6.6　超對稱-楊爾米斯理論簡介

開超弦理論在低能條件下與超對稱楊-米爾斯理論相似。這樣的理論在D-維時空中由下述形式的作用量來描述：

式中，是非阿貝爾場強，它由矢量勢構成：

場和都是伴隨表示中的半單李群，符號D表示楊-米爾斯協變導數，有

由旋量場描述的物理費米子模式數目是2的冪，依賴于時空維數和旋量類型（狄拉克旋量、馬約拉納旋量、外爾旋量等）。事實上，SO(n)的旋量表示具有的維數總是2的冪。矢量描述(D-2)-維物理模，該模對應于各種可能的橫向極化。超對稱要求物理玻色子和費米子的模數相等。于是，無須增加任何其他場的最小拉格朗日量，式（6.6.1）的對稱性要求D-2應該是2的冪。其中D-2的第一種情況是，2的冪為D=3,4,6,10。上述情況的證明是很有趣的。

當D=3時，馬約拉納旋量有1個物理模式，D=4時有2個；當D=6時，外爾旋量有4個物理模式，D=10時有8個。對于D-2的每一種情況，這些數都完全一致，并且在這4種情況中，最小拉格朗日量可以是超對稱的。任何旋量的分量大于10的數都大大超過物理模數，這時楊-米爾斯理論不存在。

若使正比于的項在任何維度中都消失，則保持式（6.6.1）不變的超對稱變換是

更微妙的是與成正比的項。協變導數中A場的變化給出了形如下式的項：

這是具有3個場的唯一項，是在作用量的變化中產生的。如果超對稱成立，它必須消失。值得注意的是，利用的總體反對稱性可以證明，對于上面列出的D=3,4,6,10這4種類型的旋量事實上消失。

現在證明，我們對D=10的馬約拉納-外爾旋量是最感興趣的。從式（6.6.5）中清除旋量，并且利用的反對稱性，證明：

消失。這里我們可以假設旋量指標m、n、p和q全都被投影到正手征，盡管我們沒有明顯地寫出投影算符，因為式（6.6.5）中的旋量全部是外爾旋量。我們還要注意，式（6.6.6）中的是一個對稱矩陣，第二項和第三項在下相互交換，所以全部表達式具有對稱性。

為了使式（6.6.6）為零，我們把表達式看作由m和n標簽的矩陣，把p和q看作附加標簽。另外我們可以伴隨反對易旋量得到

一個任意矩陣可在一套完全基（k=0,1,2,…,10）中展開。因此，證明式（6.6.7）消失的有效措施是證明每種類型的項消失。首先注意k為偶數的項由于外爾投影而消失。此外，恒等式：

以及Г11因為外爾旋量而丟棄的事實意味著僅k≤5的項需要考慮，而這個張量可以分解為一個自對偶部分和一個反自對偶部分，其中只有一個貢獻。進一步知，是對稱的，而是反對稱的。因此，我們僅需要考慮k=1和k=5兩項。核查這項計算，注意對稱的16×16矩陣具有

個分量。

用乘以式（6.6.7），并且收縮指標，可得

成立，它沒有部分。重復，可得

然而，在D-維時空中，有

取D=10和k=5，可看到式（6.6.11）消失。