3.3　點(diǎn)積：測(cè)量向量對(duì)齊

我們已經(jīng)見過的一種向量乘法是標(biāo)量乘法，將一個(gè)標(biāo)量（實(shí)數(shù)）和一個(gè)向量結(jié)合起來，得到一個(gè)新的向量。不過還沒有討論過任何將向量相乘的方法。實(shí)際上，有兩種重要的方法可以做到這一點(diǎn)，二者都提供了重要的幾何學(xué)見解。一種叫作點(diǎn)積，使用點(diǎn)運(yùn)算符書寫（例如，）；另一種叫作向量積（例如，）。對(duì)于數(shù)來說，這些符號(hào)的意思是一樣的，如3·4 = 3 × 4。對(duì)于兩個(gè)向量來說，運(yùn)算和不僅僅有不同的符號(hào)，而且代表的意義完全不同。

點(diǎn)積取兩個(gè)向量并返回一個(gè)標(biāo)量（數(shù)），而向量積取兩個(gè)向量并返回另一個(gè)向量。然而，使用這兩種運(yùn)算都可以推斷出三維空間中向量的長(zhǎng)度和方向。我們首先從點(diǎn)積開始介紹。

3.3.1　繪制點(diǎn)積

點(diǎn)積（也叫內(nèi)積）是對(duì)兩個(gè)向量的運(yùn)算，返回一個(gè)標(biāo)量。換句話說，給定兩個(gè)向量和，那么的結(jié)果是實(shí)數(shù)。點(diǎn)積適用于二維、三維等任意維度的向量。它可以被看作測(cè)量輸入向量對(duì)的“對(duì)齊程度”。首先來看看平面上的一些向量，以及它們的點(diǎn)積，以便對(duì)這個(gè)運(yùn)算有一些直觀的認(rèn)識(shí)。

向量和的長(zhǎng)度分別為4和5，而且方向幾乎相同。它們的點(diǎn)積為正，意味著它們是對(duì)齊的（見圖3-24）。

圖3-24　大致對(duì)齊的兩個(gè)向量給出一個(gè)大的正點(diǎn)積

指向相似方向的兩個(gè)向量的點(diǎn)積為正，并且向量越大，乘積就越大。對(duì)于同樣對(duì)齊的較短向量，點(diǎn)積較小但仍然是正的。新向量和的長(zhǎng)度都是2（見圖3-25）。

圖3-25　指向相似方向的兩個(gè)較短向量，點(diǎn)積較小但仍為正

相反，如果兩個(gè)向量指向相反或大致相反的方向，則其點(diǎn)積為負(fù)（見圖3-26和圖3-27）。向量越長(zhǎng)，則點(diǎn)積的負(fù)值越小。

圖3-26　指向相反方向的向量點(diǎn)積為負(fù)

圖3-27　指向相反方向的較短向量，點(diǎn)積較大但仍為負(fù)數(shù)

并非所有的向量對(duì)都明確地指向相似或相反的方向，點(diǎn)積可以檢測(cè)這一點(diǎn)。如圖3-28所示，如果兩個(gè)向量的方向完全垂直，那么無論它們的長(zhǎng)度如何，點(diǎn)積都是零。

圖3-28　垂直向量的點(diǎn)積總是為零

這就是點(diǎn)積最重要的應(yīng)用之一：在不做任何三角運(yùn)算的情況下，計(jì)算兩個(gè)向量是否垂直。這種垂直的情況也可以用來區(qū)分其他情況：如果兩個(gè)向量的夾角小于90°，則向量的點(diǎn)積為正；如果夾角大于90°，則向量的點(diǎn)積為負(fù)。雖然還沒有講到計(jì)算點(diǎn)積的方法，但你現(xiàn)在知道如何解釋這個(gè)值了。接下來介紹如何計(jì)算它。

3.3.2　計(jì)算點(diǎn)積

給定兩個(gè)向量的坐標(biāo)，有一個(gè)計(jì)算點(diǎn)積的簡(jiǎn)單公式：將相應(yīng)的坐標(biāo)相乘，然后將乘積相加。例如，在點(diǎn)積 (1, 2, -1)·(3, 0, 3) 中，坐標(biāo)的乘積為3，坐標(biāo)的乘積為0，坐標(biāo)的乘積為-3，因?yàn)橄嗉訛?3 + 0 + (-3) = 0，所以點(diǎn)積為零。如果我說得沒錯(cuò)，這兩個(gè)向量應(yīng)該是垂直的。如果繪制它們并從正確的角度去看，就能證明這一點(diǎn)（見圖3-29）。

圖3-29　點(diǎn)積為零的兩個(gè)向量在三維空間中確實(shí)是垂直的

在三維空間中，我們的視角可能有誤導(dǎo)性，這使得計(jì)算出向量的相對(duì)方向比目測(cè)更有價(jià)值。再看一個(gè)示例，圖3-30顯示了二維向量(2, 3)和(4, 5)在平面上具有相似的方向。坐標(biāo)的乘積是2·4 = 8，而坐標(biāo)的乘積是3·5 = 15。8 + 15 = 23就是點(diǎn)積的結(jié)果。這個(gè)結(jié)果是一個(gè)正數(shù)，證實(shí)了向量的夾角小于90°。它們?cè)谌S空間中可以表示為恰好位于平面內(nèi)的向量(2, 3, 0)和(4, 5, 0)。但是無論在二維平面還是三維空間中，它們的相對(duì)幾何性質(zhì)是不變的。

圖3-30　計(jì)算點(diǎn)積的另一個(gè)示例

在Python中，可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)積函數(shù)來處理任意一對(duì)（只要它們的坐標(biāo)數(shù)目相同即可）輸入向量。例如：

def dot(u,v):
    return sum([coord1 * coord2 for coord1,coord2 in zip(u,v)])

這段代碼使用Python的zip函數(shù)對(duì)相應(yīng)的坐標(biāo)進(jìn)行配對(duì)，然后在推導(dǎo)式中將每對(duì)坐標(biāo)相乘，并添加到結(jié)果列表中。下面就借助它，進(jìn)一步探索點(diǎn)積的行為。

3.3.3　點(diǎn)積的示例

位于不同軸上的兩個(gè)向量的點(diǎn)積為零并不奇怪。這說明它們是垂直的。

>>> dot((1,0),(0,2))
0
>>> dot((0,3,0),(0,0,-5))
0

我們還可以證實(shí)，向量越長(zhǎng)，其點(diǎn)積的絕對(duì)值越大。例如，將任意一個(gè)輸入向量乘以2，點(diǎn)積的輸出就會(huì)翻倍。

>>> dot((3,4),(2,3))
18
>>> dot(scale(2,(3,4)),(2,3))
36
>>> dot((3,4),scale(2,(2,3)))
36

這說明，點(diǎn)積的絕對(duì)值與其輸入向量的長(zhǎng)度成正比。如果取同方向兩個(gè)向量的點(diǎn)積，那么點(diǎn)積就等于兩個(gè)向量長(zhǎng)度的乘積。例如，(4, 3)的長(zhǎng)度為5，(8, 6)的長(zhǎng)度為10，所以二者的點(diǎn)積等于5·10。

>>> dot((4,3),(8,6))
50

當(dāng)然，點(diǎn)積并不總是等于其輸入向量長(zhǎng)度的乘積。如圖3-31所示，向量(5, 0)、(-3, 4)、(0, -5)和(-4, -3)的長(zhǎng)度都是5，但它們與原始向量(4, 3)的點(diǎn)積是不同的。

圖3-31　由于方向不同，相同長(zhǎng)度的向量與向量 (4, 3)有不同的點(diǎn)積

兩個(gè)長(zhǎng)度為5的向量的點(diǎn)積范圍是-25～25：當(dāng)它們指向相反方向時(shí)，點(diǎn)積為-25；當(dāng)它們對(duì)齊時(shí)，點(diǎn)積為5·5 = 25。在3.3.5節(jié)的練習(xí)中你會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)向量的點(diǎn)積范圍是長(zhǎng)度乘積到長(zhǎng)度乘積的負(fù)值。

3.3.4　用點(diǎn)積測(cè)量角度

我們已經(jīng)知道，點(diǎn)積是根據(jù)兩個(gè)向量的夾角而變化的。具體來說，當(dāng)夾角角度為0到180°時(shí)，點(diǎn)積的取值范圍是和長(zhǎng)度乘積的1到-1倍。我們已經(jīng)見過具有這樣特征的函數(shù)，即余弦函數(shù)。其實(shí)點(diǎn)積還有另一個(gè)公式。如果和分別表示向量和的長(zhǎng)度，那么點(diǎn)積的計(jì)算公式為：

是向量和之間的角度。原則上，這提供了一種計(jì)算點(diǎn)積的新方法。通過測(cè)量?jī)蓚€(gè)向量的長(zhǎng)度和它們之間的角度，就可以得到點(diǎn)積的結(jié)果。如圖3-32所示，假設(shè)已知有兩個(gè)長(zhǎng)度分別為3和2的向量，并使用量角器測(cè)量出它們的夾角是75°。

圖3-32　長(zhǎng)度分別為3和2的兩個(gè)向量，夾角為75°

圖3-32中兩個(gè)向量的點(diǎn)積為。通過適當(dāng)?shù)幕《绒D(zhuǎn)換，我們可以使用Python計(jì)算出這個(gè)值約為1.55。

>>> from math import cos,pi
>>> 3 * 2 * cos(75 * pi / 180)
1.5529142706151244

在使用向量進(jìn)行計(jì)算時(shí)，更常見的是基于坐標(biāo)來計(jì)算角度。我們可以結(jié)合這兩個(gè)公式來算出一個(gè)角：首先使用坐標(biāo)計(jì)算向量的點(diǎn)積和長(zhǎng)度，然后求解角度。

讓我們找出向量(3, 4)和(4, 3)之間的角度。它們的點(diǎn)積是24，向量長(zhǎng)度都是5。從新的點(diǎn)積公式可以得出：

可以將簡(jiǎn)化成。使用Python的math.acos庫，可以得到值約為0.284弧度或16.3°，其余弦值為24/25。

這個(gè)練習(xí)提醒了我們，為什么在二維平面上不需要點(diǎn)積。第2章展示了如何得到向量與軸正方向之間的角度。創(chuàng)造性地使用那個(gè)公式，可以在平面上找到我們想要的任意角度。點(diǎn)積在三維空間中才真正開始發(fā)揮作用，因?yàn)槿S空間中的坐標(biāo)變換對(duì)測(cè)量角度的幫助并不大。

例如，我們可以用同樣的公式來求(1, 2, 2)和(2, 2, 1)之間的角度。它們的點(diǎn)積是1·2 + 2·2 + 2·1 = 8，向量長(zhǎng)度都是3。這意味著，所以，約為0.476弧度或27.3°。

這個(gè)過程在二維平面或三維空間中是一樣的，將被反復(fù)使用。通過實(shí)現(xiàn)Python函數(shù)來求兩個(gè)向量之間的角度可以節(jié)省一些精力。因?yàn)?code>dot函數(shù)和length函數(shù)中都沒有硬編碼維數(shù)，所以這個(gè)新函數(shù)也不會(huì)。利用這個(gè)公式可得：

以及

第二個(gè)公式可以被直接翻譯成如下Python代碼。

def angle_between(v1,v2):
    return acos(
                dot(v1,v2) /
                (length(v1) * length(v2))
            )

這段Python代碼沒有依賴向量和的維數(shù)。它們既可以是包含2個(gè)坐標(biāo)的元組，也可以是包含3個(gè)坐標(biāo)的元組（實(shí)際上，還可以是包含4個(gè)或更多坐標(biāo)的元組，我們將在后面的章節(jié)中討論）。相比之下，接下來要說的向量積（外積、叉積）只在三維空間中有效。

3.3.5　練習(xí)

練習(xí)3.11：根據(jù)圖3-33，將、和從大到小排列。

圖　3-33

解：乘積是唯一正的點(diǎn)積，因?yàn)?img alt="" class="h-pic-1" src="https://epubservercos.yuewen.com/8EA7F4/22124474309908206/epubprivate/OEBPS/Images/136.gif?sign=1755220539-8ojiKRw3GXAwPcdKlPa01ijeJ8NNph7B-0-27acebf4ae490156298adaaf516b89c1">和是唯一一對(duì)夾角小于直角的向量對(duì)。此外，比更小（更負(fù)），因?yàn)?img alt="" class="h-pic-1" src="https://epubservercos.yuewen.com/8EA7F4/22124474309908206/epubprivate/OEBPS/Images/136.gif?sign=1755220539-8ojiKRw3GXAwPcdKlPa01ijeJ8NNph7B-0-27acebf4ae490156298adaaf516b89c1">既大又離更遠(yuǎn)，所以。

 

練習(xí)3.12：(-1, -1, 1)和(1, 2, 1) 的點(diǎn)積是多少？這兩個(gè)三維向量的夾角是大于90°、小于 90°，還是正好等于90°？

解：(-1, -1, 1)和(1, 2, 1)的點(diǎn)積為-1·1 + -1·2 + 1·1 = -2。因?yàn)榻Y(jié)果是負(fù)數(shù)，所以兩個(gè)向量之間的角度超過90°。

 

練習(xí)3.13（小項(xiàng)目）：對(duì)于兩個(gè)三維向量和，和的值都等于。在這種情況下，，而和都是36，是原結(jié)果的2倍。請(qǐng)證明這個(gè)規(guī)則對(duì)于任意實(shí)數(shù)都適用，而不僅僅是2。換句話說，請(qǐng)證明對(duì)于任意，和的值都等于。

解：設(shè)和的坐標(biāo)為和，那么。因?yàn)?img alt="" class="h-pic-x" src="https://epubservercos.yuewen.com/8EA7F4/22124474309908206/epubprivate/OEBPS/Images/327.gif?sign=1755220539-DdsNoa6NvtqZ2u5RPTd0TfWGVGu1vT3b-0-7814044d23bcb68451553bedce388b95">，，我們可以通過展開點(diǎn)積來計(jì)算。

上式證明了標(biāo)量乘法會(huì)對(duì)點(diǎn)積的結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的縮放處理。

另一個(gè)點(diǎn)積同理，以下公式證明了同樣的事實(shí)。

 

練習(xí)3.14（小項(xiàng)目）：用代數(shù)證明向量與其自身的點(diǎn)積是其長(zhǎng)度的平方。

解：如果一個(gè)向量的坐標(biāo)是，那么它與自身的點(diǎn)積是，確實(shí)是其長(zhǎng)度的平方。

 

練習(xí)3.15（小項(xiàng)目）：找出長(zhǎng)度為3的向量和長(zhǎng)度為7的向量，使。再找出一對(duì)向量和，使。最后，再找出三對(duì)長(zhǎng)度分別為3和7的向量，并證明它們的長(zhǎng)度都在-21和21之間。

解：兩個(gè)方向相同的向量（例如，沿軸正方向）具有最高的點(diǎn)積。

>>> dot((3,0),(7,0))
21

兩個(gè)方向相反的向量（例如，分別沿軸正負(fù)方向）具有最低的點(diǎn)積。

>>> dot((0,3),(0,-7))
-21

利用極坐標(biāo)，可以很容易地再生成一些長(zhǎng)度為3和7的任意角度的向量。

from vectors import to_cartesian
from random import random
from math import pi

def random_vector_of_length(l):
    return to_cartesian((l, 2 *pi*random()))

pairs = [(random_vector_of_length(3), random_vector_of_length(7))
            for i in range(0,3)]
for u,v in pairs:
    print("u = %s, v  = %s" % (u,v))
    print("length of u: %f, length of v: %f, dot product :%f" %
                (length(u), length(v), dot(u,v)))

 

練習(xí)3.16：設(shè)和是向量，其中，。如果和的夾角是101.3°，那么是什么？

(a) 5.198

(b) 5.098

(c) -1.019

(d) 1.019

解：同樣可以將這些值代入新的點(diǎn)積公式，并通過適當(dāng)?shù)幕《绒D(zhuǎn)換，使用Python計(jì)算結(jié)果。

>>> 3.61 * 1.44 * cos(101.3 * pi / 180)
-1.0186064362303022

四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后三位，答案與(c)一致。

 

練習(xí)3.17（小項(xiàng)目）：通過把(3, 4)和(4, 3)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)并取角的差值，來求出它們之間的角度。答案是以下哪一個(gè)？

(a) 1.569

(b) 0.927

(c) 0.643

(d) 0.284

提示：結(jié)果應(yīng)與點(diǎn)積公式求得的值一致。

解：因?yàn)閺?img alt="" class="h-pic-1" src="https://epubservercos.yuewen.com/8EA7F4/22124474309908206/epubprivate/OEBPS/Images/x-1.jpg?sign=1755220539-PVYJNXJZPrpTfcT5OJUUoNrY7gr5rIXe-0-4e6eba79c9ab41c38d625a9751c82a94">軸正半軸開始沿逆時(shí)針方向看，向量(3, 4)比(4, 3)距離更遠(yuǎn)，所以用(3, 4)的角度減去(4, 3)的角度就能得到答案。結(jié)果與答案(d)完全吻合。

>>> from vectors import to_polar
>>> r1,t1 = to_polar((4,3))
>>> r2,t2 = to_polar((3,4))
>>> t1-t2
-0.2837941092083278
>>> t2-t1
0.2837941092083278

 

練習(xí)3.18：(1, 1, 1)與(-1, -1, 1)之間的角是多少度？

(a) 180°

(b) 120°

(c) 109.5°

(d) 90°

解：兩個(gè)向量的長(zhǎng)度都是，約等于1.732。它們的點(diǎn)積是1·(-1) + 1·(-1) + 1·= -1，即。所以，。由此可求得這個(gè)角約為1.911弧度或109.5°（答案是(c)）。