3.1　湍流及其數學描述

3.1.1　湍流流動的特征

流體實驗表明，在臨界雷諾數以下時，流動是平滑的，相鄰的流體層彼此有序地流動，如果施加的邊界條件不隨時間變化，流動是定常的，這種流動稱為層流。在臨界雷諾數以上時會發生一系列復雜的變化，并導致流動特征的急劇變化，流動呈無序的混亂狀態；這時，即使施加定常的邊界條件，流動也是非定常的，速度等流動特性都隨機變化，這種狀態稱為湍流。在湍流狀態下在某一點測得的速度隨時間的變化情況如圖3.1所示。可以看出，速度值的脈動性很強。湍流中的脈動現象對工程設計有直接影響，壓力的脈動增大了建筑物上承受的風載的瞬時載荷，有可能引起建筑物的有害振動；對于水輪機而言，脈動壓力最大的負波峰則增加了發生空化的可能性。

實驗研究表明，湍流帶有旋渦流動結構，這就是所謂的湍流渦（簡稱渦）。從物理結構上看，可以把湍流看成是由各種不同尺度的渦疊合而成的流動，這些渦的大小及旋轉軸的方向分布是隨機的。大尺度的渦主要由流動的邊界條件所決定，其尺寸可以與流場的大小相比擬，它主要受慣性影響而存在，是引起低頻脈動的原因；小尺度的渦主要是由黏性力所決定，其尺寸可能只有流場尺度的千分之一的量級，是引起高頻脈動的原因。大尺度的渦破裂后形成小尺度的渦，較小尺度的渦破裂后形成更小尺度的渦。在充分發展的湍流區域內，流體渦的尺寸可在相當寬的范圍內連續變化。大尺度的渦不斷地從主流獲得能量，通過渦間的相互作用，能量逐漸向小尺寸的渦傳遞。最后由于流體黏性的作用，小尺度的渦不斷消失，機械能就轉化（或稱耗散）為流體的熱能。同時由于邊界的作用、擾動及速度梯度的作用，新的渦旋又不斷產生，這就構成了湍流運動。流體內不同尺度的渦的隨機運動造成了湍流的一個重要特點——物理量的脈動（圖3.1）。

3.1.2　湍流的基本方程

一般認為，無論湍流運動多么復雜，非穩態的連續方程和N-S方程對于湍流的瞬時運動仍然是適用的。在此，考慮不可壓流動，使用笛卡爾坐標系，速度矢量u在x、y和z方向的分量為u、v和w，可以寫出湍流瞬時控制方程：

　　（3.1）

　　（3.2）

為了考察脈動的影響，目前廣泛采用的方法是時間平均法，即把湍流運動看作由兩種流動疊加而成：一是時間平均流動；二是瞬時脈動流動。這樣，將脈動分離出來，便于處理和進一步的探討。現引入Reynolds平均法，任意變量?的時間平均值（時均值）定義為

　　（3.3）

式中，?的上劃線“-”代表對時間的平均值。

如果用上標“'”代表脈動值，物理量的瞬時值?、時均值及脈動值?'之間有如下關系：

　　（3.4）

采用時均值與脈動值之和代替流動變量的瞬時值，即

　　（3.5）

將式（3.5）代入瞬時狀態下的連續方程式（3.1）和動量方程式（3.2），并對時間取平均，得到湍流時均流動的控制方程：

　　（3.6）

　　（3.7a）

　　（3.7b）

　　（3.7c）

對于其他變量?的輸運方程作類似處理，可得

　　（3.8）

在上述各方程中，假設流體密度為常數，但在實際流動中密度可能是變化的。在此，忽略密度脈動的影響，只考慮平均密度的變化，可以寫出可壓湍流平均流動的控制方程（為方便起見，除脈動值的時均值外，下式中去掉了表示時均值的上劃線符號“-”，如用?來表示）。

（1）連續方程

　　（3.9）

（2）動量方程

　　（3.10）

（3）其他變量的輸運方程

　　（3.11）

式（3.9）是時均形式的連續方程，式（3.10）是時均形式的N-S方程。由于在式（3.3）中采用雷諾（Reynolds）平均法，因此，式（3.10）稱為Reynolds時均N-S方程，又稱為Reynolds方程。式（3.11）是場變量?的時均輸運方程。

為了便于后續分析，現引入張量中的指標符號改寫式（3.9）～式（3.11），則有如下方程：

　　（3.12）

　　（3.13）

　　（3.14）

式（3.12）～式（3.14）就是用張量的指標形式表示的時均連續方程、Reynolds方程和場變量?的時均輸運方程。式中i和j的指標取值范圍是（1，2，3）。

式（3.13）里多出與有關的項為Reynolds應力項，即

　　（3.15）

式中，τ_ij實際對應6個不同的Reynolds應力項，即3個正應力和3個切應力。

由式（3.12）～式（3.14）構成的方程組共有5個方程（Reynolds方程實際是3個），在新增了6個Reynolds應力，再加上原來的5個時均未知量（u_x、u_y、u_z、p和?），共有11個未知量，因此，方程組不封閉，必須引入新的湍流模型（方程）才能使方程組式（3.12）～式（3.14）封閉。