3.2 貝葉斯網絡

3.2.1 貝葉斯網絡的數學模型

貝葉斯網絡又稱為信念網絡，由〈V，E，Θ〉三部分組成。其中〈V，E〉表示有向無環圖（Directed Acyclic Graph，DAG）。V是網絡中節點的集合，是為有限的非空集合；E是網絡中有向邊（或弧）的集合，是由V中的不同元素的有序對構成的集合。如果一個有向圖無法從某個節點出發，經過若干條邊后仍能夠回到該節點，則稱這個有向圖為有向無環圖。若存在有向邊從節點Y指向節點X，則Y被稱為是X的父節點；與此相應的，X被稱為是Y的子節點。X的父節點集用pa（X）表示，子節點集用de（X）表示，而非后代節點集則用nd（X）表示。

定義3.1（條件獨立） 假設概率空間（Ω，P），A、B和C是定義在Ω上的隨機變量子集。若滿足P（A|B，C）=P（A|C），則稱A和B關于C條件獨立，記作I_P（A，B|C）。

定義3.2（馬爾可夫條件） 假設有向無環圖G=〈V，E〉，且V的聯合概率分布為P（V）。對任意的X∈V，在X的父節點集pa（X）已知的情況下，如果X獨立于其非后代節點集nd（X），即I_P（X，nd（X）|pa（X）），則稱G=〈V，E〉符合馬爾可夫條件。

貝葉斯網絡同樣滿足馬爾可夫條件，它也是對聯合概率分布進行圖形化的描述，目的是為了降低表述聯合概率分布以及推理的復雜性。貝葉斯網絡的定義如下：

定義3.3（貝葉斯網絡） 假設貝葉斯網絡中的節點集為V={V₁，V₂，…，V_n}，則貝葉斯網絡?可以表示為二元組?=（G，Θ）。其中，G=〈V，E〉表示節點關系的有向無環圖，稱之為貝葉斯網絡結構；Θ={θ₁，θ₂，…，θ_n}表示每個節點V_i在它的父節點集pa（X）的條件下的條件概率，稱之為貝葉斯網絡參數。

根據馬爾可夫條件可知，在貝葉斯網絡中，每個節點V_i在pa(X)狀態已知的情況下，獨立于nd(X)。根據條件獨立性，可以將P(V)分解為如下的形式：

這種按照有向無環圖對聯合概率進行分解的方式也稱為回歸分解或者鏈式分解，其中的每個元素P（V_i|pa（V_i））都可以被看作是潛在的函數φ（V_i|pa（V_i））。

圖3.2中給出了包含5個節點的簡單貝葉斯網絡模型，其中假定用“0”表示事件未發生，“1”表示事件發生。節點A（冬天）只有子節點B（噴水器）和C（下雨），并無父節點，這種只有子節點而無父節點的節點也被稱為根節點。相反，節點D（濕草地）及節點E（濕滑路面）則只有父節點而無子節點，這樣的節點被稱葉節點。

圖3.2中各個節點的分布律如下：

根據式（3.9）可知，該圖3.2中5個節點的聯合概率分布可以表示為

這樣可以結合貝葉斯網絡參數求解出聯合概率分布。