后的和為。

（3）即240÷（1++++）=240÷=240×=
=97步。

原文

（六）今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一畝，問從幾何？

答曰：九十二步一百二十一分步之六十八。

術(shù)曰：下有七分，以一為四百二十，半為二百一十，三分之一為一百四十，四分之一為一百五，五分之一為八十四，六分之一為七十，七分之一為六十，并之得一千八十九，以為法。置田二百四十步，亦以一為四百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。

譯文

（六）現(xiàn)有6塊田，寬分別為1步、步、步、步、步、步。田面積共為1畝，那么長(zhǎng)邊是多少？

答：92步。

運(yùn)算法則：列在下面的分母為7，把1化為420，化為210，化為140，化為105，化為84，化為70，化為60，和為1089作為除數(shù)。1畝化為240平方步，乘1所化的整數(shù)420作為被除數(shù)。被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為長(zhǎng)邊的步數(shù)。

譯解

（六）420+210+140+105+84+70+60=1089，作為除數(shù)；

240×420=100800平方步，作為被除數(shù)；

被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為所求長(zhǎng)邊數(shù)，即100800÷1089=92步。

術(shù)解

（1）1畝=240平方步，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，得出長(zhǎng)=面積÷寬。

（2）最大的分母為7，先用7通分，然后分別用6、5、4、3、2進(jìn)行通分，最后通分后的和為。

（3）即240÷（1+++++）=240÷=240×==92步。

原文

（七）今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一畝，問從幾何？

答曰：八十八步七百六十一分步之二百三十二。

術(shù)曰：下有八分，以一為八百四十，半為四百二十，三分之一為二百八十，四分之一為二百一十，五分之一為一百六十八，六分之一為一百四十，七分之一為一百二十，八分之一為一百五，并之得二千二百八十三，以為法。置田二百四十步，亦以一為八百四十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。

譯文

（七）現(xiàn)有7塊田，寬分別為1步、步、步、步、步、步、步。田面積共為1畝，那么長(zhǎng)邊是多少？

答：88步。

運(yùn)算法則：列在下面的分母為8，把1化為840，化為420，化為280，化為210，化為168，化為140，化為120，化為105，和為2283作為除數(shù)。1畝化為240平方步，乘1所化的整數(shù)840作為被除數(shù)。被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為長(zhǎng)邊的步數(shù)。

譯解

（七）840+420+280+210+168+140+120+105=2283，作為除數(shù)；

240×840=201600平方步，作為被除數(shù)；

被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為所求長(zhǎng)邊數(shù)，即201600÷2283=88步。

術(shù)解

（1）1畝=240平方步，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，得出長(zhǎng)=面積÷寬。

（2）最大的分母為8，先用8通分，然后分別用7、6、5、4、3、2進(jìn)行通分，最后通分后的和為。

（3）即240÷（1++++++）=240÷=240×
=步=88步。

原文

（八）今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝，問從幾何？

答曰：八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。

術(shù)曰：下有九分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，
三分之一為八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，并之得七千一百二十九，以為法。置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。

譯文

（八）現(xiàn)有8塊田，寬分別為1步、步、步、步、步、步、步、步。田面積共為1畝，那么長(zhǎng)邊是多少？

答：84步。

運(yùn)算法則：列在下面的分母為9，把1化為2520，化為1260，化為840，化為630，化為504，化為420，化為360，化為315，化為280，和為7129作為除數(shù)。1畝化為240平方步，乘1所化的整數(shù)2520作為被除數(shù)。被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為長(zhǎng)邊的步數(shù)。

譯解

（八）2520+1260+840+630+504+420+360+315+280=7129，作為除數(shù)；

240×2520=604800平方步，作為被除數(shù)；

被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為所求長(zhǎng)邊數(shù)，即604800÷7129=84步。

術(shù)解

（1）1畝=240平方步，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，得出長(zhǎng)=面積÷寬。

（2）最大的分母為9，先用9通分，然后分別用8、7、6、5、4、3、2進(jìn)行通分，最后通分后的和為。

（3）即240÷（1+++++++）=240÷=240×
=步=84步。

原文

（九）今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝，問從幾何？

答曰：八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。

術(shù)曰：下有一十分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，十分之一為二百五十二，并之得七千三百八十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。

譯文

（九）現(xiàn)有9塊田，寬分別為1步、步、步、步、步、步、步、步、步。田面積共為1畝，那么長(zhǎng)邊是多少？

答：81步。

運(yùn)算法則：列在下面的分母為10，把1化為2520，化為1260，化為840，化為630，化為504，化為420，化為360，化為315，化為280，化為252，和為7381作為除數(shù)。1畝化為240平方步，乘1所化的整數(shù)2520作為被除數(shù)。被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為長(zhǎng)邊的步數(shù)。

譯解

（九）2520+1260+840+630+504+420+360+315+280+252=7381，作為除數(shù)；

240×2520=604800平方步，作為被除數(shù)；

被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為所求長(zhǎng)邊數(shù)，即604800÷7381=81步。

術(shù)解

（1）1畝=240平方步，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，得出長(zhǎng)=面積÷寬。

（2）最大的分母為10，先用10通分，然后分別用9、8、7、6、5、4、3、2進(jìn)行通分，最后通分后的和為。

（3）即240÷（1++++++++）=240÷=
=步=81步。

原文

（一〇）今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝，問從幾何？

答曰：七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三
十一。

術(shù)曰：下有一十一分，以一為二萬七千七百二十，半為一萬三千八百六十，三分之一為九千二百四十，四分之一為六千九百三十，五分之一為五千五百四十四，六分之一為四千六百二十，七分之一為三千九百六十，八分之一為三千四百六十五，九分之一為三千八十，一十分之一為二千七百七十二，一十一分之一為二千五百二十，并之得八萬三千七百一十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二萬七千七百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。

譯文

（一〇）現(xiàn)有10塊田，寬分別為1步、步、步、步、步、步、步、步、步、步。田面積共為1畝，那么長(zhǎng)邊是多少？

答：79步。

運(yùn)算法則：列在下面的分母為11，把1化為27720，化為13860，化為9240，化為6930，化為5544，化為4620，化為3960，化為3465，化為3080，化為2772，化為2520，和為83711作為除數(shù)。1畝化為240平方步，乘1所化的整數(shù)27720作為被除數(shù)。被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為長(zhǎng)邊的步數(shù)。

譯解

（一〇）27720+13860+9240+6930+5544+4620+3960+3465+3080+2772+2520=
83711，作為除數(shù)；

240×27720=6652800平方步，作為被除數(shù)；

被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為所求長(zhǎng)邊數(shù)，即6652800÷83711=79步。

術(shù)解

（1）1畝=240平方步，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，得出長(zhǎng)=面積÷寬。

（2）最大的分母為11，先用11通分，然后分別用10、9、8、7、6、5、4、3、2進(jìn)行通分，最后通分后的和為。

（3）即240÷（1+++++++++）=240÷
==步=79步。

原文

（一一）今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一畝，問從幾何？

答曰：七十七步八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三。

術(shù)曰：下有一十二分，以一為八萬三千一百六十，半為四萬一千五百八十，三分之一為二萬七千七百二十，四分之一為二萬七百九十，五分之一為一萬六千六百三十二，六分之一為一萬三千八百六十，七分之一為一萬一千八百八十，八分之一為一萬三百九十五，九分之一為九千二百四十，一十分之一為八千三百一十六，十一分之一為七千五百六十，十二分之一為六千九百三十，并之得二十五萬八千六十三，以為法。置田二百四十步，亦以一為八萬三千一百六十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。

譯文

（一一）現(xiàn)有11塊田，寬分別為1步、步、步、步、步、步、步、步、步、步、步。田面積共為1畝，那么長(zhǎng)邊是多少？

答：77步。

運(yùn)算法則：列在下面的分母為12，把1化為83160，化為41580，化為27720，化為20790，化為16632，化為13860，化為11880，化為10395，化為9240，化為8316，化為7560，化為6930，和為258063作為除數(shù)。1畝化為240平方步，乘1所化的整數(shù)83160作為被除數(shù)。被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為長(zhǎng)邊的步數(shù)。

譯解

（一一）

83160+41580+27720+20790+16632+13860+11880+10395+9240+8316+7560+6930=258063，作為除數(shù)；

240×83160=19958400平方步，作為被除數(shù)；

被除數(shù)除以除數(shù)，得數(shù)為所求長(zhǎng)邊數(shù)，即19958400÷258063=77步。

術(shù)解

（1）1畝=240平方步，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，得出長(zhǎng)=面積÷寬。

（2）最大的分母為12，先用12通分，然后分別用11、10、9、8、7、6、5、4、3、2進(jìn)行通分，最后通分后的和為。

（3）即240÷（1++++++++++）=240÷
==步=77步。

原文

（一二）今有積五萬五千二百二十五步。問為方（1）幾何？

答曰：二百三十五步。

（一三）又有積二萬五千二百八十一步。問為方幾何？

答曰：一百五十九步。

（一四）又有積七萬一千八百二十四步。問為方幾何？

答曰：二百六十八步。

（一五）又有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一。問為方幾何？

答曰：七百五十一步半。

（一六）又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步。問為方幾何？

答曰：六萬三千二十五步。

開方術(shù)（2）曰：置積為實(shí)。借一算步之，超一等（3）。議所得，以一乘（4）所借一算為法，而以除（5）。除已，倍法為定法。其復(fù)除。折法而下（6）。復(fù)置借算步之如初，以復(fù)議一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副從定法。復(fù)除折下如前。若開之不盡者為不可開，當(dāng)以面命之（7）。若實(shí)有分者，通分內(nèi)子為定實(shí)。乃開之，訖（8），開其母報(bào)除。若母不可開者，又以母乘定實(shí)，乃開之，訖，令如母而一。

注釋

（1）方：開方，即求正方形的邊長(zhǎng)。

（2）開方術(shù)：開平方的運(yùn)算法則。

（3）借一算步之，超一等：算，算籌。超，超越、超過。等，數(shù)位。即借一個(gè)算籌，把它向前進(jìn)兩位。

（4）一乘：乘一次。

（5）而以除：除，這里指相減。

（6）折法而下：折，折損。使除數(shù)折算退一位。

（7）以面命之：命，命名。以這個(gè)數(shù)為面積的正方形邊長(zhǎng)來命名，即正方形的邊長(zhǎng)。

（8）訖：完結(jié)，截止。

譯文

（一二）現(xiàn)有田面積為55225平方步。如果是正方形，那么其邊長(zhǎng)是多少？

答：235步。

（一三）又有田面積為25281平方步。如果是正方形，那么其邊長(zhǎng)是多少？

答：159步。

（一四）又有田面積為71824平方步。那么如果是正方形，其邊長(zhǎng)是多少？

答：268步。

（一五）又有田面積為564752平方步。那么如果是正方形，其邊長(zhǎng)是多少？

答：751步。

（一六）又有田面積為3972150625平方步。那么如果是正方形，其邊長(zhǎng)是多少？

答：63025步。

開平方的運(yùn)算法則：用面積作為被除數(shù)，借一個(gè)算籌，把它的末位向前移兩位，移動(dòng)兩次。用所得數(shù)自相乘再與算籌相乘，作為除數(shù)，而相減。相減后，把除數(shù)加倍，作為“定法”。然后再作除法，按照以下步驟折算除數(shù)：再借一算籌，向之前那樣移位，用所得數(shù)與算籌相乘，所得的數(shù)加“定法”，再作減法。如果再作除法，像之前那樣退一位。

如果有開不盡的數(shù)，取平方根的近似值，即正方形的邊長(zhǎng)。如果被開方數(shù)有分?jǐn)?shù)，用整數(shù)與分母相乘，再加分子進(jìn)行通分，作為“定實(shí)”，然后再開方。然后再對(duì)分母開方作為除數(shù)。如果分母開不盡，再用分母乘“定實(shí)”，再開方。計(jì)算完畢，再除以分母，得數(shù)為邊長(zhǎng)。

譯解

（一二）正方形面積=邊長(zhǎng)2，邊長(zhǎng)===235步。

（一三）同理，邊長(zhǎng)==159步。

（一四）同理，邊長(zhǎng)==268步。

（一五）同理，邊長(zhǎng)==751步。

（一六）同理，邊長(zhǎng)==63025步。

術(shù)解

以（一二）為例：

（1）面積55225為被除數(shù)，借一算籌，算籌是100，從個(gè)位向移動(dòng)兩次，即移動(dòng)四位，到萬位為止。萬位是5。

（2）2×2<5<2×3，得出初商是2。因?yàn)榻杷阍谌f位，初商2應(yīng)放在百位。

（3）用初商自乘1次，再與算籌相乘，2×2×10000=40000，為除數(shù)。被除數(shù)減去得數(shù)，55225–40000=15225。

（4）以倍數(shù)為定法，即2×2=4作為“定法”，向后移動(dòng)到千位，為4000。因?yàn)榍笃椒礁鶠槭唬岔氁苿?dòng)借算到百位，即15。

（5）被除數(shù)千位上的數(shù)字是15，且4×3<15<4×4，得出次商為3，并把它放在十位上。

（6）用3乘借算，3×100=300，得數(shù)和“定法”相加，4000+300=4300，再乘次商，4300×3=12900。用被除數(shù)減去得數(shù)，15225–12900=2325。

（7）再次作除法：把得數(shù)和“定法”相加，430+30=460。求個(gè)位平方根，將借算移到個(gè)位，十位上的數(shù)是232，46×5<232<46×6，得出三商為5。得數(shù)和定法相加，460+5=465。

（8）用三商與得數(shù)相乘，即5×465=2325，2325–2325=0。因此，235為55225的平方根，即正方形邊長(zhǎng)為235。

原文

（一七）今有積一千五百一十八步四分步之三。問為圓周（1）幾何？

答曰：一百三十五步。

（一八）今有積三百步。問為圓周幾何？

答曰：六十步。

開圓術(shù)（2）曰：置積步數(shù)，以十二乘之，以開方除之，即得周。

注釋

（1）圓周：圓形田的周長(zhǎng)。

（2）開圓術(shù)：圓面積開方的運(yùn)算方法。即求圓周長(zhǎng)的運(yùn)算法則。

譯文

（一七）現(xiàn)有田面積為1518平方步。如果田為圓形，那么其周長(zhǎng)是多少？

答：135步。

（一八）現(xiàn)有田面積為300平方步。如果田為圓形，那么其周長(zhǎng)是多少？

答：60步。

圓面積開方求周長(zhǎng)的運(yùn)算法則：面積乘12，開平方求平方根，得數(shù)為圓周長(zhǎng)。

譯解

（一七）周長(zhǎng)====135步。

（一八）同理，周長(zhǎng)===60步。

術(shù)解

以（一八）為例：

（1）圓面積=π×半徑2，周長(zhǎng)=2×π×半徑。π=3。

（2）半徑=，周長(zhǎng)=2×π×；即半徑==10步。

周長(zhǎng)=2×3×10=60步。

（3）根據(jù)以上算式，把2和π至于根號(hào)，即周長(zhǎng)=。

原文

（一九）今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方（1）幾何？

答曰：一百二十三尺。

（二十）今有積一千九百五十三尺八分尺之一。問為立方幾何？

答曰：一十二尺半。

（二一）今有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七。問為立方幾何？

答曰：三十九尺八分尺之七。

（二二）又有積一百九十三萬七千五百四十一尺二十七分尺之一十七。問為立方幾何？

答曰：一百二十四尺太半尺。

開立方術(shù)（2）曰：置積為實(shí)。借一算步之，超二等。議所得，以再乘所借一算為法，而除之。除已，三之為定法。復(fù)除，折而下。以三乘所得數(shù)置中行。復(fù)借一算置下行。步之，中超一，下超二位。復(fù)置議，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中從定法。復(fù)除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。若積有分者，通分內(nèi)子為定實(shí)。定實(shí)乃開之，訖，開其母以報(bào)除。若母不可開者，又以母再乘定實(shí)，乃開之。訖，令如母而一。

注釋

（1）立方：立方體開立方，即求立方體的邊長(zhǎng)。

（2）開立方術(shù)：開立方的運(yùn)算法則。

譯文

（一九）現(xiàn)有體積為1860867立方尺。如果是立方體，那么其邊長(zhǎng)是多少？

答：123尺。

（二十）又有體積為1953立方尺。如果是立方體，那么其邊長(zhǎng)是多少？

答：12尺。

（二一）又有體積為63401立方尺。如果是立方體，那么其邊長(zhǎng)是多少？

答：39尺。

（二二）又有體積為1937541立方尺。如果是立方體，那么其邊長(zhǎng)是多少？

答：124尺。

開立方的運(yùn)算法則：體積作為被除數(shù)，加一個(gè)算籌，向前移動(dòng)三位，移動(dòng)兩次。所得數(shù)，用它的2次方乘所借算籌，作為除數(shù)。被除數(shù)除以除數(shù)。相減后，除數(shù)乘3作為“定法”；再次作除法，按照以下步驟進(jìn)行運(yùn)算：用3乘初商，放在中行，再借一算籌放在下行，然后把中行的數(shù)向前移動(dòng)兩位，下行的數(shù)移動(dòng)三位；再次作除法，第二個(gè)所得數(shù)，用它的2次方乘下行的數(shù)。加上“定法”，再用被開方數(shù)除以“定法”。相減后，下行的數(shù)加倍，加上中行的數(shù)，加入“定法”。再次作除法，像之前那樣折損、退位。

如果開方開不盡，次數(shù)為不可開。如果被開方數(shù)有分?jǐn)?shù)，用整數(shù)乘分母加分子作為“定實(shí)”，然后“定實(shí)”再開立方。計(jì)算完畢，對(duì)分母開立方，再作除法。如果分母不可開方，再用分母乘“定實(shí)”，再開立方。最后再用分母除，得數(shù)為立方體邊長(zhǎng)。

譯解

（一九）邊長(zhǎng)===123尺。