3.4　標(biāo)準(zhǔn)k-ε二方程模型

標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型是典型的兩方程模型，它是在一方程模型的基礎(chǔ)上，再引入一個(gè)關(guān)于湍流耗散率ε的方程后形成的，該模型是目前使用最廣泛的湍流模型。本節(jié)介紹k-ε標(biāo)準(zhǔn)模型的定義及其相應(yīng)的控制方程組。

3.4.1　標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型

在湍動(dòng)能k的方程的基礎(chǔ)上，再引入一個(gè)關(guān)于湍流耗散率的ε方程，便構(gòu)成了k-ε兩方程模型，稱為標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型。在模型中，湍流耗散率ε的定義為：

　　（3.22）

將湍流黏度表示成k和ε的函數(shù)，即

　　（3.23）

式中　C_μ——經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。

在標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型中，k和ε是兩個(gè)基本未知量，與之相應(yīng)的輸運(yùn)方程分別為：

　　（3.24）

　　（3.25）

式中　G_k——由平均速度梯度引起的湍動(dòng)能k的產(chǎn)生項(xiàng)；

G_b——由浮力引起的湍動(dòng)能k的產(chǎn)生項(xiàng)；

Y_M——可壓湍流中的脈動(dòng)擴(kuò)張項(xiàng)；

C_1ε、C_2ε、C_3ε——經(jīng)驗(yàn)常數(shù)；

σ_k、σ_ε——與湍動(dòng)能k和耗散率ε二者相對(duì)應(yīng)的Prandtl數(shù)；

S_k、S_ε——用戶定義的源項(xiàng)。

3.4.2　標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型的有關(guān)計(jì)算公式

在標(biāo)準(zhǔn)模型中，式（3.22）與式（3.23）中各項(xiàng)的計(jì)算公式如下。

首先，G_k是由平均速度梯度起的湍動(dòng)能k的產(chǎn)生項(xiàng)，其計(jì)算式為：

　　（3.26）

式（3.25）中G_b是由于浮力引起的湍動(dòng)能k的產(chǎn)生項(xiàng)，對(duì)于不可壓流體，G_b=0；對(duì)于可壓流體，有

　　（3.27）

式中　Pr_t——湍動(dòng)Prandtl數(shù)，在此模型中Pr_t=0.85；

g_i——重力加速度在第i方向的分量；

β——熱膨脹系數(shù)，可由可壓縮流體的狀態(tài)方程求出，其表達(dá)式為：

　　（3.28）

式（3.24）中Y_M代表可壓縮湍流中的脈動(dòng)擴(kuò)張項(xiàng)，對(duì)于不可壓縮流體，Y_M=0；對(duì)于可壓縮流體，有

　　（3.29a）

　　（3.29b）

　　（3.29c）

式中　M——湍流馬赫（Mach）數(shù)；

a——聲速。

在標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型中，根據(jù)Launder等的推薦值及后來(lái)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，模型常數(shù)C_1ε、C_2ε、C_μ、σ_k和σ_ε的取值為：

　　（3.30）

對(duì)于可壓縮流體的流動(dòng)計(jì)算中與浮力相關(guān)的系數(shù)C_3ε，當(dāng)主流方向與重力方向平行時(shí)，C_3ε=1；當(dāng)主流方向與重力方向垂直時(shí)，C_3ε=0。

根據(jù)以上分析，當(dāng)流動(dòng)為不可壓，且不考慮用戶自定義的源項(xiàng)時(shí)，G_b=0、Y_M=0、S_k=0和S_ε=0，此時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型分別為

　　（3.31）

　　（3.32）

式（3.31）和式（3.32）為標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型簡(jiǎn)化后的形式，這便于分析不同湍流模型的特點(diǎn)，在后續(xù)介紹的改進(jìn)的k-ε模型也將采用這種簡(jiǎn)化形式。

式（3.31）和式（3.32）中的G_k按式（3.26）計(jì)算，其展開(kāi)式為：

　　（3.33）

3.4.3　標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型的控制方程組

采用標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型求解流動(dòng)及換熱問(wèn)題時(shí)，控制方程包括連續(xù)性方程、動(dòng)量方程、能量方程、k方程、ε方程與湍流黏度的定義式（3.23）。若不考慮熱交換，只是單純流場(chǎng)計(jì)算問(wèn)題，則不需要包含能量方程。若考慮傳質(zhì)或有化學(xué)變化的情況，則應(yīng)增加組分方程，這些方程均可用如下通用形式表示：

　　（3.34）

使用散度和梯度符號(hào)，式（3.34）可改為：

　　（3.35）

為查閱方便，表3.1給出了在三維笛卡爾坐標(biāo)系下，與式（3.35）所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型的控制方程。

3.4.4　標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型方程的解法及適用性

在將各類變量的控制方程都寫成式（3.35）所示的統(tǒng)一形式后，控制方程的離散化及求解方法可以求得統(tǒng)一，這為發(fā)展大型通用計(jì)算程序提供了條件。以式（3.35）為出發(fā)點(diǎn)所編制的程序可以適用于各種變量，不同變量間的區(qū)別僅在于廣義擴(kuò)散系數(shù)、廣義源項(xiàng)及初值、邊界條件三個(gè)方面。實(shí)際上，目前世界上研究計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的主要機(jī)構(gòu)所編制的程序多是針對(duì)式（3.35）寫出的。應(yīng)特別注意區(qū)別不同變量的源項(xiàng)在離散化及求解過(guò)程中的特殊問(wèn)題。

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型的適用性，需注意以下幾點(diǎn)。

（1）模型中的有關(guān)系數(shù)，如式（3.30）中的值，主要是根據(jù)一些特殊條件下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果而確定的，在討論不同問(wèn)題時(shí)，這些值取值可能有所不同，但總體來(lái)講本節(jié)推薦取值得到了廣泛應(yīng)用。雖然這組系數(shù)有較廣泛的適用性，但也不能過(guò)高估計(jì)其適用性，在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中針對(duì)特定的問(wèn)題需要參考相關(guān)文獻(xiàn)研究尋找更合理的取值。

（2）本節(jié)所給出的標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型，是針對(duì)湍流發(fā)展非常充分的湍流流動(dòng)來(lái)建立的，也就是說(shuō)，它是一種針對(duì)高雷諾數(shù)的湍流計(jì)算模型，而當(dāng)雷諾數(shù)比較低時(shí)，例如，在近壁區(qū)內(nèi)的流動(dòng)，湍流發(fā)展并不充分，湍流的脈動(dòng)影響可能不如分子黏性的影響大，在更貼近壁面的底層內(nèi)，流動(dòng)可能處于層流狀態(tài)。因此，對(duì)雷諾數(shù)較低的流動(dòng)使用上面建立的標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型進(jìn)行計(jì)算，就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。因而必須采用特殊的處理方式，以解決近壁區(qū)內(nèi)的流動(dòng)計(jì)算及低雷諾數(shù)時(shí)的流動(dòng)計(jì)算問(wèn)題。常用的解決方法有兩種：一種是采用壁面函數(shù)法；另一種是采用低雷諾數(shù)的k-ε模型。

（3）標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型比零方程模型和一方程模型有了很大改進(jìn)，在科學(xué)研究及工程實(shí)際中得到了最為廣泛的檢驗(yàn)和應(yīng)用，但用于強(qiáng)旋流、彎曲壁面流動(dòng)或彎曲線流動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的失真。這是由于在標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型中，對(duì)于Reynolds應(yīng)力的各個(gè)分量，假定湍流黏度μ_t是各向同性的標(biāo)量。而在流線彎曲的情況下，湍流是各向異性的，μ_t應(yīng)該是各向異性的張量。為了彌補(bǔ)標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型的缺陷，許多學(xué)者提出了對(duì)標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型的改進(jìn)型模型，目前，應(yīng)用比較廣泛的改進(jìn)型模型有兩種：RNG（Renormalization Group，重正化群）k-ε模型和Realizable k-ε模型。