緒言

0.1　數(shù)值計算方法概述

0.1.1　數(shù)值計算的重要意義

17世紀是數(shù)學發(fā)展史上一個劃時代的時期，當我們今天享受著高科技成果所帶來的各種便利條件時，應該意識到笛卡爾（Descartes，1596—1650）和牛頓（Newton，1642—1727）這兩位卓越先驅人物所作出的具有劃時代意義的貢獻。

首先，笛卡爾創(chuàng)立了平面解析幾何，使我們能夠用數(shù)學形式描述動態(tài)變化著的客觀對象，接下來牛頓和萊布尼茲（Leibniz）等人創(chuàng)立了微積分學，為我們研究連續(xù)變量的變化規(guī)律給出了完整的方法體系。隨后，又在這個基礎上產(chǎn)生了更多的數(shù)學分支以及相關的一些交叉學科分支。

由于數(shù)學研究的范圍在不斷擴大，而且研究的對象更為復雜，一個伴隨的問題就是相應的數(shù)值計算更加困難。如果不解決與理論方法平行的數(shù)值計算問題，再好的數(shù)學理論也難以發(fā)揮應有的作用。

［例0.1］　解線性方程組Ax＝b，x∈Rn，A為n階可逆方陣，用著名的Crammer法則求解，行列式的計算按原始的方法計算，假設計算機每秒可算1億次乘法運算，我們來估計機器所花的時間。

Cramer法則告訴我們線性代數(shù)方程組有解的充分必要條件以及如何求解。

計算一個行列式所需要的乘法數(shù)共n！項，每項n個數(shù)相乘，故共需n！（n－1）次乘法；完成計算的乘法數(shù)共n＋1個行列式，故共需（n2－1）n！次乘法。

行列式：將每一行、每一列在每一次都取一個數(shù)相乘，得到的結果再相加。

當n＝10時，需要3592561200（次）≈3.59251（s）

當n＝100時，需9.33169×10161（次）≈9.33169×10153（s）≈2.95906×10146（年）

因此，當n較大時，采用該方法進行計算是不可行的。

這表示在相應的計算機生產(chǎn)工藝條件下，一個好的數(shù)學方法（公式）未必是一個有效的計算方法。而方法的有效性將直接影響到計算的效率，我們的任務就是要構造有效的數(shù)值計算方法。

［例0.2］　設多項式為p（x）＝（x－2）9，我們來計算其在區(qū)間［1.92，2.08］上的值。

令：p（x）＝（x－2）9

q（x）＝x9－18x8＋144x7－672x6＋2016x5－4032x4＋5376x3－4608x2＋2304x－512

圖0.1.1分別展示了兩個算式的不同計算機模擬結果，由此可見：即使數(shù)學上的恒等公式，用計算機來計算，結果也是不一樣的。

科學的計算方法與實驗理論相輔相成，已成為第三種科學方法，而不僅僅是數(shù)學或計算機學科的一個部分。數(shù)值計算的重要性表現(xiàn)在兩方面：一方面促進了計算方法的研究，另一方面也促進了計算工具的發(fā)展。隨著20世紀40年代中期人類第一臺電子數(shù)字計算機的問世，數(shù)值計算終于有了理想的支撐工具。

堅實的數(shù)學理論、科學的計算方法以及先進的計算工具的有機結合，為我們打造了一個無比堅實的工作平臺。完全可以這么講，今天幾乎所有的高科技成果都是在這個平臺上產(chǎn)生的。正是因為有了這樣一個平臺，使得我們這個時代的科學技術能夠飛速發(fā)展。

0.1.2　數(shù)值計算方法的涵義

數(shù)值計算方法，過去有不少人稱之為數(shù)值分析，現(xiàn)在更多的人稱之為科學計算，其核心思想就是通過有限步的加、減、乘、除四則運算得到某個連續(xù)變量的近似值。追根溯源，它是微積分學孕育出來的一個數(shù)學分支。

0.1.3　數(shù)值計算的理論基礎

極限理論和泰勒級數(shù)展開式為近似計算提供了理論基礎。

（1）極限理論。

如果一個無限序列｛xn｝收斂于某個極限值x*，那么可用這個序列中的某個元素xN作為x*的近似值。只要序號N取得足夠大，那么xN與x*的差值｜xN－x*｜就不會超過某個預先給定的充分小的正數(shù)ε。

（2）泰勒級數(shù)展開式。

若函數(shù)f（x）在x0的某一鄰域內(nèi)具有直到（n＋1）階的導數(shù)，則在該鄰域內(nèi)f（x）的n階泰勒公式為

它可以把某個充分光滑的實函數(shù)f（x）表示為一個項數(shù)為無限多的多項式，再利用極限理論，用這個多項式的前n項（n足夠大）近似表示f（x）（所得的誤差足夠小，滿足精度要求），從而可以通過有限步四則運算得到f（x）的近似值。