3.4 液體微團的運動分析

液體微團和液體質點是兩個不同的概念。根據連續介質模型可知，液體是由無數連續分布的液體質點組成，液體質點宏觀尺寸非常小，是可以忽略尺度效應的最小單元。而大量連續分布的液體質點組成液體微團，液體微團具有尺度效應，即可產生多種運動形式。液體微團運動遠比剛體復雜，它除了與剛體一樣有平移和轉動外，還有變形運動（包括線變形和角變形）。也就是說，液體微團具有平移、線變形、角變形和旋轉4種基本運動形式。

本節研究液體微團的速度分解和液體微團運動組成，為后續有勢流動和有旋流動的分析與研究打下基礎。

3.4.1 亥姆霍茲速度分解定理

設某瞬時t，在液體內任取一液體微團，在微團中任取空間點M（x，y，z），在t瞬時M點處的速度為u，它的3個速度分量分別為ux、uy、uz。在微團中M點鄰域內另取空間點M′，M′點的坐標可表示為x+dx、y+dy、z+dz，速度設為u′，3個速度分量分別為，則均可按泰勒級數展開，并略去高階無窮小，表示為

為進一步研究液體質點的運動形式，將式（3.21）的各分式分別加減相同項，整理得：

簡寫為

式（3.22）和式（3.23）稱為亥姆霍茲速度分解定理。

式（3.23）3個分式右邊第一項ux、uy、uz稱為平移速度；第二項為液體線變形運動引起的速度增量，εxx、εyy、εzz稱為線變形速度，其中

第三項括號內為液體角變形運動引起的速度增量，εxy、εxz、εyz、εyx、εzx、εzy稱為角變形速度，其中

第四項括號內為液體旋轉運動引起的速度增量，ωx、ωy、ωz稱為旋轉角速度，其中

通過上述亥姆霍茲速度分解定理，我們可以很容易地分析出液體運動到底是哪一種運動形式或者是哪幾種運動形式的組合。

3.4.2 液體微團各項速度的意義

為清楚地說明問題，下面以較簡單的液體微團平面流動為例，說明式（3.23）中各項速度的意義。在流場中任取矩形液體微團ABCD，設A點（相當于前述的M點）的兩個速度分量分別為ux、uy，對于平面流動，因εzz=εyz=εzy=εzx=εxz=ωx=ωy=0，則它鄰域內任一點（如B、C、D點，相當于前述的M′點）的兩個速度分量根據式（3.23）可簡化為

建立xOy坐標系，矩形液體微團ABCD各邊與相應坐標軸平行。下面分析該液體微團的某項速度的意義時，是假設其他運動不存在的情況下分析的。

1.平移運動

討論平移，可先假設線變形、角變形和旋轉3種運動不存在，即εxx=εxy=εyx=εyy=ωz=0。設基點A點速度為ux、uy，A點鄰域內B、C、D點的速度均可表示為，由式 （3.27）可知，，即A、B、C、D各點的速度相同，都是ux、uy，實際上微團各點速度均為ux、uy。

如圖3.17（a）所示，經過dt時段，矩形液體微團ABCD平移到A′B′C′D′，液體質點在x、y方向平移的位移分別為x=uxdt，y=uydt，由分析可知，矩形液體微團平移運動僅僅是在xOy平面上從一個位置移到另一個位置，大小、形狀均未發生改變。

同理，對于三維流場，液體質點在x、y、z方向平移的位移分別為x=uxdt，y=uydt，z=uzdt。液體微團在三維空間中從一個位置平移到另一個位置，大小、形狀也不發生改變。

2.線變形運動

同理，討論線變形，假設平移、角變形和旋轉3種運動不存在，即ux=uy=εxy=εyx=ωz=0。設基點A點速度為ux=0、uy=0，由式 （3.27）可知，A點鄰域內任一點的速度可表示為。由于與dx、dy有關，所以B、C、D各點的速度要具體計算。由計算可得

B點速度：。

C點速度：。

D點速度：。

如圖3.17（b）所示，經過dt時段，因A點速度為0，故A處液體質點保持不動；B點處液體質點沿x方向向右移動位移=εxxdxdt，即矩形液體微團ABCD的AB邊沿x方向伸長εxxdxdt；若不考慮液體的膨脹性，則D點處液體質點沿y方向向下移動位移=εyydydt，即矩形液體微團ABCD的AD邊沿y方向縮短εyydydt；C點處液體質點沿x方向向右移動位移εxxdxdt的同時沿y方向向下移動位移εyydydt。由分析可知，經過dt時段，矩形液體微團ABCD變形為AB′C′D′，我們將液體微團的這種伸縮變形運動稱為液體線變形運動。

其中，是單位時間液體微團x方向的相對線變形量，稱為x方向的線變形速度。同理，是液體微團在y、z方向的線變形速度。

3.角變形運動

討論角變形運動，假設平移、線變形和旋轉3種運動均不存在，即ux=uy=εxx=εyy=ωz=0。同樣，設基點A點速度為（0，0），由式（3.27）可知，A點鄰域內任一點的速度可表示為。則由計算可得

B點速度：。

C點速度：。

D點速度：。

如圖3.17（c）所示，經過dt時段，A點處質點不動；設εxy=εyx＞0，則B點處質點沿y方向向上移動位移εyxdxdt；D點處質點沿x方向向右移動位移εxydydt；C點處質點向右移動位移εxydydt的同時向上移動位移εyxdxdt。在dt時段內，AB邊向上轉動微小角度dα，AD邊向右轉動微小角度dβ。由幾何關系可知：

因εxy=εyx，所以dα=dβ，AB邊和AD邊相向而轉，由矩形液體微團ABCD變形為平行四邊形AB′C′D′，我們將液體微團的這種變形稱為液體角變形運動。

εxy=εyx=是液體微團在xOy平面上的角變形速度。同理，εyz=εzy=則分別是微團在yOz、zOx平面上的角變形速度。

4.旋轉運動

討論旋轉運動，假設平移、線變形和角變形3種運動均不存在，即ux=uy=εxx=εyy=εxy=εyx=0。A點速度仍為（0，0），由式（3.27）可知，A點鄰域內任一點的速度可表示為。則由計算可得

B點速度：。

C點速度：。

D點速度：。

如圖3.17（d）所示，A點處質點不動；設ωz＞0，則B點處液體質點沿y方向向上移動位移ωzdxdt；D點處質點沿x方向向左移動位移ωzdydt；C點處質點向左移動位移ωzdydt的同時向上移動位移ωzdxdt。在dt時段內，AB邊向上轉動微小角度dα，AD邊向左轉動微小角度dβ。由幾何關系可知：

由此得dα=dβ，AB邊和AD邊以相同的角速度ωz繞A點同向旋轉，即液體微團以ωz角速度逆時針繞A點旋轉。我們將液體微團的這種運動稱為液體的旋轉運動。

ωz=是液體微團繞平行于Oz軸的基點軸的旋轉角速度。同理，ωx=是微團繞平行于Ox、Oy軸的基點軸的旋轉角速度。

由以上分析，說明了亥姆霍茲速度分解定理的物理意義，將液體微團運動分解為平移、線變形、角變形和旋轉運動4種形式，并描述其各自的運動特征。

根據液體微團自身是否旋轉，將流體運動分為無旋流動和有旋流動兩種類型。由于兩類流動的規律性和計算方法不同，后面章節將對無旋流動和有旋流動分別展開討論。

【例3.4】 已知水平等直徑圓管中的恒定均勻層流，速度分布如下：

其中：r0為圓管直徑，J為水力坡度，υ為運動黏度。

試分析：（1）液體質點的變形情況；（2）液流是否作有旋流動。

解：（1）液體質點的變形情況。

1)液體質點的線變形率：

因此，液體質點不發生線變形。

2)液體質點的角變形率：

因此，液體質點發生角變形。

（2）液流是否作有旋流動。

因此，液流為有旋流動。