3.1　早期的二元模型

1900年，普朗克寫出了著名的黑體輻射公式。實驗曲線與基本理論直接相關的情況在物理中通常不會發生。但是，黑體輻射是一個例外。普朗克寫出的黑體輻射公式直接催生了量子概念。

20世紀60年代，強相互作用中的一個未解之謎就是有強相互作用的粒子（強子）巨量增值。強子的共振似乎存在高自旋。自旋為J的最輕粒子的質量平方為，其中～1（GeV）-2，是恒量，被稱為雷吉斜率。通過這一公式得出J=11/2，這一結果可能會持續下去。在任何情況下，高自旋基本粒子的自洽理論都是不存在的。自洽（可正則化）的量子場理論僅在自旋為0、1/2和1這3種情況下存在，而強相互作用的共振態如此之多，它們都是基本粒子，這些基本粒子的自旋巨量增值顯然是不合理的。

強相互作用的難題在于散射振幅的高能行為。考慮彈性散射過程，入射粒子無自旋，其動量分別為P1和P2，出射粒子的動量分別為P3和P4。以符號{-+++}標記度規，以使粒子的質量平方m2=-P2。曼德爾斯塔姆變量的定義為

則有恒等式：

在圖3.1中，設外態是π介子之類的粒子，在“味”群的伴隨表示中變換，對3種“味”是SU(3)群或者U(3)群。第i個外部介子的“味”量子數通過選擇一個“味”矩陣λi來指定。我們將討論散射振幅中正比于群理論因子tr(λ1λ2λ3λ4)的那一項。由于該群理論因子在循環置換1234→2341中不變，所以玻色統計要求對應的振幅在P1P2P3P4→P2P3P4P1變換下循環對稱。按照曼德爾斯塔姆變量，這個動量序的s→t排列是對稱的，故要求振幅A(s,t)也對稱。

在量子場理論中，對散射振幅的主要貢獻來自樹圖，如圖3.1所示。因為高自旋互換粒子的樹圖具有不良的高能行為，所以構建高自旋互換粒子的量子理論很困難，它們會漸近地越過幺正邊界。例如，考慮t-通道圖，在圖3.1中，外部粒子以?表示，而交換的粒子以σ表示。若σ粒子的自旋為零，圖3.1中包括一個簡單的相互作用，則振幅就是，其中g是耦合常數；M是σ粒子的質量。該振幅在t→∞時消失。這是我們正在討論的三次方標量相互作用中良好的高能行為的一個方面。

假設σ粒子有自旋為J的場，該場是圖3.1中的三次方耦合，必須是類似的某個東西。圖3.2中現在有2J個動量因子。若外部因子是標量，則在高能情況下t-通道中該自旋為J的粒子對散射振幅的相互交換具有形式：

因此，該振幅的行為對于越來越大的J將趨于發散。n-維單-循環被積函數約為，其中A是式（3.1.2）的樹振幅。在4-維時空中，這樣的圈圖對J<1收斂，對J=1有潛在的可正則化的對數發散，對J>1有不可正則化的發散。

在t-通道中存在各種不同質量的強子和可相互交換的自旋，故有

所以我們應該允許這種可能性存在，即可交換粒子的耦合gJ和質量MJ依賴于J。式（3.1.3）中高能行為的和若有限，則高能行為就簡單地決定于強子的最高自旋。這與自然觀察到的結果截然不同。實際上，強子散射振幅的高能行為比式（3.1.3）中的任何項都柔弱得多。換言之，認為式（3.1.3）為有限和沒有道理。當然，似乎沒有“作為強子的最高自旋”這種事情存在。式（3.1.3）作為一個無限和，可以有一個高能行為，自然優于級數中任何個別項的行為，恰如函數e-x在x→∞時小于冪級數表達式中的任一項。

我們早期討論的循環對稱要求散射振幅中跡tr(λ1λ2λ3λ4)的系數具有s-通道極或t-通道極，或兩者都有。式（3.1.3）定義了一個振幅A(s,t)，它不具有s-通道極；對于固定的t，式（3.1.3）定義了一個關于s的整函數，使和式中僅存在有限項。因此，普通量子場理論的微擾展開通過s-通道和t-通道精確地滿足了交叉對稱。在無限項和的情況中，則有所不同。盡管式（3.1.3）中每一項都是關于s的整函數，但無限項的和在s的某一有限值處卻可能發散，在s-通道中給出極點。因此，式（3.1.3）本質上是無窮級數。

類似地，如果取始點為s-通道極的散射振幅，則可構建一個類似于式（3.1.3）的振幅，它具有s-通道極而不是t-通道極：

外部動量循環置換下的對稱性要求具有相同的動量，并且出現在式（3.1.3）中的耦合同樣出現在式（3.1.4）中。研究式（3.1.4），我們再次看到有限項和不可避免的高能行為比觀察到的強子行為更糟糕。但對于無限項和，這可能不是真的。

沿著這一思路思考，若耦合gJ和質量MJ被巧妙地選擇，則s-通道和t-通道的振幅和A(s,t)將是相等的，這時整個振幅可以寫成僅遍及s-通道極的和，如式（3.1.4）所示，或者僅遍及t-通道極的和，如式（3.1.3）所示。

1968年Dolen、Horn和Schmid認為，在近似情況下式（3.1.3）和式（3.1.4）相等，即A(s,t)=，這叫作二元假設：假設s-通道和t-通道給出對偶的相同物理學描述。

就在人們為描述強相互作用理論而一籌未展之際，意大利科學家維尼齊亞諾于1968年偶然看到了數學家歐拉百年前寫下的一個公式——歐拉公式。于是他假設關于散射振幅的公式為

式中，Г是伽馬函數；是雷吉軌跡，其線性形式為，其中分別是雷吉斜率和截距。同時定義：

當時誰也沒有想到，維尼齊亞諾的發現開啟了理論物理學的新時代。

3.1.1　維尼齊亞諾振幅及其對偶性

維尼齊亞諾振幅服從對偶性，伽馬函數具有下述性質。

（1）

證明：根據式（3.1.6），利用分部積分法得

（2）

證明：由式（3.1.6）可得。

（3）

證明：若u是正整數，則反復應用式（3.1.7）可得。

（4）

證明：由式（3.1.9）可得。

（5）

證明：重復應用式（3.1.9），可得。

（6）

證明：由式（3.1.6）得

令

（7）

下面討論貝塔函數的解析行為：

式（3.1.14）叫作貝塔函數，其通過A(s,t)=與維尼齊亞諾振幅相聯系。顯然，當u或v是非負整數時，式（3.1.14）有單極點，不存在雙極點，因為當Г(u)和Г(v)同時有極點時，分母也有極點。當v～-n時，B(u,v)的行為顯然是

為了寫出v=-n處的留數，這里應用了式（3.1.9）。式（3.1.15）是關于u的多項式。若固定u，則作為關于v的函數，B(u,v)僅有式（3.1.15）中顯示的奇異性。對于Reu>0，為了使B(u,v)的無限和收斂，要求能夠寫出：

我們的想法是，式（3.1.15）右邊和貝塔函數的所有奇異性可能不同于復v平面上沒有奇異性的函數。這樣的函數，對于大|v|不能消失；對于正u和大|v|（遠離實軸），式（3.1.16）等號右邊的和消失。

將式（3.1.16）表達為維尼齊亞諾振幅：

因為振幅的定義遵守A(s,t)=A(t,s)，所以由對稱性可得替代展開式為

由于雷吉軌跡的簡單選擇，，式（3.1.17）的奇異點是對應的簡單極點，如式（3.1.3），對t-通道交換的粒子質量平分為（n=0,1,2,…）。從式（3.1.3）的視角看來，對應于質量平方為[n-α(0)]/α'的粒子在n最大時具有自旋J。因此，自旋為J的粒子的最小質量平方是[J-α(0)]/α'。這就是為什么α'被稱為雷吉斜率。

維尼齊亞諾振幅的積分表達形式為

式（3.1.20）中使用了分部積分公式。借助式（3.1.9），貝塔函數遵守同樣的恒等式：

C(u,v)還遵守另一個遞推公式：

可以證明B(u,v)=C(u,v)。因此可得關于維尼齊亞諾振幅的積分表達式為

3.1.2　維尼齊亞諾振幅的高能行為

首先考慮維尼齊亞諾振幅的高能漸近行為。固定t，先考慮大s的雷吉區域。大s、固定的t對應于高能小角散射區域，該區域的現象學給出雷吉極點理論和最終的二元模型。為此，要先了解伽馬函數的漸近行為。對大u，的行為容易從它的積分定義式［式（3.1.6）］中得出。該區域的鞍點評估給出斯特靈公式：

由式（3.1.23）得，維尼齊亞諾振幅為

在大s區域，對固定的t，有漸近行為：

式（3.1.26）對整體復s平面有效，只要不取太接近正實s軸的點即可。在物理區域，對大s，A(s,t)具有許多零點和極點。如果在這些零點和極點處取平均，則式（3.1.26）在平均的意義上有效。交換自旋為J的單個基本粒子，比較式（3.1.26）與關于散射的一般公式［式（3.1.5）］。這時，對于大s和固定的t，振幅的漸近行為將是A(s,t)～sJ。故式（3.1.26）對應于以下漸近行為：由t-通道交換產生的粒子只依賴于變量t，角動量為J=α(t)。這就是雷吉極點理論，即任意t-通道的大角動量粒子可在高能狀態下交換一個t-通道的角動量為J=α(t)的虛擬粒子而獲得有效描述。不考慮雷吉極限，而就某一散射角考慮維尼齊亞諾振幅的高能行為是有益的。容易看到，在高能狀態下，s、t和質心散射角θs存在下述關系：

2t=-s(1-cosθs)

（3.1.27）

利用斯特靈公式可以證明，維尼齊亞諾振幅的漸近行為對大s和固定的θs有

A(s,t)～[F(θs)]-α(s)

（3.1.28）

式中，F(θs)是質心散射角的某個函數。故對于固定的質心散射角，高能散射振幅隨s減小而下降。

3.1.3　維尼齊亞諾模型評估

維尼齊亞諾模型的提出，向世人展示了一個完全嶄新的理論，這是一次重大創新。但在某些方面維尼齊亞諾模型導致的結果非常糟糕。二元假設從來沒有得到任何實驗的驗證。維尼齊亞諾模型僅是滿足這個糟糕但又極具積極意義的假設的一種方案。該模型展示了一個空前豐富的理論結構，吸收了大量物理學研究成果，并且產生了令人驚喜的作用：維尼齊亞諾模型是真正的相對論弦模型，在合并費米子的過程中出現了階化李代數，使人們見識到了26-維玻色弦理論和10-維超弦理論。但它一直未能像研究者希望的那樣成為強相互作用的基本理論。