3.4　標準k-ε二方程模型

標準k-ε模型是典型的兩方程模型，它是在一方程模型的基礎上，再引入一個關于湍流耗散率ε的方程后形成的，該模型是目前使用最廣泛的湍流模型。本節介紹k-ε標準模型的定義及其相應的控制方程組。

3.4.1　標準k-ε模型

在湍動能k的方程的基礎上，再引入一個關于湍流耗散率的ε方程，便構成了k-ε兩方程模型，稱為標準k-ε模型。在模型中，湍流耗散率ε的定義為：

　?。?.22）

將湍流黏度表示成k和ε的函數，即

　　（3.23）

式中　C_μ——經驗常數。

在標準k-ε模型中，k和ε是兩個基本未知量，與之相應的輸運方程分別為：

　?。?.24）

　　（3.25）

式中　G_k——由平均速度梯度引起的湍動能k的產生項；

G_b——由浮力引起的湍動能k的產生項；

Y_M——可壓湍流中的脈動擴張項；

C_1ε、C_2ε、C_3ε——經驗常數；

σ_k、σ_ε——與湍動能k和耗散率ε二者相對應的Prandtl數；

S_k、S_ε——用戶定義的源項。

3.4.2　標準k-ε模型的有關計算公式

在標準模型中，式（3.22）與式（3.23）中各項的計算公式如下。

首先，G_k是由平均速度梯度起的湍動能k的產生項，其計算式為：

　?。?.26）

式（3.25）中G_b是由于浮力引起的湍動能k的產生項，對于不可壓流體，G_b=0；對于可壓流體，有

　　（3.27）

式中　Pr_t——湍動Prandtl數，在此模型中Pr_t=0.85；

g_i——重力加速度在第i方向的分量；

β——熱膨脹系數，可由可壓縮流體的狀態方程求出，其表達式為：

　　（3.28）

式（3.24）中Y_M代表可壓縮湍流中的脈動擴張項，對于不可壓縮流體，Y_M=0；對于可壓縮流體，有

　　（3.29a）

　　（3.29b）

　　（3.29c）

式中　M——湍流馬赫（Mach）數；

a——聲速。

在標準k-ε模型中，根據Launder等的推薦值及后來的實驗驗證，模型常數C_1ε、C_2ε、C_μ、σ_k和σ_ε的取值為：

　?。?.30）

對于可壓縮流體的流動計算中與浮力相關的系數C_3ε，當主流方向與重力方向平行時，C_3ε=1；當主流方向與重力方向垂直時，C_3ε=0。

根據以上分析，當流動為不可壓，且不考慮用戶自定義的源項時，G_b=0、Y_M=0、S_k=0和S_ε=0，此時，標準k-ε模型分別為

　?。?.31）

　　（3.32）

式（3.31）和式（3.32）為標準k-ε模型簡化后的形式，這便于分析不同湍流模型的特點，在后續介紹的改進的k-ε模型也將采用這種簡化形式。

式（3.31）和式（3.32）中的G_k按式（3.26）計算，其展開式為：

　?。?.33）

3.4.3　標準k-ε模型的控制方程組

采用標準k-ε模型求解流動及換熱問題時，控制方程包括連續性方程、動量方程、能量方程、k方程、ε方程與湍流黏度的定義式（3.23）。若不考慮熱交換，只是單純流場計算問題，則不需要包含能量方程。若考慮傳質或有化學變化的情況，則應增加組分方程，這些方程均可用如下通用形式表示：

　?。?.34）

使用散度和梯度符號，式（3.34）可改為：

　?。?.35）

為查閱方便，表3.1給出了在三維笛卡爾坐標系下，與式（3.35）所對應的標準k-ε模型的控制方程。

3.4.4　標準k-ε模型方程的解法及適用性

在將各類變量的控制方程都寫成式（3.35）所示的統一形式后，控制方程的離散化及求解方法可以求得統一，這為發展大型通用計算程序提供了條件。以式（3.35）為出發點所編制的程序可以適用于各種變量，不同變量間的區別僅在于廣義擴散系數、廣義源項及初值、邊界條件三個方面。實際上，目前世界上研究計算流體動力學的主要機構所編制的程序多是針對式（3.35）寫出的。應特別注意區別不同變量的源項在離散化及求解過程中的特殊問題。

對于標準k-ε模型的適用性，需注意以下幾點。

（1）模型中的有關系數，如式（3.30）中的值，主要是根據一些特殊條件下的實驗結果而確定的，在討論不同問題時，這些值取值可能有所不同，但總體來講本節推薦取值得到了廣泛應用。雖然這組系數有較廣泛的適用性，但也不能過高估計其適用性，在數值計算過程中針對特定的問題需要參考相關文獻研究尋找更合理的取值。

（2）本節所給出的標準k-ε模型，是針對湍流發展非常充分的湍流流動來建立的，也就是說，它是一種針對高雷諾數的湍流計算模型，而當雷諾數比較低時，例如，在近壁區內的流動，湍流發展并不充分，湍流的脈動影響可能不如分子黏性的影響大，在更貼近壁面的底層內，流動可能處于層流狀態。因此，對雷諾數較低的流動使用上面建立的標準k-ε模型進行計算，就會出現問題。因而必須采用特殊的處理方式，以解決近壁區內的流動計算及低雷諾數時的流動計算問題。常用的解決方法有兩種：一種是采用壁面函數法；另一種是采用低雷諾數的k-ε模型。

（3）標準k-ε模型比零方程模型和一方程模型有了很大改進，在科學研究及工程實際中得到了最為廣泛的檢驗和應用，但用于強旋流、彎曲壁面流動或彎曲線流動時會產生一定的失真。這是由于在標準k-ε模型中，對于Reynolds應力的各個分量，假定湍流黏度μ_t是各向同性的標量。而在流線彎曲的情況下，湍流是各向異性的，μ_t應該是各向異性的張量。為了彌補標準k-ε模型的缺陷，許多學者提出了對標準k-ε模型的改進型模型，目前，應用比較廣泛的改進型模型有兩種：RNG（Renormalization Group，重正化群）k-ε模型和Realizable k-ε模型。