3.4　弦的相互作用

前文已經(jīng)介紹了自由弦，本節(jié)將簡(jiǎn)單介紹一下弦的相互作用和非線性理論。首先回顧場(chǎng)理論的費(fèi)曼圖。對(duì)于n-維時(shí)空中的無質(zhì)量標(biāo)量場(chǎng)，兩時(shí)空點(diǎn)x和y之間的標(biāo)準(zhǔn)傳播子是□，其中□是波動(dòng)算符，□=。傳播子是波動(dòng)算符的逆，其表達(dá)式為

式中，Δ=□，表示波動(dòng)算符。在(n+1)-維時(shí)空中，質(zhì)量為m的非相對(duì)論性粒子的哈密頓量為□/2m。算符exp(-τΔ)在式（3.4.1）等號(hào)的右邊，是指在固有時(shí)段τ傳播非相對(duì)論性粒子的算符。對(duì)此，有一個(gè)眾所周知的路徑積分公式：

式中，指數(shù)恰是經(jīng)典粒子的作用量；表示始于t=0時(shí)刻的x點(diǎn)、終于t=τ時(shí)刻的y點(diǎn)的所有路徑的路徑積分。式（3.4.2）等號(hào)右邊的式子具有簡(jiǎn)單而直觀的意義：在任意固有時(shí)段τ，對(duì)遍及所有路徑x(t)的從x到y傳播的粒子進(jìn)行積分。

現(xiàn)在分析如圖3.5所示的費(fèi)曼圖。起始于時(shí)空點(diǎn)A、B、C、D的4個(gè)外部粒子經(jīng)歷樹狀散射過程在p、q點(diǎn)處發(fā)生相互作用。按照通常法則根據(jù)費(fèi)曼圖計(jì)算振幅，費(fèi)曼圖中的每一條線對(duì)應(yīng)一個(gè)傳播子。若用式（3.4.2）表示傳播子，則費(fèi)曼圖中的每一條線表示一個(gè)積分，遍及某粒子兩個(gè)時(shí)空點(diǎn)之間的傳播路徑。評(píng)估圖3.5，要求在相互作用頂點(diǎn)p、q處進(jìn)行積分，并且考慮頂點(diǎn)的因素。費(fèi)曼圖可看作粒子傳播的真實(shí)過程，它們?cè)跁r(shí)空中鏈接或分裂。

3.4.1　弦的分裂

正如點(diǎn)粒子能夠分裂成兩個(gè)一樣，弦也能分裂成兩個(gè)，如圖3.6所示。關(guān)鍵的區(qū)別是，當(dāng)一個(gè)粒子分裂成兩個(gè)時(shí)，在分裂點(diǎn)發(fā)生了時(shí)空洛倫茲不變性，該分裂點(diǎn)就是費(fèi)曼圖中的相互作用頂點(diǎn)。然而，當(dāng)弦分裂成兩個(gè)時(shí)，不存在定義良好的什么時(shí)間、什么地點(diǎn)發(fā)生了分裂。圖3.6（b）中畫出了兩個(gè)不同的洛倫茲框架1和2的等時(shí)面，常數(shù)時(shí)間曲面分別用實(shí)線和虛線表示。在框架1中，分裂發(fā)生點(diǎn)用實(shí)點(diǎn)表示，該點(diǎn)的過去僅存在一個(gè)弦，而它的未來存在兩個(gè)弦。在框架2中，不存在實(shí)點(diǎn)，在這個(gè)框架中，分裂點(diǎn)就是相互作用發(fā)生的點(diǎn)。

這一區(qū)別導(dǎo)致了許多結(jié)果。首先，點(diǎn)粒子的量子場(chǎng)理論有許多，但是其弦理論不多。由于圖3.6中有一個(gè)洛倫茲不變的相互作用頂點(diǎn)，在該頂點(diǎn)處我們能夠在定義費(fèi)曼振幅時(shí)選擇某個(gè)特殊因子，特殊因子的選擇取決于量子場(chǎng)理論的選擇。對(duì)于自由弦的傳播，一旦決定了自由弦的傳播規(guī)則，就不存在額外選擇。

為什么弦理論不受紫外發(fā)散的影響，卻總是給量子理論帶來麻煩呢？在圖3.7中我們已經(jīng)勾勒出單-循環(huán)費(fèi)曼圖，它在量子引力中將有紫外發(fā)散，并且對(duì)應(yīng)閉弦的弦理論圖。如圖3.7（b）所示的弦理論圖不同于如圖3.7（a）所示的場(chǎng)理論圖。后者的每條世界線或點(diǎn)粒子的傳播都被傳播閉弦的世界管所取代。兩圖在傳播點(diǎn)或弦的時(shí)空中通過對(duì)軌跡積分求值。只要圖3.7（b）中的弦有一個(gè)非常小的留數(shù)，其就可近似簡(jiǎn)化為圖3.7（a）。這就解釋了場(chǎng)理論為什么會(huì)成為弦理論的長(zhǎng)波長(zhǎng)極限。

為什么圖3.7（a）存在紫外發(fā)散而圖3.7（b）不存在呢？關(guān)鍵原因是，圖3.7（a）中具有完美定義的相互作用頂點(diǎn)，標(biāo)示為p、q、r和s，當(dāng)p=q=r=s時(shí)傳播子涉及的頂點(diǎn)同時(shí)爆裂，紫外發(fā)散出現(xiàn)。而在如圖3.7（b）所示的弦理論圖中，不存在定義良好的相互作用頂點(diǎn)，所以不存在類似的危險(xiǎn)。

場(chǎng)理論圖和弦理論圖的又一個(gè)基本區(qū)別是，存在的弦理論圖的數(shù)量少得多。對(duì)每個(gè)場(chǎng)理論圖都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的弦理論圖，它們由世界線吹脹而成的世界管構(gòu)成。但是不同的費(fèi)曼圖可給出相同的弦理論圖。事實(shí)上，在定向閉弦理論中，有且僅有一個(gè)費(fèi)曼圖。圖3.8對(duì)應(yīng)于以下事實(shí)：定向二維流形完全通過手柄（或圈）數(shù)和孔洞（或外部粒子）數(shù)來指定。開弦或無定向閉弦弦理論圖比費(fèi)曼圖要少得多。

3.4.2　頂點(diǎn)算符

評(píng)估圖3.9中任意一個(gè)弦世界片上的積分似乎很難，進(jìn)行這項(xiàng)工作的理論根據(jù)是式（3.3.15）在世界片度規(guī)共形尺度下的不變性。

選擇適當(dāng)?shù)?span id="3egnxbd" class="emphasis_italic">?，圖3.10（a）中的世界片由導(dǎo)管伸延到遙遠(yuǎn)的過去和未來，對(duì)應(yīng)于入射弦和出射弦能夠轉(zhuǎn)換成圖3.10（b），其中世界片是緊致的。在相同的時(shí)間內(nèi)弦世界片中的孔對(duì)應(yīng)于外部的態(tài)閉合，并且外部弦像點(diǎn)一樣出現(xiàn)，如圖3.10（b）所示。

共形不變性使得計(jì)算弦理論圖是可以做到的。此外，這使得壓縮世界片成為可能，關(guān)閉進(jìn)出粒子相應(yīng)的孔即可。圖3.10（a）中，外部弦態(tài)由此投影到點(diǎn)，表示為圖3.10（b）中的，這些點(diǎn)必須理解為局域算符的插入。

考慮世界片最簡(jiǎn)單的情況，即僅有入射弦和出射弦各一個(gè)，由如圖3.11（a）所示的圓柱描述，其度規(guī)為

令，則有。由共形變換得到一個(gè)新的度規(guī)，即，這是一個(gè)平面度規(guī)。從效果上來看，入射弦在遙遠(yuǎn)的過去是圓（z→-∞，），在有限距離內(nèi)（r=0）被映射為一個(gè)點(diǎn)，如圖3.11（b）所示；出射弦被映射到無限遠(yuǎn)點(diǎn)。若想把入射弦和出射弦映射在有限距離處，則必須選共形因子不是，但對(duì)于小r其行為像r2，對(duì)于大r其行為像r-2。如果我們用共形因子重新標(biāo)度度規(guī)ds2，則新度規(guī)是球體上的標(biāo)準(zhǔn)圓度規(guī)，入射弦和出射弦都映射到有限遠(yuǎn)點(diǎn)，即圖3.11（c）中的“南極”和“北極”。對(duì)于具有許多外線的更復(fù)雜的弦理論圖，共形因子可以把它們中的每一個(gè)都映射到有限遠(yuǎn)點(diǎn)。事情的本質(zhì)是映射一個(gè)給定的入射弦或出射弦L到有限遠(yuǎn)點(diǎn)，僅遠(yuǎn)離L的的漸進(jìn)行為是相關(guān)的。

如圖3.11（a）所示，入射弦和出射弦的世界片可以描繪為不同圖形的共形映射，它可以映射到平面上，如圖3.11（b）所示，入射弦在原點(diǎn)處而出射弦在無限遠(yuǎn)點(diǎn)處；或者映射到球面上，如圖3.11（c）所示，入射弦和出射弦分別映射在“南極”和“北極”。如果我們把外弦態(tài)共形地映射到有限遠(yuǎn)點(diǎn)，其量子數(shù)將不再簡(jiǎn)單地丟失。在每一點(diǎn)，圖3.10中的都表示外部弦被映射到的地方，必然出現(xiàn)某個(gè)弦態(tài)的量子數(shù)的局域算符。于是，我們產(chǎn)生下述想法：對(duì)每個(gè)弦態(tài)，必須找到(1+1)-維量子場(chǎng)理論的局域算符，而量子場(chǎng)理論描述弦的傳播。局域算符相當(dāng)于一個(gè)給定的弦態(tài)，這種局域算符對(duì)于弦的發(fā)射和吸收叫作頂點(diǎn)算符。

猜想一下閉弦中的頂點(diǎn)算符。首先，在閉弦理論中，對(duì)每種粒子類型Λ，局域算符在參量σ和τ下是標(biāo)量且具有同樣的洛倫茲量子數(shù)Λ，是及其導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式。例如，若Λ是自旋為零的超光子，則在26-維洛倫茲變換下，可簡(jiǎn)單地令W=1；若Λ是引力子，則必須選W的自旋為2，最小自旋為2的算符對(duì)極化為μν的引力子是，該算符的規(guī)范序及其他情況將被假定而不再明確表示；若Λ是自旋為0的無質(zhì)量伸縮子，則必須再次選取自旋為0的算符，正交于超光子算符的最小選擇是。是定義在洛倫茲變換下的正確變換，但也要考慮時(shí)空變換。在球?qū)ΨQ變換下，每個(gè)弦的位置由常數(shù)決定，動(dòng)量為的外部態(tài)的波動(dòng)方程要乘以。于是，假定這個(gè)因子是當(dāng)前關(guān)于動(dòng)量為的弦的發(fā)射和吸收。另外必須注意，圖3.11中在給定的頂點(diǎn)算符上的點(diǎn)處標(biāo)示表示是被插入的，可以在表面的任何地方出現(xiàn)。把這些事實(shí)放在一起，對(duì)于動(dòng)量為、類型為Λ的弦態(tài)的發(fā)射和吸收可得出頂點(diǎn)算符的定義為

3.4.3　頂點(diǎn)算符的應(yīng)用

如何使用粒子的頂點(diǎn)算符呢？圖3.12中動(dòng)量為、類型為的散射粒子的散射振幅應(yīng)是(1+1)-維量子場(chǎng)理論中的一個(gè)路徑積分，該量子場(chǎng)理論以插入的算符來控制弦的傳播。這些振幅是（令T=1/π）

式中，k是耦合常數(shù)；符號(hào)和表示圖3.10中緊致的弦世界片的路徑積分。我們需要一個(gè)拓?fù)淝蛎妫脕碓u(píng)估樹圖；或者一個(gè)環(huán)面，用來評(píng)估單圈圖；或者一個(gè)具有幾個(gè)手柄的面（黎曼面），用來評(píng)估n-圈圖。

我們可以將式（3.4.4）與如圖3.7（b）所示的弦理論圖嚴(yán)格地聯(lián)系起來，這項(xiàng)工作將在后面的章節(jié)進(jìn)行。實(shí)際上，在弦理論的第一種方法中，讀者可以簡(jiǎn)單地把式（3.4.4）看作弦的散射振幅的定義。當(dāng)前，我們不知道弦理論的何種形式是更基本的，也不知道頂點(diǎn)算符公式［式（3.4.4）］是否優(yōu)越。

式（3.4.4）似乎是一個(gè)相當(dāng)驚人的公式。在式（3.4.4）中，26-維時(shí)空中的散射振幅用輔助的(1+1)-維世界片中的相關(guān)函數(shù)表示。量子場(chǎng)的相關(guān)函數(shù)在(1+1)-維場(chǎng)理論中很可能與(1+1)-維世界片中的散射過程有關(guān)。它們可解釋為26-維時(shí)空中的散射振幅。弦世界片上發(fā)生的現(xiàn)象和時(shí)空中發(fā)生的現(xiàn)象十分類似，這是弦理論中令人驚奇的神秘關(guān)系之一。

若沒有之前討論的共形不變性，評(píng)估式（3.4.4）將無法進(jìn)行。2×2的對(duì)稱張量h有3個(gè)獨(dú)立分量。通過世界片的再參量化，能消除這3個(gè)分量中的任意2個(gè)。人們能夠局域地通過的再參量化把h放到中，其中是弦世界片中任一需要的度規(guī)。根據(jù)黎曼經(jīng)典理論，在世界片是球形的情況下，樹圖也可按此處理。現(xiàn)在，我們將集中精力考慮這種情況。

剛才提到的定理保證了通過參數(shù)的選擇能夠?qū)懗?img alt="img" class="picture_formula_line" height="21" src="https://epubservercos.yuewen.com/3B6B02/23020634201633406/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_238.jpg?sign=1755107165-KgMQD0fAMyCPQxfDQFZMXjVOlZmq6Zr6-0-fb5e382281b485721e2141568bed794d" width="57">，這里是球面上的標(biāo)準(zhǔn)圓度規(guī)。實(shí)際上，使用共形不變性在x-y平面上做球的立體投影更方便，如圖3.13所示。于是在效果上我們可選，，其中x和y是平面坐標(biāo)。此外，按照共形不變性的優(yōu)點(diǎn)，退出式（3.4.4），故式（3.4.4）可簡(jiǎn)化為

我們要研究的重點(diǎn)是2-維平面上的自由場(chǎng)理論，所以我們期望能夠評(píng)估式（3.4.5）。

這里我們僅注意結(jié)果：共形不變性及式（3.4.5）的推導(dǎo)（僅在26-維時(shí)空中）。

迫在眉睫的是，要求，并非唯一地修復(fù)再參量化不變性。這種形式的h被世界片s2的整體共形不變性保留下來。有關(guān)的共形不變性很容易寫作z=x+iy的形式。在這種復(fù)坐標(biāo)形式中，世界片度規(guī)是。若對(duì)某個(gè)解析函數(shù)ω(z)改變z坐標(biāo)，則，度規(guī)變成，它仍是共形規(guī)范的。這些是坐標(biāo)變換，它們是規(guī)范選擇所允許的。

于是，剩余的規(guī)范不變性是微小變換，其中是z的解析函數(shù)。實(shí)際上不是z的任意解析函數(shù)，因?yàn)殡m然我們對(duì)復(fù)Z平面進(jìn)行了一次立體投影，但弦世界片本來是球面s2——可視作黎曼球組成的Z平面加一個(gè)“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”。這就需要一個(gè)無窮小坐標(biāo)變換，其在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒有極點(diǎn)。在新坐標(biāo)形式中實(shí)施比較方便，該形式中的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是一個(gè)正常點(diǎn)，即原點(diǎn)。坐標(biāo)變換在新坐標(biāo)系中變成。在點(diǎn)是非奇異的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)z→∞時(shí)有限。因此，ε必須是二次多項(xiàng)式，余下的對(duì)稱性不再因?yàn)楣残我?guī)范的選擇而移動(dòng)，共形規(guī)范的形式是，其中a、b、c是任意3個(gè)復(fù)參量。

3.4.4　散射振幅的評(píng)估

若外部粒子是超光子，則對(duì)，要評(píng)估式（3.4.5）并不困難。這時(shí)式（3.4.5）可簡(jiǎn)化為

式中，<　>表示關(guān)于高斯測(cè)度的期望值，而高斯測(cè)度是由式（3.4.5）中展示的自由場(chǎng)路徑積分定義的。為了評(píng)估式（3.4.6），回憶關(guān)于高斯積分的標(biāo)準(zhǔn)公式（由完全平方得到）：

式中，是一個(gè)任意的源；是自由場(chǎng)的傳播子（或生成元）。在的特殊情況下，式（3.4.6）可簡(jiǎn)化為

由于正則序，式（3.4.8）中不包括i=j的項(xiàng)，其生成子是關(guān)于二維拉普拉斯方程的格林函數(shù)，滿足：

式（3.4.9）的解是

式中，μ是任意紅外截?cái)啵翘幚?span id="s42tm4z" class="emphasis_italic">q=0處的發(fā)散所需要的。由式（3.4.8）得

在未知的耦合常數(shù)中，依賴因子μ已經(jīng)被吸收。

式（3.4.11）非常接近散射振幅的最終形式。它表示M點(diǎn)的振幅不像路徑積分，而像遍及有限個(gè)變量的積分，在點(diǎn)zi（i=1,2,…,M）的外部，弦被附著在世界片上。然而，式（3.4.11）中的積分是無限的。關(guān)于無限的理由是，在推導(dǎo)式（3.4.11）時(shí)使用的庫(kù)侖規(guī)范并未完全刪除再參量化不變量，而是留下了一個(gè)剩余的對(duì)稱性，其中。由于未能消除這種殘留的不變性，式（3.4.11）的積分中包含一個(gè)遍及無限體積的群SL(2,C)。余下的庫(kù)侖規(guī)范容易進(jìn)行。SL(2,C)的3個(gè)復(fù)參數(shù)可設(shè)置為zi的任意3個(gè)希望的值。選比較方便。當(dāng)時(shí)，式（3.4.11）中的項(xiàng)可被刪除。這樣做的理由是，當(dāng)時(shí)這些項(xiàng)將獨(dú)立于zj（j），而且它們也是動(dòng)量獨(dú)立的，因?yàn)椋☉?yīng)用動(dòng)量守恒原理）：

式中，m2是基態(tài)的質(zhì)量平方。不久我們將會(huì)看到，SL(2,C)不變量要求m2=-8。我們將丟棄這一因子，因?yàn)樗?dú)立于外部動(dòng)量，并適當(dāng)?shù)厝∠嗽赟L(2,C)庫(kù)侖規(guī)范中輸入的并不重要的法捷耶夫-波波夫行列式。于是散射振幅可簡(jiǎn)化為

對(duì)于四-點(diǎn)函數(shù)，式（3.4.13）可簡(jiǎn)化為

四-點(diǎn)函數(shù)由維拉宿首次引入，它是對(duì)夏皮羅引入的M-點(diǎn)函數(shù)的推廣。

3.4.5　引力子的質(zhì)量

讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，式（3.4.14）在動(dòng)量的排列下，并不明顯地具有對(duì)稱性。若外部超光子全部在質(zhì)量殼上，，則經(jīng)過手工核查發(fā)現(xiàn)式（3.4.14）可能是交叉對(duì)稱的。這是確定超光子質(zhì)量的一個(gè)方法，而早先弦作用量的量子化也給出了同樣的答案。理解這一問題的更令人滿意的方法是關(guān)注式（3.4.8）。在由式（3.4.8）推導(dǎo)式（3.4.14）的過程中，重要的一步是對(duì)SL(2,C)進(jìn)行庫(kù)侖規(guī)范。如果SL(2,C)對(duì)稱性確實(shí)有效，則式（3.4.8）將交叉對(duì)稱。為了確保式（3.4.14）交叉對(duì)稱，SL(2,C)不變量中必須不存在奇異性。

SL(2,C)對(duì)稱性的一個(gè)方面是，積分的頂點(diǎn)算符應(yīng)該是SL(2,C)不變性。畢竟，SL(2,C)變換是世界片再參量化的一種特殊情況，而V描述了從世界片的任何地方發(fā)射和吸收的振幅在再參量化之下應(yīng)該是不變的。SL(2,C)變換的特殊情況是世界片z→tz（或無窮小δz→bz）的整體變形。當(dāng)積分測(cè)度撿起時(shí)，如果與一起變換，那么V將可以是不變的。意思是說，量子場(chǎng)算符應(yīng)當(dāng)是維數(shù)為2的算符。這似乎是不可能的，因?yàn)閹?kù)侖規(guī)范的整體尺度不變的弦作用量要求無量綱。若X無量綱，則也無量綱。唯一的希望是，找到的一個(gè)合適的量子異常維數(shù)。在自由量子場(chǎng)中尋找異常維數(shù)是不尋常的，但是對(duì)于(1+1)-維自由無旋場(chǎng)，確實(shí)發(fā)生了。確定算符異常維數(shù)最快的方法是研究該算符的兩-點(diǎn)函數(shù)。在尺度不變的理論中，維數(shù)為P的算符Y的兩-點(diǎn)函數(shù)是，其中C為常數(shù)。由上面的討論可知，算符的兩-點(diǎn)函數(shù)是。由此可知，是一個(gè)維數(shù)為的算符（要求它具有維數(shù)2，這決定了超光速粒子的質(zhì)量平方是）。事實(shí)上，M-點(diǎn)振幅，即式（3.4.8）在整體尺度變換下不變，假如，并且動(dòng)量守恒，則。容易證明在同樣的條件下式（3.4.8）中全部SL(2,C)不變性成立。

在式（3.4.13）中已經(jīng)決定的事情是，關(guān)于n個(gè)超光子散射的振幅有極好的紫外行為。人們更大的興趣或許是構(gòu)建具有同樣紫外行為的引力子散射振幅。這可以類似方式進(jìn)行。簡(jiǎn)單的方法是以引力子算符取代超光子算符，否則就重新進(jìn)行上面的計(jì)算。計(jì)算過程中涉及的代數(shù)比超光子情況中復(fù)雜得多。我們暫不確定引力子的質(zhì)量。像超光子質(zhì)量一樣，令被積分的頂點(diǎn)算符的整體尺度不變，就可以將引力子質(zhì)量確定下來。這相當(dāng)于應(yīng)該具有維數(shù)2。與超光子情況的不同之處在于，由于出現(xiàn)兩個(gè)導(dǎo)數(shù)，已在經(jīng)典水平上有維數(shù)2，因此希望的異常維數(shù)為0。因?yàn)樵撍惴麑?shí)際具有異常維數(shù)，故。這就是說，引力子質(zhì)量為0。對(duì)于弦理論中自旋為2的無質(zhì)量粒子，這是確定其質(zhì)量最有效的方法之一。仿此可以看到，具有的伸縮子，或具有的反對(duì)稱張量必須是無質(zhì)量的。于是可得出閉弦理論中無質(zhì)量粒子的清單，因?yàn)闆]有其他維數(shù)為2的算符了。其他可能的頂點(diǎn)算符對(duì)應(yīng)于正質(zhì)量平方的粒子。例如，自旋為4的粒子Y具有頂點(diǎn)算符，其必須是巨質(zhì)量粒子，質(zhì)量平方為。