2.3 重力作用下靜水壓強的分布規律

在實際工程中，作用于平衡液體上的質量力常常只有重力，此時的平衡液體即所謂靜止液體。這一節將討論靜止液體的壓強分布規律。

2.3.1 水靜力學基本方程

取z軸正向鉛垂向上，在不可壓縮靜止液體中建立右手直角坐標系Oxyz。如圖2.3所示，質量力只有重力，此時，單位質量力在3個坐標軸上投影分別為

fx=0，fy=0，fz=-g

將它們代入液體的平衡微分方程式 （2.4），得到。這里和表明，靜止液體中壓強p不隨x、y坐標變化，p只是z坐標的函數，故-ρg式可寫成：

對不可壓縮均質液體，密度ρ是常數，積分上式可得

在靜止液體內任取兩點，這兩點到Oxy水平面的距離分別為z1、z2，壓強分別為p1和p2，由式（2.8a）、式（2.8b）得到：

式（2.8）、式（2.9）即為重力作用下水靜力學基本方程。

2.3.2 水靜力學基本方程的意義

1.水靜力學基本方程的物理意義

式（2.8a）、式（2.9a）中的z是指單位重量液體對基準平面的位能，簡稱單位位能；p/（ρg）是指單位重量液體所具有的壓能，簡稱單位壓能。圖2.3容器中盛有均質液體，容器壁1、2點處各接一測壓管，玻管中液體上升的高度分別為p1/（ρg）、p2/（ρg）。單位位能z和單位壓能p/（ρg）之和稱為單位總勢能，這兩者之和等于常數。水靜力學基本方程的物理意義是指單位重量靜止液體的總勢能相等，這是能量守恒定律在靜止液體中能量特性的表現。

2.水靜力學基本方程的幾何意義

上述方程式中的z和p/ρg都具有長度量綱，z表示某點到基準平面的垂直高度，稱為位置水頭；p/（ρg）稱為壓強水頭，z和p/（ρg）之和稱為測壓管水頭（在水力學中，把任一點的測壓管高度與該點在基準面以上的位置之和稱為測壓管水頭）或靜水頭。水靜力學基本方程的幾何意義表明靜止液體中各點的測壓管水頭相等，測壓管水頭線為一水平線。

在方程式（2.9a）中，將其中一點取在液面上，這里液面壓強用p0表示，液面下h處的壓強為p，計算位能的水平基準面通過第2點，即z2=0，z1=h，代入式（2.9a）可得

式中 h——該點在液面以下的淹沒深度，簡稱淹深，h=z0-z。

式（2.10）即為重力作用下計算靜水壓強的基本公式，它表明靜止均質液體內任一點處的壓強由兩部分組成：①自由面上“傳遞”來的壓強p0（當自由面與大氣相通時，p0=pa，pa為當地大氣壓強），它遵從帕斯卡原理等值地傳遞到液體內部各點；②ρgh，相當于單位面積上高度為h的液柱重量。另外，式（2.10）也表明，在靜止液體中，靜水壓強隨深度呈線性規律增加，即位置較低點的壓強恒大于位置較高點的壓強，說明水越深，其靜水壓強越大，當已知某點的靜水壓強值及其位置高度時，便可求得液體內其他點的靜水壓強。

由式（2.10）可以看出，淹沒深度相等的各點靜水壓強值相等，故水平面就是等壓面。但須注意，這一結論只適用于質量力只有重力的同一種連續介質。

2.3.3 絕對壓強、相對壓強、真空壓強

地球表面大氣對浸在它里面的物體所產生的壓強稱為大氣壓強。海拔高度不同，大氣壓強也會有所不同。一個標準大氣壓約為101.325kPa，在實際計算中，不同情況下采用不同的基準來度量壓強，即絕對壓強和相對壓強。

以絕對真空狀態為基準計算的壓強稱為絕對壓強，用pabs表示。絕對壓強反映液體分子運動的物理本質，在物理學、熱力學、航空氣體動力學上多采用絕對壓強為計算標準。

以當地大氣壓強為基準計算的壓強稱為相對壓強，用p表示。在大多數壓強儀表中，內外腔所受大氣壓強相抵消，測出的壓強是相對壓強。

絕對壓強和相對壓強，是按兩種不同的基準計算的，它們之間相差一個當地大氣壓強pa值，即

絕對壓強pabs總是正值，而相對壓強p可正可負。但在表示壓強時一般不希望出現負值，所以相對壓強的表示有兩種形式：

（1）當某點處的絕對壓強高于當地大氣壓pa時，該點的相對壓強p即為

p=pabs-pa

p又稱為表壓強，恒正。

（2）當某點的絕對壓強低于當地大氣壓pa時，即相對壓強為負值，則稱該點存在真空。真空的大小常用真空壓強值pv或真空度hv=pv/（ρg）表示，即

可見，有真空存在的點，其相對壓強與真空壓強的絕對值相等，相對壓強為負值，真空度為正值，故真空也稱負壓。pv值越大，表明這點處的真空狀態越顯著。

上述絕對壓強、相對壓強和真空度3者的關系如圖2.4所示。在實際工程中廣泛采用相對壓強，在討論問題中，如不加說明，壓強均指相對壓強。

當地大氣壓隨地區、季節和氣候的變化有所不同。壓強的單位在國際單位制中為帕Pa（1Pa=1N/m2）。在工程上還經常用液柱高度作為壓強的單位，常用的液柱高度有米水柱（mH2O）和毫米汞柱（mmHg）。

2.3.4 靜水壓強分布圖

靜水壓強分布圖即用幾何圖形來直觀描述靜水壓強分布規律的圖示。根據前述水靜力學基本方程式p=p0+ρgh，在液體內部各方向都有壓強，且同一深度處各方向上壓強值相等。選取一定比例，用線段長度來表示點壓強的大小，以箭頭表示點壓強的作用方向，繪出作用在受壓面上各點的壓強方向及其大小。

由于實際工程應用中研究對象一般都處在大氣中，各個方向的大氣壓力將互相抵消，所以靜水壓強分布圖一般也只繪出相對壓強值。由方程式p=p0+ρgh知，作用在平面上的靜水壓強分布圖呈直線分布，因此，只要確定直線上兩個點的壓強，就可確定該壓強分布直線。

如圖2.5所示為幾種不同邊壁情況下靜水壓強的分布圖。根據矩形受壓面的靜水壓強分布圖在液體中的位置不同，其靜水壓強分布情況可以分為3種：直角三角形分布、直角梯形分布和矩形分布。當受壓面上邊緣恰在水面處、下邊緣在水面以下時，不論受壓面是垂直安放還是傾斜安放，其壓強分布圖均為三角形；當受壓面上、下邊緣都在水面以下且上邊緣高于下邊緣時，其分布圖為梯形；當受壓面上、下邊緣都在水面下，且水平放置時，其壓強分布圖為矩形。受壓邊壁較為復雜的情況，其靜水壓強分布圖則是這3種情況的組合。