2.3　平面上的角度和三角學

到目前為止，我們已經使用了兩把“尺子”（稱為軸和軸）來測量平面上的向量。從原點出發的箭頭包含了水平和垂直方向上的可測量位移。實際上，與其使用兩把尺子，還不如使用一把尺子和一把量角器。以向量(4, 3)為例，我們可以測量出它的長度為5個單位，然后用量角器確定方向，如圖2-34所示。

圖2-34　使用量角器測量方向

這個向量的長度為5個單位，方向為從軸正半軸逆時針旋轉約37°。像原始坐標對一樣，可以用一個新的數對(5, 37°)唯一地確定該向量。這種形式的坐標稱為極坐標（polar coordinates），和我們到現在為止所使用的笛卡兒坐標（Cartesian coordinates）一樣，能很好地描述平面上的點。

有時候，比如做向量加法時，使用笛卡兒坐標更簡單；而其他時候，極坐標更實用，特別是進行向量旋轉時。在寫代碼時，因為沒有所謂的刻度尺或量角器，所以只能依賴三角函數。

2.3.1　從角度到分量

反過來思考一下：想象我們已經有了一個角度和一個距離，比如116.57°和3。這兩者定義了一對極坐標(3, 116.57°)，那么，這個向量的笛卡兒坐標是什么呢？

首先，可以將量角器放在軸上并將刻度0對準原點，以確定向量的方向。從軸正半軸逆時針旋轉116.57°，并在這個方向上畫一條線（見圖2-35）。向量(3, 116.57°)就在這條線上的某處。

圖2-35　用量角器測量116.57°

然后用一把尺子，在這個方向上測量出一個距離原點3個單位的點。如圖2-36所示，一旦找到這個點，就可以測量出向量的分量，得到近似坐標(-1.34, 2.68)。

圖2-36　用尺子測量距離原點3個單位的點的坐標

116.57°這個角度并不是隨機選擇的，從原點開始沿著這個方向移動，每向左走1個單位，就會上升2個單位。大致位于這條線上的向量包括(-1, 2)和(-3, 6)，當然還有(-1.34，2.68)，這些向量的坐標長度是坐標長度的2倍（見圖2-37）。

圖2-37　向116.57°所表示的方向移動，每向左移動1個單位，就向上移動2個單位

在116.57°這個方向上，縱橫坐標的比值恰好約等于-2。我們不可能總是幸運地得到一個整數的比值，但每個角度都對應一個固定的比值。圖2-38展示了另一個角度，200°。它給出的固定比值為0.36，即每-1個水平單位對應-0.36個垂直單位。

圖2-38　在不同角度下，每單位水平距離對應多少垂直距離

給定一個角度，該角度上向量的坐標將有一個固定的比值。這個比值叫作角的正切，正切函數寫作tan。到目前為止，你已經看到了正切的幾個近似值。

在這里，為表示近似相等，用符號≈而不是=。正切函數是一個三角（trigonometric1）函數，因為它可以用來測量三角形。目前我們還沒有告訴你如何計算正切，只指出了幾個值。不過Python內置了正切函數，很快就會介紹到，請不用擔心。

1trigonometric中的trigon指三角形，metric指測量。

正切函數顯然與我們最初的問題有關，即為給定角度和距離的向量尋找笛卡兒坐標。但它實際上并不給出坐標，只給出其比值。在這一點上，另兩個三角函數很有幫助：正弦（sin）和余弦（cos）。從角度和距離的關系來看，角的正切等于垂直距離除以水平距離（見圖2-39）。

圖2-39　向量的距離和角度示意圖

相比之下，正弦函數和余弦函數給出了向量的垂直距離、水平距離和整體距離之間的關系，其定義如下面的公式所示。

來看一個具體的示例（見圖2-40）。對于一個37°的角，上面的點(4, 3)距離原點5個單位。

圖2-40　用量角器測量(4, 3)和軸的夾角

在37°角的方向上每移動5個單位，就會垂直移動大約3個單位，所以：

在37°角的方向上每移動5個單位，就會水平移動大約4個單位，所以：

這是將極坐標轉換為對應的笛卡兒坐標的一般方法。如果知道一個角（希臘字母theta，常用來表示角）的正弦和余弦，以及在該方向上的距離，則笛卡兒坐標為，如圖2-41所示。

圖2-41　圖解直角三角形中極坐標到笛卡兒坐標的轉換

2.3.2　Python中的三角學和弧度

讓我們把三角學知識轉化為Python代碼：實現一個函數，接收一對極坐標（長度值和角度值）并輸出一對笛卡兒坐標（分量和分量的長度）。

主要的問題是Python內置的三角函數與我們使用的單位不同。例如，我們期望，但Python給出結果卻大不相同。

>>> from math import tan
>>> tan(45)
1.6197751905438615

Python不使用角度，事實上大多數數學家也不使用角度。他們使用弧度（radian）來替代角度，換算系數是：

1弧度 ≈ 57.296°

之所以這樣，是因為一個特殊的數π，它的值約為3.141 59。正是它搭建了角度和弧度之間的橋梁。

π弧度 = 180°

2π弧度 = 360°

繞圓半圈的弧度為π，整圈的弧度是2π，分別與半徑為1的圓的半周長和周長一致（見圖2-42）。

圖2-42　半周長的弧度是π，周長的弧度是2π

可以把弧度看作另一種比值：對于一個給定的角度，它的弧度值表明你已經繞過的半徑數。正因為這種特性，弧度本身并沒有單位。注意到45° = π/4（弧度），所以正確的處理方式應該如下所示。

>>> from math import tan, pi
>>> tan(pi/4)
0.9999999999999999

現在我們可以用Python提供的三角函數實現一個to_cartesian函數，接收一對極坐標并返回相應的笛卡兒坐標。

from math import sin, cos
def to_cartesian(polar_vector):
    length, angle = polar_vector[0], polar_vector[1]
    return (length*cos(angle), length*sin(angle))

利用這一點，可以驗證沿著37°角的方向移動5個單位可以接近點(4, 3)。

>>> from math import pi
>>> angle = 37*pi/180
>>> to_cartesian((5,angle))
(3.993177550236464, 3.0090751157602416)

現在可以將極坐標轉換為笛卡兒坐標了，下面來看看如何將笛卡兒坐標轉換為極坐標。

2.3.3　從分量到角度

給定一對笛卡兒坐標，如(-2, 3)，可以使用勾股定理計算向量的長度，即。這是我們要找的極坐標對中的第一個坐標。第二個坐標是角度，可以用表示，指出這個向量的方向（見圖2-43）。

圖2-43　向量(-2, 3)指向的角度

為了得到，這里提供一些已知條件：，，。剩下的就是找到一個滿足這些條件的值。你可以暫停一下，試試估算這個角度值。

理想情況下，我們希望有一種更有效的方法。如果有一個函數可以接收的值并返回，那就太好了。說起來容易做起來難，但Python的math.asin函數幫助我們實現了這一點。這是一個名為反正弦（asin）的反三角函數實現，能返回符合要求的值。

>>> from math import asin
>>> sin(1)
0.8414709848078965
>>> asin(0.8414709848078965)
1.0

到目前為止，沒有什么問題。但角的正弦呢？

>>> from math import sqrt
>>> asin(3/sqrt(13))
0.9827937232473292

這個弧度對應的角度大概是56.3°，如圖2-44所示，這個方向是錯誤的！

圖2-44　Python的math.asin函數看起來返回了錯誤的角度

math.asin給出的答案并沒有錯，另一個點(2, 3)確實位于這個方向。它距離原點的長度是，所以這個角的正弦值也是。這就是為什么math.asin并不完美，因為不同角度可以有相同的正弦。

反余弦（acos）在Python中被實現為math.acos，可以用來求出正確的值。

>>> from math import acos
>>> acos(-2/sqrt(13))
2.1587989303424644

這個弧度對應的角度大約為123.7°，可以使用量角器確認是正確的。但這只是偶然，因為還有其他的角度可以給出相同的余弦。例如，(-2, -3)離原點距離也為，所以它所在的角度與的余弦同為。為了找到我們真正想要的的值，必須確保它的正弦和余弦與我們的期望值一致。Python返回的弧度約為2.159，滿足這個要求。

>>> cos(2.1587989303424644)
-0.5547001962252293
>>> -2/sqrt(13)
-0.5547001962252291
>>> sin(2.1587989303424644)
0.8320502943378435
>>> 3/sqrt(13)
0.8320502943378437

反正弦、反余弦或反正切函數都不足以找到平面內某個點與軸正半軸的夾角。你在上中學的時候肯定學過如何找到正確的點，這里按下不表，直接切入正題——Python可以幫你完成這個工作。math.atan2函數接收平面上一個點的笛卡兒坐標（按相反的順序）作為參數，返回對應的弧度。例如：

>>> from math import atan2
>>> atan2(3,-2)
2.158798930342464

抱歉之前賣了個關子，但這樣做是為了讓你了解使用反三角函數的潛在陷阱。總而言之，三角函數是很難反解的。多個不同的輸入可以產生相同的輸出，所以一個輸出并不能對應唯一的輸入。讓我們完成一開始要寫的函數：一個從笛卡兒坐標到極坐標的轉換器。

def to_polar(vector):
    x, y = vector[0], vector[1]
    angle = atan2(y,x)
    return (length(vector), angle)

可以通過一些簡單的示例來驗證。to_polar((1,0))應該是軸正半軸上的1個單位，角度為0。事實上，該函數返回的弧度為0，長度為1。

>>> to_polar((1,0))
(1.0, 0.0)

（這里的輸入和輸出相同是巧合，它們的幾何意義不同。）同樣，我們也可以得到(-2, 3)的答案。

>>> to_polar((-2,3))
(3.605551275463989, 2.158798930342464)

2.3.4　練習

練習2.27：確認笛卡兒坐標(-1.34, 2.68)對應的向量的長度約為3。

解：

>>> length((-1.34,2.68))
2.9963310898497184

十分近似了！

 

練習2.28：圖2-45中是一條從正半軸開始按逆時針方向旋轉22°角的直線。根據圖2-45，的近似值是多少？

圖　2-45

解：直線經過點(10, 4)附近，所以4/10 = 0.4是的合理近似值，如圖2-46所示。

圖　2-46

 

練習2.29：轉換問題的角度，假設我們知道了一個向量的長度和方向，想找到它的分量該如何做呢？一個長度為15的向量指向37°角，其分量和分量是多少？

解：37°的正弦值大約是3/5，表示沿這個角度每移動5個單位，就會垂直向上移動3個單位。所以，長度為15的向量的垂直分量為3/5·15，即9。

37°的余弦約等于4/5，表示在這個方向上每移動5個單位，就會水平向右移動4個單位，所以水平分量是4/5·15，即12。綜上所述，極坐標(15, 37°)與笛卡兒坐標(12, 9)大致對應。

 

練習2.30：假設從原點出發，沿著從軸正半軸逆時針旋轉125°的方向移動8.5個單位，那么最終坐標是什么？已知、，請畫圖來表示走過的角度和路徑。

解：

圖2-47顯示了最終坐標為 (-4.879, 6.962)。

圖　2-47

 

練習2.31：0°、90°和180°的正弦和余弦各是多少？換句話說，在這些方向上，每單位距離經過多少個垂直和水平單位？

解：對于0°，沒有垂直距離，所以；而每移動1個單位的距離就經過軸正半軸方向上的1個單位，所以。

對于90°（逆時針轉1/4圈），每移動1個單位的距離就經過軸正半軸方向上的1個單位，所以，而。

最后，對于180°，每移動1個單位的距離都經過軸負半軸方向上的1個單位，所以，而。

 

練習2.32：圖2-48對于一個直角三角形給出了一些精確的測量數據。首先，確認這些長度在直角三角形中的有效性，因為它們必須滿足勾股定理。然后，用圖中的數據計算、和的值，精確到小數點后三位。

圖　2-48

解：代入公式，證實這些邊長確實滿足勾股定理。

根據正弦、余弦和正切的定義，由邊長的比例得出近似的三角函數值。

 

練習2.33：從另一個角度觀察上一個練習中的三角形，用它計算、和的值，精確到小數點后三位。

解：旋轉并鏡像上一個練習中的三角形，這對它的邊長和角度沒有影響（見圖2-49）。

圖2-49　變換上一個練習中的三角形后得到的三角形

調換水平和垂直分量后重新計算，通過邊長的比值得出60°角對應的三角函數值。

 

練習2.34：已知50°的余弦值是0.643。的值是多少，的值又是多少？通過畫圖來計算。

解：已知50°的余弦值是0.643，可以畫出如圖2-50所示的三角形。

圖　2-50

也就是說，已知兩個邊長的比值：0.643/1 = 0.643。要找到未知邊長，可以使用勾股定理。

在已知邊長的情況下，，則。

 

練習2.35：116.57°對應的弧度是多少？用Python計算這個角的正切值，并確認它約等于-2。

解：116.57°·(1弧度/57.296°) ≈ 2.035弧度。

>>> from math import tan
>>> tan(2.035)
-1.9972227673316139

 

練習2.36：cos(10π/6)和sin(10π/6)的值為正還是為負？使用Python計算它們的值并確認。

解：一個完整的圓的弧度是2π，所以π/6是一個圓的1/12。可以想象成把一張比薩切成12塊，從正半軸開始逆時針數，角10π/6表示只差兩塊就轉完了。這說明它指向右下方，所以余弦應該是正值，而正弦應該是負值，因為這個方向的水平分量和垂直分量分別是正的和負的。

>>> from math import pi, cos, sin
>>> sin(10*pi/6)
-0.8660254037844386
>>> cos(10*pi/6)
0.5000000000000001

 

練習2.37：用下面的列表推導式創建1000個極坐標對應的點。

[(cos(5*x*pi/500.0), 2*pi*x/1000.0) for x in range(0,1000)]

在Python代碼中，將這些點轉換為笛卡兒坐標，并用線段依次將其連接起來，從而畫出一幅畫。

解：代碼如下所示。

polar_coords = [(cos(x*pi/100.0), 2*pi*x/1000.0) for x in range(0,1000)]
vectors = [to_cartesian(p) for p in polar_coords]
draw(Polygon(*vectors, color=green))

結果是一朵五瓣的花，如圖2-51所示。

圖2-51　將1000個點連接而成的圖是一朵花

 

練習2.38：通過“猜測檢查法”（guess-and-check）找出(-2, 3)對應的弧度（見圖2-52）。

圖2-52　點(-2, 3)對應的弧度是多少

提示：顯然答案在π/2和π之間。在這個區間內，正切的絕對值總是隨著弧度的增大而減小。

解：這是一個在π/2和π之間進行猜測和檢查的示例，找一個正切值接近-3/2 = -1.5的角。

>>> from math import tan, pi
>>> pi, pi/2
(3.141592653589793, 1.5707963267948966)
>>> tan(1.8)
-4.286261674628062
>>> tan(2.5)
-0.7470222972386603
>>> tan(2.2)
-1.3738230567687946
>>> tan(2.1)
-1.7098465429045073
>>> tan(2.15)
-1.5289797578045665
>>> tan(2.16)
-1.496103541616277
>>> tan(2.155)
-1.5124173422757465
>>> tan(2.156)
-1.5091348993879299
>>> tan(2.157)
-1.5058623488727219
>>> tan(2.158)
-1.5025996395625054
>>> tan(2.159)
-1.4993467206361923

結果肯定在2.158和2.159之間。

 

練習2.39：在平面上找到另一個與有相同正切值（即-3/2）的點。使用Python的反正切函數math.atan來求這個點的弧度值。

解：另一個正切值為-3/2的點是(3, -2)。Python的math.atan函數返回了這個點對應的弧度。

>>> from math import atan
>>> atan(-3/2)
-0.982793723247329

也就是順時針方向轉動不到1/4圈。

 

練習2.40：不使用Python，算出笛卡兒坐標(1, 1)和(1, -1)對應的極坐標。找到答案之后，使用to_polar來檢查一下。

解：極坐標中，(1, 1)變成了，(1, -1)變成了。

兩個向量之間的夾角是它們與軸所成角度的和或差。在下一個小項目中，會提高一些難度。

 

練習2.41（小項目）：如圖2-53所示，恐龍嘴巴的夾角是多少？腳趾的夾角是多少？尾巴的夾角是多少？

圖2-53　恐龍圖形中一些可以測量或計算的夾角