1.3　用上你訓練有素的左腦

本書是為有經驗的程序員或在工作中熱衷于學習編程的人設計的。為程序員讀者寫關于數學的內容是極好的，因為如果你會寫代碼，就已經訓練了你的分析性左腦。我認為學習數學的最好方法是借助高級編程語言，并且預測在不遠的將來，這將是數學課堂的常態。

對于像你這樣的程序員，可以用幾種具體的方法來很好地學習數學。我在這里將其列舉出來不僅是為了奉承你，也是為了提醒你已經具備了哪些技能，可以在數學學習中利用起來。

1.3.1　使用正式的語言

當學習編程時，第一個痛苦的教訓就是，不能像寫簡單的英文一樣編寫代碼。如果你給朋友寫的紙條有少許拼寫或語法錯誤，他們可能還能理解你想說的內容，但代碼中的任何語法錯誤或拼寫錯誤都會導致程序運行失敗。在某些語言中，即使在原本正確的語句末尾漏掉一個分號，也會導致程序無法運行。作為另一個例子，看一下下面這兩個語句。

x = 5
5 = x

可以把二者都解讀為符號的值是5。但這在Python中并不準確，事實上，只有第一條可以如此解讀。Python語句x = 5是一個指令，會把變量的值設置為5。但是，不能將數字5設置為具有的值。這可能看起來有些咬文嚼字，但你需要知道這一點才能寫出正確的程序。

另一個困擾新手程序員（有經驗的程序員也一樣）的問題是引用相等。如果定義了一個新的Python類，并創建了它的兩個相同的實例，那么它們是不相等的。

>>> class A(): pass
...
>>> A() == A()
False

你可能希望兩個相同的表達式是相等的，但這顯然不符合Python的規則。因為這兩個表達式是A類的不同實例，所以它們是不相等的。

留意新的數學對象，它們看起來像你所熟知的對象，但行為方式卻不一樣。例如，如果字母和代表數，那么。但是，正如你將在第5章中學到的，如果和不是數，情況就不一定是這樣。如果和是矩陣，那么積和就是不同的。事實上，它們之中甚至有可能只有一個是合法的，或者兩者都不正確。

寫代碼的時候，僅僅寫出語法正確的語句是不夠的。語句所代表的思想需要是有意義的、合法的。如果寫數學語句時也同樣謹慎，你會更快發現錯誤。更棒的是，如果用代碼寫數學語句，計算機會幫你做輔助檢查。

1.3.2　構建你自己的計算器

計算器在數學課上很常見，因為可以用來檢查計算結果。雖然你需要知道在不借助計算器的情況下如何計算6乘以7，但能通過計算器來確認你的答案正確也挺好。一旦掌握了數學概念，計算器還能幫你節省時間。比如在計算三角函數時，你想知道3.141 59 / 6是多少，這可以用計算器很容易地算出來，于是你可以把精力花在思考結果的意義上。計算器能做的事情越多，理論上應該越有幫助。

但計算器有時太復雜了，很難用。當我上高中的時候，老師要求買一個圖形計算器。我買了一個TI-84，它有大約40個按鈕，每個按鈕有兩三種不同的模式。我只知道如何使用其中的20個左右。總之，這個工具使用起來相當煩瑣。當我在小學一年級拿到第一臺計算器時，情況也是一樣的。雖然它只有大約15個按鈕，但我不知道其中一些是干什么的。如果讓我為學生們發明第一臺計算器，我會把它做成如圖1-14所示的樣子。

圖1-14　幫學生學習計數的計算器

這個計算器只有兩個按鈕：一個按鈕可以將數值重置為1，另一個按鈕可以前進到下一個數。這樣“只滿足最基本需要”的工具，非常適合幫助孩子學習計數。（這個例子可能看起來很傻，但你確實可以買到這樣的計算器！它們通常是機械式的，被當作計數器售賣。）

掌握了如何計數，你就會想練習寫整數和做加法了。在這個學習階段，需要給計算器再加幾個按鈕（見圖1-15）。

圖1-15　能寫整數和做加法的計算器

在這個階段，不需要-、×或÷這樣的按鈕來妨礙你。當你做減法問題（如5-2）時，仍然可以通過這個計算器檢查答案（確認3+2=5）。同樣，你也可以通過累加來解決乘法問題。摸索完這個計算器后，就可以升級到一個能完成所有算術運算的計算器了。

我認為理想的計算器應該是可擴展的，這意味著可以按需添加更多的功能。例如，可以為你學習的每一個新的數學運算在計算器上添加一個新按鈕。當學到代數的時候，也許除了數，還可以讓它理解或等符號。當你學了微積分時，可以更進一步，使其理解和處理數學函數。

可以處理多種類型數據的可擴展計算器似乎遙不可及，但這正是高級編程語言提供的能力。Python不僅自帶算術運算、math模塊，還有眾多可以隨時引入的第三方數學庫，讓編程環境更加強大。因為Python是圖靈完備的，所以你（原則上）可以計算任何可以計算的東西，需要的只是一臺足夠強大的計算機、一個足夠巧妙的程序實現，或者兩者兼備。

本書用可復用的Python代碼來實現每個新的數學概念。自己動手實現可以很好地加深你對一個新概念的理解。最終，你的工具箱里會多出一個新工具。在自己嘗試之后，如果愿意，也可以隨時換上一個經過打磨的主流庫。無論采用哪種方式，你構建或導入的新工具都為探索更復雜的概念奠定了基礎。

1.3.3　用函數建立抽象概念

我剛才所說的過程在編程里叫作抽象。例如，當你厭倦了重復計數時，就可以創建針對加法的抽象；當你厭倦了做重復的加法時，就可以創建針對乘法的抽象；以此類推。

在編程里的所有抽象方式中，可以延續到數學中的最重要的一種方式是函數。在Python中，函數是一種重復執行任務的方法，可以接收一個或多個輸入，產生一個輸出。例如：

def greet(name):
    print("Hello %s!" % name)

這段代碼可以讓人用有表現力的簡短代碼發出多個問候語，比如：

>>> for name in ["John","Paul","George","Ringo"]:
...     greet(name)
...
Hello John!
Hello Paul!
Hello George!
Hello Ringo!

這個函數很實用，但它不像數學函數。數學函數總是接收輸入值，并總是返回沒有副作用的輸出值。

在編程中，我們把行為像數學函數的函數稱為純函數。例如，平方函數接收一個數并返回這個數與自己的乘積。執行時，結果是9。這并不意味著數3現在已經變成了9，而是意味著9是函數在輸入為3時的相應輸出。可以把這個平方函數想象成一臺機器，它在輸入槽中接收數，在輸出槽中產生結果（數），如圖1-16所示。

圖1-16　函數就像一臺有輸入槽和輸出槽的機器

這是一個簡單實用的心智模型，整本書中都會用到它。我最喜歡它的一點是，你可以把函數當成一個對象來處理。在數學中，就像在Python中一樣，函數是可以獨立處理的數據，甚至可以將其傳遞給其他函數。

數學的抽象性會讓人望而生畏。但是，就像在任何優秀軟件中一樣，引入抽象是有原因的：它可以幫助你組織和交流更宏大、更強有力的思想。當你掌握了這些思想并將其轉化為代碼時，就會開啟更多令人興奮的可能性。

如果你還沒有做到這一點，我希望你已經相信，軟件開發中有許多令人興奮的數學應用。作為一名程序員，你已經有了正確的思維方式和工具來學習一些新的數學思想。本書中的思想豐富了我的職業生涯、提升了我的個人素養，希望對你也有所幫助。讓我們開始吧！