2.5 重力和慣性力同時作用下液體的相對平衡

如果液體相對于地球在運動，但相對于容器仍保持靜止（各液體質(zhì)點間及液體與器皿間無相對運動），這種狀態(tài)稱為相對平衡。在這種狀態(tài)下，由于液體內(nèi)部各質(zhì)點之間及液體與容器邊界之間均不存在相對運動，當把坐標系選取在容器上時，則液體相對于所取的坐標系而言，也處于靜止狀態(tài)。例如，相對于地面作等速直線運動、等加速直線運動或等角速旋轉(zhuǎn)運動的容器中的液體，在運動容器經(jīng)歷一定的時間之后，便可看到這種相對平衡狀態(tài)。

研究這類處于相對平衡狀態(tài)下的液體中的壓強分布規(guī)律，即可根據(jù)理論力學中的達朗貝爾原理，把坐標系取在運動的容器上，將運動問題作為靜止問題來處理。此時，質(zhì)量力除重力外，還有慣性力，可用液體的平衡微分方程來分析相對平衡問題。

液體的相對平衡狀態(tài)有很多種形式，現(xiàn)僅以繞中心軸作等角速度旋轉(zhuǎn)的圓柱形容器中的液體為例進行分析。

如圖2.10所示，盛有液體的一半徑為R的圓柱形容器繞其垂直軸心線以恒定角速度ω旋轉(zhuǎn)，由于液體的黏性，液體在容器壁的帶動下，最終也以同一角速度旋轉(zhuǎn)，液體的自由表面也由原來靜止時的水平面變成一個漏斗狀的旋轉(zhuǎn)拋物面，處于平衡狀態(tài)。自由表面各點作用有氣體壓強p0。建立如下直角坐標系：坐標原點位于圓筒軸心線與液面交點上，z軸與圓筒軸心線重合，正向向上，xOy平面為一水平面，如圖2.10所示。

在液體中劃分一單位質(zhì)量液體塊，它到z軸垂直距離為r，顯然r=。這一液體塊隨容器作等角速度圓周運動，其運動軌跡為一個與z軸垂直的圓，圓心在z軸上。根據(jù)達朗貝爾原理，對具有加速度的運動物體進行受力分析時，若加上一個與加速度相反的慣性力，則作用在物體上的所有外力 （包括慣性力），應保持平衡。所以，作用在上述液體塊上的質(zhì)量力應包括重力及離心慣性力 （其大小為F=ω2r）。液體塊所受重力大小為g，方向鉛垂向下。因而液體塊在各坐標軸方向上的單位質(zhì)量力分量為

fx=ω2rcosθ=ω2x

fy=ω2rsinθ=ω2y

fz=-g

將以上單位質(zhì)量力代入液體平衡微分方程式（2.4），得到：

從而有

式（2.15）中的積分常數(shù)C用邊界條件確定后即可得到液體中的壓強分布。

邊界條件即：r=0，z=0處p=p0，代入式（2.15）得到C=p0，由此得到液體內(nèi)壓強隨r和z的變化規(guī)律：

液體內(nèi)等壓面方程可以由上式導出：給定一壓強值p1（p1>p0），得到等壓面方程：

這是一個拋物面。

液體表面各點壓強為常數(shù)p0，因而自由表面為一等壓面，將p1=p0代入式(2.17)，得到自由表面方程：

式(2.18)中，z0表示自由表面上任一點的z坐標，也就是自由表面上的點比拋物面頂點所高出的鉛直距離，稱為超高。用R表示容器的內(nèi)半徑，則液面的最大超高為

在xOy坐標平面以上的回轉(zhuǎn)拋物體內(nèi)的液體的體積為

上式說明圓筒形容器中的回轉(zhuǎn)拋物體的體積恰好是高度為最大超高的圓柱體體積的一半。這個結論非常重要。

將式（2.18）代入式（2.16），液體內(nèi)部壓強的分布可表示為

式中 h——某點距離自由表面的高度，稱為該點的淹沒深度。

式(2.21)表明相對平衡狀態(tài)的壓強分布依然可用重力場中靜壓強基本計算公式進行求解。同時，應該注意在同一水平面內(nèi)壓強分布有顯著區(qū)別：絕對靜止液體在水平面內(nèi)壓強相等，而繞鉛直軸作等角速度旋轉(zhuǎn)運動的液體，壓強隨半徑r變化，軸心處壓強最低，邊緣的壓強最高。工程中的許多設備就是依據(jù)等角速度旋轉(zhuǎn)運動液體壓強分布特點進行設計的。

上述關系式是在液面敞開和坐標系原點建立在自由表面中心點導出的，應注意使用條件。坐標原點的另一種取法是選擇容器底面與轉(zhuǎn)軸的交點，應注意積分常數(shù)C的確定，如下例。

【例2.2】 一高H、半徑為R的有蓋圓筒內(nèi)盛滿密度為ρ的水，圓筒及水體繞容器鉛垂軸心線以等角速度ω旋轉(zhuǎn)，如圖2.11所示。求由水體自重和旋轉(zhuǎn)作用下，上蓋和下蓋內(nèi)表面的壓強(上蓋中心處有一小孔通大氣)。

解：將直角坐標原點置于下蓋板內(nèi)表面與容器軸心線交點，z軸與容器軸心線重合，正向向上。在r=0，z=H處水與大氣接觸，相對壓強p為0，方程式（2.15）中積分常數(shù)C=ρgH，因此容器內(nèi)相對壓強p分布為

相對壓強是不計大氣壓強，僅由水體自重和旋轉(zhuǎn)引起的壓強。在下蓋內(nèi)表面上z=0，從而相對壓強只與半徑r有關：

可見下蓋內(nèi)表面所受壓力由兩部分構成：第一部分來源于水體的旋轉(zhuǎn)角速度ω，第二部分正好等于筒中水體重力。當z=H時，由式（2.21）得到上蓋內(nèi)表面的壓強分布為

由式（2.24）可見，軸心處壓強最低，邊緣壓強最高，壓強與ω2成正比，ω越大，邊緣壓強也越大。離心鑄造機就是利用這個原理。

盛滿液體的容器，蓋板上開孔的位置不同會造成壓強分布的差異。現(xiàn)分析上題中，在上蓋邊緣開孔的壓強分布情況。容器選擇后，液體未溢出，坐標原點依然取在下蓋內(nèi)表面上，在r=R、z=H處水與大氣接觸，相對壓強p為0，方程式 （2.14）中積分常數(shù)C=，因此得到容器內(nèi)壓強分布為

下蓋內(nèi)表面（z=0）的壓強分布為

上蓋內(nèi)表面（z=H）的壓強分布為

由式（2.27）可知，上蓋內(nèi)表面處液體處于真空狀態(tài)，中心壓強最小，邊緣壓強最大。離心式泵和風機就是利用該原理，使流體不斷從葉輪中心吸入。