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3.1 湍流及其數學描述

3.1.1 湍流流動的特征

流體實驗表明,在臨界雷諾數以下時,流動是平滑的,相鄰的流體層彼此有序地流動,如果施加的邊界條件不隨時間變化,流動是定常的,這種流動稱為層流。在臨界雷諾數以上時會發生一系列復雜的變化,并導致流動特征的急劇變化,流動呈無序的混亂狀態;這時,即使施加定常的邊界條件,流動也是非定常的,速度等流動特性都隨機變化,這種狀態稱為湍流。在湍流狀態下在某一點測得的速度隨時間的變化情況如圖3.1所示。可以看出,速度值的脈動性很強。湍流中的脈動現象對工程設計有直接影響,壓力的脈動增大了建筑物上承受的風載的瞬時載荷,有可能引起建筑物的有害振動;對于水輪機而言,脈動壓力最大的負波峰則增加了發生空化的可能性。

圖3.1 湍流狀態下某特定點的實測速度

u'—脈動速度;—平均速度

實驗研究表明,湍流帶有旋渦流動結構,這就是所謂的湍流渦(簡稱渦)。從物理結構上看,可以把湍流看成是由各種不同尺度的渦疊合而成的流動,這些渦的大小及旋轉軸的方向分布是隨機的。大尺度的渦主要由流動的邊界條件所決定,其尺寸可以與流場的大小相比擬,它主要受慣性影響而存在,是引起低頻脈動的原因;小尺度的渦主要是由黏性力所決定,其尺寸可能只有流場尺度的千分之一的量級,是引起高頻脈動的原因。大尺度的渦破裂后形成小尺度的渦,較小尺度的渦破裂后形成更小尺度的渦。在充分發展的湍流區域內,流體渦的尺寸可在相當寬的范圍內連續變化。大尺度的渦不斷地從主流獲得能量,通過渦間的相互作用,能量逐漸向小尺寸的渦傳遞。最后由于流體黏性的作用,小尺度的渦不斷消失,機械能就轉化(或稱耗散)為流體的熱能。同時由于邊界的作用、擾動及速度梯度的作用,新的渦旋又不斷產生,這就構成了湍流運動。流體內不同尺度的渦的隨機運動造成了湍流的一個重要特點——物理量的脈動(圖3.1)。

3.1.2 湍流的基本方程

一般認為,無論湍流運動多么復雜,非穩態的連續方程和N-S方程對于湍流的瞬時運動仍然是適用的。在此,考慮不可壓流動,使用笛卡爾坐標系,速度矢量uxyz方向的分量為uvw,可以寫出湍流瞬時控制方程:

  (3.1)

  (3.2)

為了考察脈動的影響,目前廣泛采用的方法是時間平均法,即把湍流運動看作由兩種流動疊加而成:一是時間平均流動;二是瞬時脈動流動。這樣,將脈動分離出來,便于處理和進一步的探討。現引入Reynolds平均法,任意變量?的時間平均值(時均值)定義為

  (3.3)

式中,?的上劃線“-”代表對時間的平均值。

如果用上標“'”代表脈動值,物理量的瞬時值?、時均值及脈動值?'之間有如下關系:

  (3.4)

采用時均值與脈動值之和代替流動變量的瞬時值,即

  (3.5)

將式(3.5)代入瞬時狀態下的連續方程式(3.1)和動量方程式(3.2),并對時間取平均,得到湍流時均流動的控制方程:

  (3.6)

  (3.7a)

  (3.7b)

  (3.7c)

對于其他變量?的輸運方程作類似處理,可得

  (3.8)

在上述各方程中,假設流體密度為常數,但在實際流動中密度可能是變化的。在此,忽略密度脈動的影響,只考慮平均密度的變化,可以寫出可壓湍流平均流動的控制方程(為方便起見,除脈動值的時均值外,下式中去掉了表示時均值的上劃線符號“-”,如用?來表示)。

(1)連續方程

  (3.9)

(2)動量方程

  (3.10)

(3)其他變量的輸運方程


  (3.11)

式(3.9)是時均形式的連續方程,式(3.10)是時均形式的N-S方程。由于在式(3.3)中采用雷諾(Reynolds)平均法,因此,式(3.10)稱為Reynolds時均N-S方程,又稱為Reynolds方程。式(3.11)是場變量?的時均輸運方程。

為了便于后續分析,現引入張量中的指標符號改寫式(3.9)~式(3.11),則有如下方程:

  (3.12)

  (3.13)

  (3.14)

式(3.12)~式(3.14)就是用張量的指標形式表示的時均連續方程、Reynolds方程和場變量?的時均輸運方程。式中ij的指標取值范圍是(1,2,3)。

式(3.13)里多出與有關的項為Reynolds應力項,即

  (3.15)

式中,τij實際對應6個不同的Reynolds應力項,即3個正應力和3個切應力。

由式(3.12)~式(3.14)構成的方程組共有5個方程(Reynolds方程實際是3個),在新增了6個Reynolds應力,再加上原來的5個時均未知量(uxuyuzp?),共有11個未知量,因此,方程組不封閉,必須引入新的湍流模型(方程)才能使方程組式(3.12)~式(3.14)封閉。

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