4 面積和體積

數學的一個早期的廣泛應用是測量長度，而推廣這種方法來計算二維或三維物體的尺寸是一個較大的挑戰，這涉及分析面積和體積。幾乎所有古埃及數學家的書卷都告訴我們那個時期的學者對這個問題特別感興趣，而且他們發明了令人矚目的計算方法。

測量距離有許多種方法，主要取決于標度。傳統的方法是用步距來測量人或建筑物的高度，而在世界有些地方則用手來測量馬的高度。這些測量單位的起源是很明顯的。事實上，手、手指關節和手掌在古埃及是標準的測量單位，并且因此在古埃及誕生了最早的面積和體積科學。當然，如果你想測量一個小鎮到另一個小鎮的距離，用腳和手作為測量單位顯然是不切實際的。在今天，有更長的計量單位，如英里或千米。古埃及以“河”為單位來測量這些長距離。一“河”約等于6.2英里（10千米）。處于手與河之間的標準的古埃及長度單位是腕尺，保存下來的史料告訴我們一腕尺大約是21英寸（52.5厘米）。

面積問題

怎么測量二維圖形的面積呢？由古埃及人發明，今天仍在使用的方法是用一個邊長為一單位長度的正方形來測量。所以我們今天使用的面積單位是平方米、平方英里，而古埃及人使用的是平方腕尺。如果把單位邊長的正方形看作瓦片，那么需要多少塊瓦片來覆蓋需要測量的區域呢？

古埃及文明始于大約公元前3000年，面積測量的問題對于古埃及是非常重要的。當父母去世時，他們的土地通常會被平均分配給他們的所有孩子。

古埃及文明始于大約公元前3000年，面積測量的問題對于古埃及是非常重要的。當父母去世時，他們的土地通常會被平均分配給他們的所有孩子。因為需要征稅，所以對政府和公民來說，能夠準確地計算面積是很重要的。當圖形是標準的矩形時，計算面積很容易。一片土地3m長，2m寬，需要6個瓦片去覆蓋，這里每個瓦片是1m2的正方形。今天，我們把它的面積記作6m2。

同樣的規律適用于體積，這是體現三維空間圖形大小的一個量。以1×1×1的立方體作為基本單位來測量空間體積，即需要多少個單位立方體來填充該圖形。如果一間房是2m寬，3m長，4m高，則需6個立方體為一層，共需4層來填充，該房間總體積是2m×3m×4m=24m3。

當圖形不能恰好用整數個瓦片或單位立方體來覆蓋或填充時，其面積或體積將變得很難測量。即使對于最簡單的圖形——三角形，面積也不是明顯的。如果一個三角形底部長為w，高為h，則它的面積是。這是古埃及幾何學家掌握的事實之一。

阿姆士莎草紙書

這部莎草紙書是由古埃及僧侶、數學家阿姆士（Ahmes）所著，稱為“阿姆士莎草紙書”，有時也稱為“萊因德數學莎草紙書”（萊因德是生活在19世紀的文物研究者，他將這份莎草紙書帶到了英國）。該書記載著87個題目。

在“阿姆士莎草紙書”上，有幾個問題是幾何問題，涉及計算圖形的面積。如第50題：求直徑為9 khet（1 khet是100腕尺）的圓形地的面積，給出的答案是64平方khet。這表明那時用了π的近似值（見第12篇）。其他的問題涉及求三角形、梯形、矩形等的面積。

金字塔和莫斯科莎草紙書

比“阿姆士莎草紙書”更早的是“莫斯科莎草紙書”，可追溯到大約公元前1850年。該書包括25個數學問題及解答。第14個問題可能是從古埃及數學中保存下來的最有影響的問題，涉及推導金字塔的體積。事實上，這個金字塔是個正棱臺，即切掉頂部的正棱錐。已知金字塔的底是一個邊長為4腕尺的大正方形，頂部是一個邊長為2腕尺的小正方形，金字塔的高為6腕尺，如何計算這個幾何體的體積？正確的處理方法不是顯而易見的。事實上，截金字塔所得的幾何體是以邊長為a的正方形為底，高為h，邊長為b的正方形為頂，它的體積為：

任何人幾乎都可以根據以上公式推導出正確答案（56立方腕尺），這個事實告訴我們古埃及幾何學家已經掌握了一些相當復雜的幾何公式。