2.7 作用于曲面壁上的靜水總壓力

在實際工程中常遇到受壓面為曲面的情況，如拱壩壩面、弧形閘墩或邊墩、弧形閘門等。這些曲面多數為二向曲面 （也稱柱面），即具有水平或鉛垂主軸的圓柱形曲面。本節重點討論作用在二向曲面上的靜水總壓力的計算。如圖2.17所示，ab為一承受液體壓力的柱面，其面積為A。液面為通大氣的自由液面，其相對壓強為零。在曲面上任取一微元面積dA，其淹沒深度為h，則液體作用在微元面積dA上的壓力dP為

dP=ρghdA

由于曲面上不同水深處的壓力方向不同，因此，求總壓力時不能直接在曲面上積分，需要將dP分解為水平方向和垂直方向的兩個分量dPx、dPz，然后分別在整個曲面上積分，得到Px、Pz。

2.7.1 靜水總壓力的水平分力和鉛垂分力

1.水平分力Px的計算

Px=∫AdPx=∫AdPcosα=∫AρghdAcosα=ρg∫AhdAx

式中 Ax——面積A在yOz面上的投影；

∫AhdAx——面積Ax對y軸的靜矩，即∫AhdAx=hCAx。

因此，有

式(2.35)說明作用在曲面壁上靜水總壓力的水平分力Px等于液體作用在曲面的投影面Ax上的總壓力。水平分力可用2.6節作用在平面上的總壓力計算，其壓力中心位置的確定也如前所述。

2.垂直分力Pz的計算

Pz=∫AdPz=∫AdPsinα=∫AρghdAsinα=ρg∫AhdAz

式中 Az——面積A在自由液面xOy或其延伸面上的投影；

∫AhdAz——以曲面ab為底、投影面Az為頂以及曲面周邊各點向上投影的所有垂直母線所圍成的一個空間體積，稱為壓力體。用V表示其體積，則

式（2.36）表明，作用在曲面上總壓力的垂直分力等于壓力體的液重，它的作用線通過壓力體的重心。如果壓力體與液體位于受壓面同側，稱為實壓力體，垂直分力向下，如圖2.18（a）所示；如果壓力體與液體位于受壓面異側，稱為虛壓力體，垂直分力向上，如圖2.18（b）所示。

壓力體只是作為計算曲面壁上垂直壓力的一個數值當量，它不一定是由實際水體所構成。一般來講，壓力體應由下列周界面所圍成：①受壓曲面本身；②液面［圖2.18（a）］或液面的延長面［圖2.18（b）］；③通過曲面的4個邊緣向液面或液面的延長面所作的鉛錘平面。

2.7.2 靜水總壓力的大小、方向、作用點

由二力合成定理，曲面所受靜水總壓力P的大小為

總壓力作用線與水平方向的夾角α為

同時總壓力P的作用線必通過Px、Pz作用線的交點，但這個交點不一定在曲面上。

【例2.4】 一壩頂圓柱形閘門AB半徑為R，門寬b，閘門可繞圓弧圓心O轉動。求水面與O點在同一高程H時全關閉閘門所受靜水總壓力（圖2.19）。

解：水作用于圓弧閘門的水平分力為

Px=ρg（H/2）Hb=ρgH2b/2

由于壓力體ABC為虛壓力體，因而靜水作用于閘門表面的垂直分力方向向上，大小應為ABC中假想充滿水時水的重量，即

上式中： α=arcsin（H/R）（弧度）

總壓力P的大小及它與水平方向的夾角可由式（2.37）和式（2.38）計算。

由于靜水作用于圓柱閘門表面每點處的壓強都通過圓心O，因而壓力作用線也通過O點。

【例2.5】 如圖2.20所示圓柱形壓力罐，半徑R=0.5m，長l=2m，壓力表度數pm=23.72kPa。試求：（1）端部平面蓋板所受的水壓力；（2）上、下半圓筒所受水壓力；（3）連接螺栓所受的總拉力T。

解：（1）端蓋板所受的力。用靜水作用在平面上的總壓力公式計算

P=pcA=（pm+ρgR）πR2=（23.72+9.8×0.5）×3.14×0.52=22.47（kN）

（2）上、下半圓筒所受水壓力。上、下半圓筒所受水壓力只有垂直分力，上半圓筒壓力體如圖2.18（c）所示。

下半圓筒

（3）連接螺栓所受的總拉力。由上半圓筒計算

T=Pz上=49.54kN