第四節　空間任意力系向一點的簡化·主矢和主矩

剛體上作用空間任意力系F1,F2,…,Fn[圖3-13(a)]。應用力的平移定理,依次將各力向簡化中心O平移,同時附加一個相應的力偶。這樣,原來的空間任意力系被空間匯交力系和空間力偶系兩個簡單力系等效替換,如圖3-13(b)所示。其中

作用于點O的空間匯交力系可合成一力[圖3-13(c)],此力的作用線通過點O,其大小和方向等于力系的主矢,即

空間分布的力偶系可合成為一力偶[圖3-12(c)]。其力偶矩矢等于原力系對點O的主矩,即

由力矩的解析表達式(3-12),有

空間任意力系向任一點O簡化,可得一力和一力偶。這個力的大小和方向等于該力系的主矢,作用線通過簡化中心O;這力偶的矩矢等于該力系對簡化中心的主矩。與平面任意力系一樣,主矢與簡化中心的位置無關,主矩一般與簡化中心的位置有關。

式(3-25b)中,單位矢量i,j,k前的系數,即主矩MO沿x,y,z軸的投影,也等于力系各力對x,y,z軸之矩的代數和∑Mx(F),∑My(F),∑Mz(F)。

下面通過作用在飛機上的力系說明空間任意力系簡化結果的實際意義。飛機在飛行時受到重力、升力、推力和阻力等力組成的空間任意力系的作用。通過其重心O作直角坐標系Oxyz,如圖3-14所示。將力系向飛機的重心O簡化,可得一力和一力偶,其力偶矩矢為MO。如果將這力和力偶矩矢向上述三坐標軸分解,則得到三個作用于重心O的正交分力和三個繞坐標軸的力偶矩MOx,MOy,MOz。可以看出它們的意義是:為有效推進力;為有效升力;F'Rz為側向力;MOx為滾轉力矩;MOy為偏航力矩;MOz為俯仰力矩。

為了計算方便,一般在求主矢、主矩時利用解析法進行,這時如以簡化中心為坐標原點,取直角坐標系Oxyz,如圖3-13所示,將式(3-24)的兩邊分別在三個坐標軸上投影,可得

若主矢的方向角用α,β,γ表示,則主矢的方向余弦為

同樣將式(3-25)的兩邊分別在三個坐標軸上投影,并利用力對點的矩與力對軸的矩間的關系,可得

若以λ,μ,ν表示主矩的方向角,則主矩的方向余弦為

此時,可以證明合力矩定理仍然成立,空間一般力系的合力對任意一點(軸)的矩等于力系中各分力對該點(軸)的矩的矢量和(代數和)。