劉徽《九章算術》序

原文

昔在庖犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術（1），以合六爻之變（2）。暨于黃帝神而化之，引而伸之，于是建歷紀，協(xié)律呂（3），用稽道原（4），然后兩儀四象精微之氣可得而效焉。記稱隸首（5）作數，其詳未之聞也。按周公制禮而有九數（6），九數之流，則《九章》是矣。

往者暴秦焚書，經術散壞（7）。自時厥后，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目則與古或異，而所論者多近語也。

徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂（8），總算術之根源，探賾之暇（9），遂悟其意。是以敢竭頑魯（10），采其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干者，知發(fā)其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷（11），覽之者思過半矣。且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子；雖曰九數，其能窮纖入微，探測無方。至于以法相傳，亦猶規(guī)矩度量（12）可得而共，非特難為也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜于此耳。

《周官·大司徒職》，夏至日中立八尺之表，其景（13）尺有五寸，謂之地中（14）。說云，南戴日下萬五千里。夫云爾者，以術推之。按：《九章》立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差（15），勾股則必以重差為率，故曰重差也。立兩表于洛陽之城，令高八尺，南北各盡平地，同日度其正中之時。以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為勾、股，為之求弦，即日去人也。以徑寸之筒南望日，日滿筒空（16），則定筒之長短以為股率，以筒徑為勾率，日去人之數為大股，大股之勾即日徑也。雖天圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。徽以為今之史籍且略舉天地之物，考論厥數（17），載之于志，以闡世術之美。輒造《重差》，并為注解，以究古人之意，綴于勾股之下。度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭伏（18），靡所不入（19），博物君子，詳而覽焉。

注釋

（1）九九之術：九九乘法運算法則。

（2）六爻之變：爻，八卦中的卦名，六個陽爻組成乾卦。爻表示變化、變動，因此稱為“六爻之變”。

（3）律呂：即六律和六呂，古代樂律的統(tǒng)稱。

（4）用稽道原：稽，考核。原，本源。用以考核道的本源。

（5）隸首：黃帝時的史官，據說是算數的開創(chuàng)者。

（6）九數：《周禮》中“九數”指六藝中的“數”，即數學中九個運算問題。鄭玄在《周禮注疏·地官司徒·保氏》注釋：“九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要。”

（7）散壞：散失、損毀。

（8）陰陽之割裂：這里指陰陽之別。

（9）探賾之暇：賾，精妙、深奧。暇，空閑、閑暇。

（10）敢竭頑魯：竭，竭盡全力。頑魯，頑劣、愚笨。

（11）通而不黷：黷，這里指累贅。通達卻又不累贅。

（12）規(guī)矩度量：規(guī)，畫圓的工具。矩，畫方的工具。度，計量長短。量，測量重量。

（13）景：同“影”，影長。

（14）地中：這里指一地、一國的中心。

（15）重差：古代測量太陽高、遠的方法。這里指反復測量取差，并且以差為比率進行推算。

（16）日滿筒空：太陽光充滿空筒直徑。

（17）考論厥數：考證論述“數”的原理。

（18）幽遐詭伏：幽深神秘、隱藏不露。

（19）靡所不入：無所不囊括。

譯文

古代先人庖犧氏是八卦的創(chuàng)始者，用神秘莫測的變化和類推萬物的方法，創(chuàng)造了九九乘法運算，以便來推算六爻的變化評測。到黃帝時期，經過神化和引申，創(chuàng)造了歷法，并結合樂律來考核道的本源，從而驗證兩儀四象的精妙之氣。據說是隸首最開始運用算數的，但具體情況我們并不知曉。到了周公制禮之時有了九數，就是《九章算術》并流傳至今。但是，殘暴的秦始皇焚書坑儒，使得大部分經典著作散失、損毀。之后，漢代北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌因為擅長算數而聞名。張蒼對殘留的數學經典書籍進行了整理、收集和刪補，形成了現在的《九章算術》。因此，它的詳細內容和古籍大致相同，而論述的方式卻與當時類似。

我從小就學習《九章算術》，成年后又詳細研究學習，觀察陰陽之別，論述算術的本源，在探尋其玄妙之暇，終于領悟其中道理。因此，我雖然頑劣愚笨，但也竭盡所能地搜集資料，為《九章算術》做注釋。凡事按照規(guī)律來類推，便會使其各得其所，因此盡管很多事物的旁枝雖看似不相干，卻可以探究到同一根源。因此，我們若是用語言來分析其原理，用圖形來解析其構成，定可以做到簡明而全面，通達而不累贅，使得讀者能領悟其大意。

同時，算術是六藝之一，是古時君主招攬賢人、教導弟子之法。雖然它稱之為“九數”，但小能窺探細微渺小之處，大能探測浩渺無窮之地。至于算法的問題，基本以規(guī)、矩、度、量為基礎，一般人都能了解和應用。現在喜歡算術的人寥寥無幾，因此雖然世上有很多博學、通達的賢人，卻未必能通曉算術。

《周官·大司徒職》中有這樣的記載：夏至正午立一8尺的表，若是表影長為1尺5寸，則此地為“地中”。其中說，南戴太陽正下方距離太陽15000里，這是用算術的方法推斷出來的。參考《九章算術》：立四根表桿，通過樹木望山的方法，端點和旁點都相互可見。只要不是遙遠到不可見的情況，都可以利用這種方法來觀測。由此可見，張蒼等人的算法還沒有廣博到無所不包、無所不能。我了解到“九數”中有“重差”的運算方法，推測其宗旨就是為了計算這方面的問題。凡是望極高、極遠之處，都可以利用這“重差”的法則。勾股的算法也將“重差”看作比率。在洛陽城內正南正北立兩表，高為8尺，假設兩表在同一水平面，同一時間測量兩表正午時的影長。取影長之差為除數，表高乘兩表的距離為被除數。被除數除以除數，得數加表高，即太陽距離地中的距離。影長之差為除數，南表的影長乘兩表的距離為被除數，被除數除以除數，得數為南表與南戴日下的距離。以南戴與太陽的距離為勾，太陽與地中的距離為股，利用勾股定理求弦，弦長為太陽與人的距離。用直徑1寸的竹筒觀測太陽，太陽光充滿竹筒直徑，因此竹筒長為股率，筒直徑為勾率，人與太陽的距離為大股，與之對應的大勾即太陽直徑。這樣一來，人們便可以測量天地的廣袤，更何況泰山之高、江海之遠呢？

我根據流傳下來的典籍進行研究，并且參考世間萬物，考證論述了算術的原理并且記錄在冊，目的就是讓人們見識算術的精妙。我又探究古人的真意，把“重差”的算法加以注釋，補充在勾股章節(jié)的后面。測量高度側重于用表，測量深度側重于用矩，若是觀測的目標孤單、沒有參照，應該反復觀測三次；若是觀測的目標孤單、沒有參照且需要另外求其他，應該反復觀測四次。因此，只要觸類旁通，便可以觀測那些隱藏不露、神秘莫測的目標。博學多才的能人，應該詳細研讀《九章算術》。