2.1 葉片泵的基本方程

2.1.1 液體在葉輪內的流動

2.1.1.1 葉輪流道投影圖及主要尺寸

葉片泵葉輪的葉片表面一般是空間曲面，為了研究流體質點在葉輪中的運動，必須用適當的方法描述葉輪流道的空間形狀。由于葉輪是繞定軸旋轉的，故用圓柱坐標系描述比較方便，取z軸與葉輪軸線重合，r沿半徑方向，θ則為圓周方向 （圖2.1）。

圖2.1 圓柱坐標系中速度矢量及分解

工程上都是用圖形來表示葉輪和葉片的形狀。為了與圓柱坐標系相適應，常用 “軸面投影圖”和 “平面投影圖”來確定葉輪和葉片的形狀。平面投影圖的作法與一般機械圖的作法相同，是將葉輪流道投影到與轉軸垂直的平面 （也稱為徑向面）上而得。所謂軸面 （也稱子午面），是指通過葉輪軸線的平面。軸面投影圖的作法不同于一般投影圖的作法，它是將葉輪流道的每一點繞軸線旋轉一定角度 （圓弧投影）到同一軸面而成。

圖2.2給出了離心式和軸流式葉輪的兩種投影圖，圖中不僅反映了葉輪流道的總體和特征形狀，還標出了相關的重要尺寸。圖2.2（a）中給出了葉輪和葉片的特征直徑D，葉槽的寬度b和反映葉片位置和形狀的包角φ，安放角βe。圖2.2 （b）中給出了葉輪 （輪緣）直徑D （Dt），輪轂的直徑dh，葉片的平面包角φ以及葉片在輪緣、輪轂處的軸面投影高度ht、hh。所謂葉片的安放角βe是指葉片上任意一點沿葉片骨線 （葉片法向縱斷面內切圓圓心的連線）順流方向和該點圓周切線逆葉輪旋轉方向之間的夾角。實踐中，習慣于用腳標0代表葉輪的進口，腳標1代表葉片的進口邊，腳標2代表葉片 （葉輪）出口邊。

葉輪內的流線是空間曲線，若假定流動是理想軸對稱的，則空間流線繞軸旋轉一周所形成的回轉面即為流面。該回轉面與軸面的交線也就是葉輪內空間流線的軸面投影，稱為軸面流線 （圖2.3）。

圖2.2 離心泵、軸流泵葉輪流道軸面、平面投影圖

（a）離心泵；（b）軸流泵

圖2.3 空間流線與空間流面

1—空間流面；2—空間流線；

3—軸面流線

圖2.4 混流泵空間流面展開

圖2.5 直列葉柵的幾何參數

在離心泵葉輪中，上述流面近似稱為一個平面，其展開圖形同上述平面投影圖。混流泵葉輪中，該流面是不可展開的，常用一近似的圓錐面代替，而圓錐面則可以展開為如圖2.4所示的平面環列葉柵。在軸流泵葉輪中，它近似成為一個圓柱面，展開后可以成為一個平面直列葉柵 （圖2.5）。

如圖2.5所示軸流泵的流面展開圖是一個減速增壓的直列葉柵，柵中安放有翼型 （葉片）。其中各翼型對應點的連線為葉柵列線，柵軸與葉柵列線垂直。葉柵中兩相鄰翼型對應點的距離為柵距t，在半徑為r的流面上t=2πr/Z（Z為軸流泵的葉片數）。翼型骨線兩端點的連線為翼弦，其長度通常用l表述。翼弦長l與柵距t之比反映柵中翼型的葉柵稠密度 （實度），其倒數為相對柵距t/l。翼弦長l的順流方向與列線的逆旋轉方向之間的夾角為柵中翼型安放角βey。翼型 （葉片）出口安放角βe2與其進口安放角βe1之差為翼型的彎曲角θ。

2.1.1.2 液體在葉輪中的流動

為了分析液體在葉輪內的運動，了解液體與葉輪之間的相互作用和能量轉換的過程，必須了解葉輪流道內液體的運動情況。首先，在水泵正常工作時，液體在葉輪中流動的理想狀態為軸對稱穩定流。其次，液體的流動主要發生在其不同的流面內，流面層間的相互干擾很少。最后，流體在葉槽中的相對運動主要受葉片表面形狀的約束。這里由分析的離心泵葉輪的近似平面內的流動入手。如圖2.6 （a）所示，當葉輪旋轉時，葉輪葉槽中每一液體質點在隨葉輪一起作旋轉運動的同時，還在葉輪產生的離心力作用下，相對于旋轉葉輪作相對運動 [圖2.6 （b）]。如果我們在旋轉的葉輪上建立一個隨葉輪一起旋轉的動坐標系，而在固定不動的泵殼上建立一個靜坐標系。由此，液體質點隨葉輪一起旋轉的運動，稱為牽連運動，其速度稱為牽連速度，又稱圓周速度，用符號表示；液體質點相對于動坐標系——葉輪的運動稱為相對運動，其速度稱為相對速度，用符號表示；液體質點相對于靜坐標系的運動稱為絕對運動，其速度稱為絕對速度，用符號表示，如圖2.6 （c）所示，它等于上述兩種運動速度的矢量和。即

圖2.6 液體在葉槽內的運動

（a）牽連運動；（b）相對運動；（c）絕對運動

2.1.1.3 速度三角形

式 （2.1）可以用速度平行四邊形來表示，如圖2.7 （a）所示，為了簡便，通常用速度三角形代替速度平行四邊形，如圖2.7 （b）所示。圖中α角是絕對速度與圓周速度之間的夾角，稱為液體的絕對流動角；β角是相對速度與圓周速度反方向之間的夾角，稱為液體的相對流動角。速度三角形是研究液體在葉輪內流動過程中能量轉換的重要工具。如圖2.8所示為一般情況下 （如：混流泵）液體質點在葉輪內某空間運動速度的合成與分解。該空間速度三角形平面是和上述相應的空間流面相切的。

圖2.7 葉輪內液體質點流動的速度分解與合成

（a）速度平行四邊形；（b）速度三角形

圖2.8 速度三角形在

葉輪空間的位置

圖2.1給出了在該坐標系下葉輪流場中任意流體質點的運動速度矢量及其在圓周、徑向與軸向三方向上的分量。即

其中圓周分量vu沿圓周方向，與軸面垂直，該分量對葉輪與流體之間的能量轉換有決定性作用。將徑向速度vr和軸向速度vz合成：

該速度在軸面內故稱為軸面速度 （離心泵葉輪的軸面速度中，對于軸流泵葉輪則是，該分量與流量有密切的關系，故一般情況下只研究速度矢量的兩個分量

由于各分量均有正交，故有：

2.1.2 葉片泵的基本方程式及求解

葉片泵基本方程是研究泵性能的理論基礎，它反映了泵性能參數之間的相互關系及其性能參數與幾何參數之間的關系。泵的基本方程是歐拉于1756年首先導出的，所以也稱為歐拉方程。

由于液體在葉輪內運動的復雜性，為了討論方便，基于上述分析先對葉輪構造和液體在葉輪內的運動作如下4點假定：

（1）液體在葉輪的流動為軸對稱穩定流。

（2）葉輪空間流面層間流動無關，軸面流速分布均勻。此假定把一個關于葉輪軸的軸對稱的復雜的三維穩定流動問題簡化為了一個二維面流動的問題。

（3）葉輪中的葉片數為無限多，葉片的厚度為無限薄，即認為液體質點嚴格地沿著葉片骨線規定的流線作相對流動。此假定進一步把一個二維面流動的問題理想化為一個一維流動 （流束）問題。

（4）通過葉輪的液體為理想液體。據此可以不考慮液體的可壓縮性和黏性。歐拉方程的理論基礎是流體力學的動量矩定理：

上式中等式的左邊為控制體流體質點系上所受外力對于某軸的力矩之和。等式的右邊為該控制體流體質點系關于同一軸的動量矩對于時間的變化率。

取如圖2.9所示，根據軸對稱穩定流的假定，取全葉輪葉槽內的流體為控制體。在時間t=0時，該控制體處于相對于葉槽的abcd的位置，經過dt時段后，該控制體運動到了efgh位置。根據理想流體不可壓縮的假定，在dt時段內由葉片進口邊流入葉槽的液體abfe和由葉片出口邊流出的液體dcgh的質量相等，用dm來表示。再由流經葉輪的液流為穩定流可知，dt時段內葉槽的液體efcd關于葉輪軸的動量矩是恒定不變的。因此，控制體的動量矩的變化即為質量為dm的液流動量矩的變化。根據動量矩定理可以得出：

式中：R1、R2分別為葉輪進、出口半徑，m；v1、v2分別為葉片葉輪進、出口處液流的絕對速度，m/s；α1、α2分別為葉片葉輪進、出口處液流的絕對流動角；∑Mo為作用在控制體上的所有外力對葉輪軸的力矩，N·m。

圖2.9 單位時間內流經葉輪的流體的動量矩變化

作用在控制體上的外力矩包括以下各力對葉輪軸的力矩：①葉片正、反兩面作用于控制體液流上的壓力pfront、pback，且葉片正面壓力pfront大于葉片背面壓力pback，在葉輪旋轉時，也正是這個葉片正、反兩面的壓力差，葉輪才能夠將機械能傳給通過葉輪的液流，使液流的能量得到增加；②作用在控制體ab與cd表面的水壓力，它們都沿著徑向或軸向，故對葉輪軸不產生力矩；③控制體液流與輪盤及葉片表面的摩擦力，在理想流體的假定下，這些摩擦力不予考慮；④控制體液流的重力，對于葉輪內全部液流而言，其重力作用線通過葉輪中心，故也不產生力矩。

在等式兩端乘以葉輪的轉動角速度ω后，式 （2.7）變為

式中：R1ω、R2ω分別為葉片進、出口圓周速度u1、u2；∑Moω為葉輪單位時間內對液流所做的功，即水功率Pw=ρgQTHT。

將u1、u2及∑Moω=ρgQTHT代入式 （2.8）后得到：

ρgQTHT=ρQT(vu2u2—vu1u1)

消去等式兩邊的ρQT后即可得到單位重量理想液體流經水泵所獲得的理論揚程HT：

式 （2.9）即為葉片泵基本方程的一般表達式。

如前所述在葉輪空間流面層間流動無關的假定條件下，液體質點在葉輪里任意一點的流動都可以用與該液體質點所在空間流面相切的速度三角形來描述。換句話說，只要能夠確定某空間流面上葉片進、出口速度三角形，就可以求解式 （2.9）。當給定一個葉輪流量QT流經一個在一定轉速下旋轉的葉輪時，再引入葉片數為無限多、無限薄的假定便可通過3個已知條件確定葉片進、出口速度三角形，求解歐拉方程。

首先是牽連速度 （三角形的底邊）的確定，即

進而，在軸面圖上作出若干軸面流線，即可描繪出葉輪內的軸面速度的分布。在軸面圖上作一曲線與所有的軸面流線都正交，該線繞軸旋轉一周而成的回轉稱為軸面流動的過流斷面。在離心泵葉輪中，則認為它是一個類圓柱面，在軸流泵葉輪中，軸面流動的過流斷面就是一個圓環面。這兩種情況下，其面積都是易于計算的。換句話說葉片進、出口速度三角形的另一個條件，絕對速度在軸面圖上的均布分量 （三角形的高）也是可以確定的，即

式中：Am1、Am2分別為在葉片的厚度為無限薄的假定條件下的葉輪進、出口軸面流動的過流斷面面積，m2。

最后，再引入葉片數為無限多的假定，嚴格限制流經葉輪的液體沿葉片的骨線 （型線）做相對運動，β∞1、2=βe1、2，某空間流面上葉片進、出口速度三角形就此確定。這時，即可求得葉片泵基本方程的解為

應該指出的是流體質點通過不同的流面獲得的揚程是不同的，為了獲得流面層間能量的平衡，人們會把葉片做成空間扭曲面的形狀。

前已述及，在推導葉片泵基本能量方程式時曾作了4點假定。關于軸對稱穩定流的假定，在水泵正常運行的條件下一般是可以滿足的。關于流面層間流動無關，在客觀上人們是在努力保持各流面層間的能量平衡，盡可能地減少層間擾動的發生。但是關于葉片數無限多、無限薄和理想液體的假定與實際狀況則有較大差距的。這是因為：①實際水泵葉輪的葉片數是有限的，液體在葉槽內的運動有一定的自由度，液流在葉槽內實際運動狀況與無限多葉片假定中的 “均勻一致”的運動狀態就有差別；②實際的葉片是有厚度的，液體在葉槽里的流動是要受到一定程度的排擠的；③實際流體是有黏性的，在流動過程中是要產生水力阻力損失的。所以，應用上述的基本能量方程式來研究實際液體在有限葉片葉輪內的能量交換狀況時，就必須考慮這幾方面的影響，對基本方程進行修正，使基本能量方程符合實際液體在有限多葉片葉輪內的流動狀況。關于葉片泵基本方程的修正方面的知識，請參閱有關文獻。

2.1.3 基本方程的分析與討論

（1）水泵揚程的大小僅取決于水質點在葉片出口邊、進口邊的運動狀態的不同及其運動參數的改變，且以葉片出口邊為主 （在α1≈90°時，vu1≈0）：

（2）基本方程在推導過程中，液體的密度ρ已被消去，這表明理論揚程HT與被輸送流體的種類無關，即基本方程不僅適用于液體，也適用于其他流體，如氣體、液氣、液固、氣固等兩相流體。只是應當注意的是，抽送不同介質的流體時，揚程的單位應該用被抽流體介質的米柱數來計算。或者說，同一臺泵在抽送不同介質的流體時，所產生的理論揚程值是相同的，但揚程的單位是不同的，例如抽送水時為某水柱高度，抽送油或空氣時則為相同數值的油柱或氣柱高度。但是，由于抽送介質的密度不同，泵所產生的壓力和所需的功率是不同的。當抽取含沙渾水時，由于渾水的密度大于清水，水泵所需的功率將增加，渾水中泥沙的含量越大，增加的功率就越多。因此，對于高含沙水源取水的泵站，采取必要的泥沙防治措施，對節能和提高泵站經濟效益具有重要意義。

（3）由出口速度三角形可得，vu2∞=u2—vm2∞cotβe2，而vm2∞=QT/（πD2b2），則式（2.13）可改寫為

上式中的，當葉輪的尺寸和轉速一定時，均為常數。式 （2.14）表明HT∞與QT的函數關系是線性關系。

實際液體是有黏性的，將使得H與Q的函數關系不再保持式 （2.14）的線性關系。

（4）由速度三角形，根據余弦定理w2=u2+v2—2uvcosα=u2+v2—2uvu，可以將基本能量方程式改變為下列形式：

方程式 （2.15）右邊的第一項為液體流經葉輪后的單位動能增量，稱為動揚程，用符號Hd表示，即。單位動能的增量越大，說明葉輪出口的絕對速度也越大，這將造成在以后的流動過程中產生大的能量損失，這是我們所不希望的。第二項與第三項之和表示液體流經葉輪后的單位壓能增量，稱為勢揚程，用符號Hp表示，即。

（5）從基本方程可以看出，增大u2 或vu2∞也可以提高泵的理論揚程。由于u2=πD2n/60，所以增大葉輪的轉速n或外徑D2，都可以使理論揚程增加。由式 （1.9）可知，離心式葉輪的圓盤摩擦損失與葉輪外徑的5次方成正比。因此，增大葉輪直徑，會使圓盤摩擦損失急劇增加，從而造成泵效率下降，另外，受材料強度、制造工藝以及泵體積和重量等因素的限制，故不能用過分增大葉輪直徑的方法來提高泵的理論揚程。用提高轉速的辦法來增加泵的理論揚程，這是目前水泵設計中考慮的趨勢。但是提高轉速也受到諸如材料強度和抗汽蝕性能及調速設備的造價等因素的制約。vu2∞的大小則與葉片出口安放角βe2的大小有關，而βe2的大小又將影響葉片的彎曲程度。

2.1.4 葉型分析

2.1.3.1 離心泵葉輪

由式 （2.14）可知，當α1≈90°，葉輪的外徑D2、轉速n和流量QT一定時，理論揚程HT∞的大小取決于葉片的出口安放角βe2∞。

離心泵葉輪的彎曲形式取決于葉片的出口安放角βe2∞的大小，所以，根據βe2角的大小可將葉片分為如圖2.10所示的3種型式。

為了說明理論揚程中勢揚程所占比重的大小，在這里引入反作用度的概念。反作用度τ指的是勢揚程Hp∞與理論揚程HT∞的比值，即

圖2.10 離心泵葉輪葉片型式及其出口速度三角形

（a）后彎式葉片；（b）徑向葉片；（c）前彎式葉片

由速度三角形可知，絕對速度v的大小可以用圓周分速vu及軸面分速vm來表示，即

將以上兩式代入動揚程Hd∞的表達式得

通常葉輪進、出口的軸面分速vm1、vm2相差不大，故它們的平方差可以忽略不計。如果葉輪進口處的絕對液體流動角α1≈90°，即對離心泵葉輪而言，液體流入葉輪的方向為徑向，對軸流式葉輪而言，液體流入葉輪的方向則為軸向，那么在這種情況下，葉輪進口處的圓周分速vu1∞=0，則動揚程Hd∞的表達式可簡化為

將上式和式 （2.13）代入式 （2.16），得：

為了便于分析比較，我們分別畫出3種葉片形式的出口速度三角形，如圖2.11所示，并假定它們的葉輪外形尺寸、轉速和流量都是相等的。

圖2.11 不同葉片出口安放角下的出口速度三角形

(a)βe2∞＜90°;(b)βe2∞=90°;(c)βe2∞＞90°

（1）后彎式葉片。葉片彎曲方向與葉輪旋轉方向相反，葉片出口安放角βe2＜90°，其對應的葉輪稱后彎式葉輪。

由圖2.10可以很直觀的看出具有后彎式葉片葉輪的葉槽流道擴散較緩，相對平順流暢。因此葉槽內流動局部水力損失相對最小。

由式 （2.14）可知，當βe2＜90°時，cotβe2＞0，理論揚程隨葉輪流量的增大而線性下降，且隨著βe2的減小，cotβe2值增大，揚程的降幅也在增大。但由于vu2∞＜u2，從反作用度的表達式 （2.17）可知：τ＞1/2。葉輪傳遞給液流的總能量中，壓能所占比例大于動能，說明后彎式葉輪出口的絕對速度v2最小，因此，液體流過葉輪及蝸殼時的能量損失最小。另一方面將液流的部分動能在蝸殼中轉換為壓能所造成的能量損失也最小。

反作用度隨著葉片出口角的減小而增大，當βe2減小至相對于某給定流量的最小角βe2min時，如圖2.11 （a）中的速度三角形所示，=0，τ=1，而HT∞=0，這表示水泵未對液體作功，因而這種葉輪對水泵的作用而言是毫無意義的。如果再繼續減小葉片出口安放角，并使βe2＜βe2min，那么將有vu2∞＜0，從而HT∞＜0，這就意味著水泵不但沒有把能量傳遞給液體，反而從液體那里吸收了能量。所以，后彎式葉輪的葉片出口安放角βe2不能減小到等于或小于βe2min的程度。

（2）徑向式葉片。葉片出口方向為徑向 （βe2=90°）的葉輪稱為徑向式葉輪。

如圖2.11 （b）中的速度三角形所示，由于βe2=90°，故cotβe2=0，vu2∞=u2。由式（2.14）和式 （2.17）可知：，τ=1/2。這說明，徑向式葉片產生的理論揚程只與葉輪的外徑和轉速有關，而與通過葉輪的理論流量無關，且產生的總揚程中，勢揚程和動揚程各占一半。

（3）前彎式葉片。葉片彎曲方向與葉輪旋轉方向相同，葉片出口安放角βe2＞90°的葉輪稱前彎式葉輪。

由圖2.10可以看出一方面前彎式葉片葉輪的葉槽流道較短，過流斷面的擴散較急劇。另一方面為了避免進口處產生漩渦，進口附近的葉片必須后彎，即流道有兩個方向不同的彎曲，所以流道呈曲折狀。因此，葉輪內的局部流動損失相對最大。

前彎式葉片由于βe2＞90°，則cotβe2＜0，vu2∞＞u2，且vu2∞隨著葉片出口角的增大而增大。由式 （2.14）可知，在葉輪外徑和轉速相同的情況下，前彎式葉輪產生的理論揚程大于后彎式和徑向式葉輪。且隨著βe2的增大，HT∞的增幅也隨之增大。但從反作用度的表達式 （2.17）可知：τ＜1/2，葉輪傳遞給液流的總能量中，動能所占比例大于壓能。因此，液體流過葉輪及蝸殼時的能量損失也最大。而流體的輸送主要是靠壓能來克服流動過程中的阻力損失，為此需要將液流的部分動能在蝸殼中轉換為壓能，這種轉換將造成很大的能量損失。如圖2.11 （c）中的速度三角形所示，相對于某給定流量，存在βe2=βe2max，此時vu2∞=2u2，則τ=0。這就意味著此時葉輪產生的理論揚程全部為動揚程，即葉輪傳遞給液流的能量全部為動能，液流的勢能沒有增加，這對為提高液流壓力為目的的水泵來說也是沒有實際意義的。

綜上所述，后彎形葉片的優點是顯而易見的，所以，離心泵葉輪葉片出口安放角βe2一般取15°～45°，常用角度多在15°～30°的范圍內，相應的反作用度τ=0.70～0.75（即葉輪產生的勢揚程占總揚程的70%～75%）。美國學者A.J.Stepanoff在某種條件下推得的葉片出口最佳安放角為βe2=22.5°。

2.1.3.2 軸流泵葉輪

（1）葉片呈空間扭曲狀。由基本能量方程可知，液體經過葉輪所獲得的能量和圓周速度u及葉片出口絕對速度的周向分速度vu2的乘積成正比，即HT∝uvu2，而在轉速一定的情況下，圓周速度u又和半徑r成正比。這樣，葉片上離轉軸中心越遠處液體的圓周速度就越大。為了使軸流泵在設計情況下不產生軸面二次回流和有較高的效率，通常要求不同半徑上各圓柱流面的葉柵所產生的揚程相等，即

式中：ur、ur+dr分別為不同半徑為r和r+dr處的圓周速度；vu2，r、vu2，r+dr分別為不同半徑為r和r+dr處葉片出口圓周分速度。

若半徑r＜r+dr，則ur+dr＞ur，因此，必須使vu2，r+dr＜vu2，r才能保證上面所列的等式成立。而vu2=u—vmcotβ2，且在流量一定的情況下軸面速度vm不隨半徑的改變而變化，即半徑不同的各圓柱截面上的vm值相等，故只有當βe2，r+dr＜βe2，r時，才能滿足兩圓柱截面揚程相等的條件，達到設計要求。由此可知，在設計流量不變時，即vm為定值的情況下，半徑r越大處的葉片出口安放角應該越小。所以軸流泵的葉片從輪轂到輪緣的不同流面上的柵中翼型安放角βey是不相等的，輪轂流面的柵中翼型安放角βeyh大于輪緣流面的柵中翼

圖2.12 軸流泵的空間扭曲葉片

型安放角βeyt，如圖2.12所示，軸流式葉輪應該具有呈空間扭曲狀葉片。

正是由于軸流泵葉輪的葉片呈空間扭曲狀，才導致其高效區窄小。這是因為葉輪的運行工況偏離設計點后，葉片輪轂和輪緣圓周速度之間的比例被破壞，導致不同半徑處葉片產生的揚程不再相等和進水條件惡化，從而使泵內的水流紊亂，水力損失增大，偏離設計點越遠，水流紊亂程度越大，水力損失也越大。因此，軸流泵具有較窄的高效區。

（2）葉片出口向前彎曲。由于軸流泵葉輪同一圓柱面上的進、出口圓周速度和軸面速度相等，即u1=u2=u和vm1=vm2=vm，因此，理論揚程HT的表達式 （2.12）可改寫為

從上式可以看出，在一定的轉速和流量下，欲要求HT有較大的正值，就必須要求cotβ1＞cotβ2，即要求葉片進口安放角βe1小于葉片出口安放角βe2。所以，為了有效地發揮葉片對液流的提升作用，葉片角應從進口的βe1逐漸增加到出口的βe2。這就說明了軸流泵葉輪葉片出口向前彎曲的原因。