第五節　重力壩的應力分析

應力分析的目的是為了檢驗大壩在施工期和運用期是否滿足強度要求，同時也是為研究解決設計和施工中的某些問題，如為混凝土強度等級分區和某些部位的配筋提供依據；驗算壩體斷面是否合理；為設計壩內廊道、管道、孔口、壩體分縫等提供周邊應力數據。

一、應力分析方法

重力壩的應力分析方法可以歸結為理論計算和模型試驗兩大類，模型試驗費用大、歷時長，對于中、小型工程，一般可只進行理論計算。計算機的出現使理論計算中的數值解析法發展很快，對于一般的平面問題，常常可以不做試驗，主要依靠理論計算解決問題。下面對目前常用的幾種應力分析方法做一簡要介紹。

（一）模型試驗法

目前常用的試驗方法有光測法、脆性材料法和電測法。光測法有偏光彈性試驗法和激光全息試驗法，主要解決彈性應力分析問題。脆性材料法和電測法除能進行彈性應力分析外，還能進行破壞試驗，近期發展起來的地質力學模型試驗方法，可以進行復雜地基的試驗。此外，利用模型試驗還可以進行壩體溫度場和動力分析等方面的研究。模型試驗方法在模擬材料特性、施加自重荷載和地基滲流等方面得到廣泛應用，但目前仍存在一些問題，有待進一步研究和改進。

（二）材料力學法

這是應用最廣泛、最簡便，也是重力壩設汁規范中規定采用的計算方法。材料力學法不考慮地基的影響，假定水平截面上的正應力σy按直線分布，使計算結果在地基附近約1/3壩高范圍內，與實際情況不符。但這個方法有長期的實踐經驗。多年的工程實踐證明，對于中等高度的壩，應用這一方法，并按規定的指標進行設計，是可以保證工程安全的。對于較高的壩，特別是在地基條件比較復雜的情況下，還應該同時采用其他方法進行應力分析驗證。

（三）彈性理論的解析法

這種方法在力學模型和數學解法上都是嚴格的，但目前只有少數邊界條件簡單的典型結構才有解答，所以，在工程設計中較少采用。通過對典型構件的計算，可以檢驗其他方法的精確性。因此，彈性理論的解析方法隨著計算機科學的發展，在大型工程設計中是一種很有價值的分析方法。

（四）彈性理論的差分法

差分法在力學模型上是嚴格的，在數學解法上采用差分格式，是近似的。由于差分法要求方形網格，對復雜邊界的適應性差，所以在應用上遠不如有限元法普遍。

（五）彈性理論的有限元法

有限元法在力學模型上是近似的，在數學解法上是嚴格的，可以處理復雜的邊界，包括幾何形狀、材料特性和靜力條件。隨著計算機附屬設備和軟件工程的發展，一些國內外通用計算軟件也漸趨成熟，從而可使設計人員從過去繁瑣的計算中解脫出來，實現設計工作的自動化。

下面介紹廣泛采用的材料力學方法，其他方法可以參考有關專著。

二、材料力學法計算壩體應力

材料力學法計算壩體應力，首先在壩的橫剖面上截取若干個控制性水平截面進行應力計算。一般情況應在壩基面、折坡處、壩體削弱部位（如廊道、泄水管道、壩內有孔洞的部位）以及認為需要計算壩體應力的部位截取計算截面。

對于實體重力壩，常在壩體最高處沿壩軸線取單位壩長（1m）作為計算對象，選定荷載組合，確定計算截面，進行應力計算。

（一）基本假定

（1）假定壩體混凝土為均質、連續、各向同性的彈性材料。

（2）視壩段為固接于壩基上的懸臂梁，不考慮地基變形對壩體應力的影響，并認為各壩段獨立工作，橫縫不傳力。

（3）假定壩體水平截面上的正應力σy按直線分布，不考慮廊道等對壩體應力的影響。

（二）邊緣應力的計算

一般情況下，壩體的最大應力和最小應力都出現在壩面，所以，在DL 5108—1999《混凝土重力壩設計規范》中規定，首先應校核壩體邊緣應力是否滿足強度要求。

計算圖形及應力與荷載的方向見圖2－17，右上角應力和力的箭頭方向為正。

（1）水平截面上的正應力。因為假定σy按直線分布，所以可按偏心受壓公式式（2－29）、式（2－30）計算上、下游邊緣應力σyu（kPa）和σyd（kPa）。

式中　∑W——作用于計算截面以上全部荷載的鉛直分力的總和，kN；

∑M——作用于計算截面以上全部荷載對截面垂直水流流向形心軸O的力矩總和，kN·m；

B——計算截面的長度，m。

（2）剪應力。已知σyu和σyd以后，可以根據邊緣微分體的平衡條件，解出上下游邊緣剪應力τu（kPa）和τd（kPa），見圖2－18（a）。

取上游壩面的微分體，根據平衡條件∑Fy＝0，則pu d x－σyu d x－τu d y＝0，d x/d y＝n。

式中　pu——上游面水壓力強度，kPa；

n——上游壩坡坡率。

同樣，取下游壩面的微分體，根據平衡條件∑Fy＝0，可以解出

式中　pd——下游面水壓力強度，kPa；

m——下游壩坡坡率。

（3）水平正應力。已知τu和τd以后，可以根據平衡條件，求得上、下游邊緣的水平正應力σxu（kPa）和σxd（kPa）。

由上游壩面微分體，根據∑Fx＝0，則pu d y－σxu d y－τu d x＝0，得

同樣，由下游壩面微分體可以解出

（4）主應力。取微分體，如圖2－18（b）所示，根據平衡條件，可求出上、下游壩面主應力σ1u（kPa）和σ1p（kPa）。

由上游壩面微分體，根據平衡條件∑Fy＝0，則Pu sin2?u d x＋σ1u cos2?u d x－σyu d x＝0。

同樣，由下游壩面微分體可以解出

壩面水壓力強度是主應力σ2u（kPa）和σ2p（kPa）

σ2u＝pu

σ2d＝pd

由式（2－35）可以看出，當上游壩面傾向上游（坡率n＞0）時，即使σyu≥0，只要σyu＜pu sin2?u，則σ1u＜0，即σ1u為拉應力。?u越大，主拉應力也越大。因此，重力壩上游坡角?u不宜太大，巖基上的重力壩常把上游面做成鉛直的（n＝0），或小坡率（n＜ 0.2）的折坡壩面。

（三）考慮揚壓力時的應力計算

式（2－29）～式（2－35）均未計入揚壓力。當需要考慮揚壓力時，可將計算截面上的揚壓力作為外荷載對待。

（1）求邊緣應力。先求出包括揚壓力在內的全部荷載鉛直分力的總和∑W及全部荷載對計算截面垂直水流流向形心軸產生的力矩總和∑M，再利用式（2－29）和式（2－30）計算σy，而τ、σx和σ1、σ2可根據邊緣微分體的平衡條件求得。以上游邊緣為例，見圖2－19。puu為上游邊緣的揚壓力強度，pud為下游邊緣的揚壓力強度，由平衡條件可以推出上、下游邊緣主應力為

因揚壓力屬孔隙水壓力，計算截面上的微分單元體上一點的揚壓力壓強與靜水壓強相等，pu＝puu，pd＝pud，則式（2－37）可進一步簡化為

可見，考慮與不考慮揚壓力時，τ、σx和σ1、σ2的計算公式是不相同的。

（2）求壩內應力。可先不計揚壓力，首先計算出各點的σy、σx和τ，然后再疊加由揚壓力引起的應力。后者可參閱DL 5108—1999《混凝土重力壩設計規范》。

三、壩體和壩基的應力控制

當采用材料力學法計算壩體應力時，其應力值應滿足DL 5108—1999《混凝土重力壩設計規范》規定的強度指標。混凝土重力壩應按承載能力極限狀態驗算壩趾和壩體選定截面下游端點的抗壓強度，按正常使用極限狀態驗算滿庫時的壩體上游面拉應力和空庫時的下游面拉應力。對于高壩，宜采用有限元法進行計算，并用模型試驗成果予以驗證。

（一）承載能力極限狀態設計

承載能力極限狀態通用表達式為

式中　S（·）——作用效應函數；

R（·）——抗力函數；

γ0——結構重要性系數，重要結構取1.1，一般結構取1.0，次要結構取0.9；

ψ——設計狀況系數，持久狀況取1.0，短暫狀況取0.95，偶然狀況取0.85；

Fd——作用的設計值（作用標準值乘分項系數）；

ak——幾何參數（結構構件幾何參數的標準值）；

fd——材料性能的設計值；

γd——結構系數，查有關規范或教材表2－11。

1.壩趾抗壓強度極限狀態

重力壩正常運行時，下游壩趾發生最大主壓應力，故抗壓強度承載能力極限狀態作用效應函數為

抗壓強度極限狀態抗力函數為

核算壩趾抗壓強度時，應按材料的標準值和作用的標準值或代表值分別計算基本組合和偶然組合。

2.壩體選定截面下游的抗壓強度承載能力極限狀態

作用效應函數為

抗壓強度極限狀態抗力函數為

式中　∑WR、∑WC——壩基面、計算截面上全部法向作用之和，kN，向下為正；

∑MR、∑MC——全部作用分別對壩基面、計算截面形心的力矩之和，kN·m，逆時針方向為正；

AR、AC——壩基面面積、計算截面面積，m2；

TR、TC——壩基面、計算截面形心軸到下游面的距離；

JR、JC——壩基面、計算截面分別對形心軸的慣性矩；

m2——壩體下游坡度；

fc——壩基面混凝土抗壓強度，kPa；

fR——基巖抗壓強度，kPa。

核算壩體選定計算截面下游端點抗壓強度時，應按材料的標準值和作用的標準值或代表值分別計算基本組合和偶然組合。

（二）正常使用極限狀態計算

（1）壩踵不出現拉應力，計入揚壓力后，計算式為

核算壩踵應力時，應按作用的標準值分別考慮短期組合和長期組合。

（2）壩體上游面的垂直應力不出現拉應力，計入揚壓力后，計算公式為

核算壩體上游面的垂直應力應按作用的標準值采用長期組合進行計算。

對于上游有倒坡的重力壩，在施工期下游面垂直拉應力應小于0.1MPa。

四、重力壩設計實例

（一）基本資料

某高山峽谷地區規劃的水利樞紐，擬定壩型為混凝土重力壩，其任務以防洪為主，兼顧灌溉、發電，為3級建筑物，試根據提供的資料設計非溢流壩剖面。

（1）水電規劃成果。上游設計洪水位為355.00m，相應的下游水位為331.00m；上游校核洪水位356.30m，相應的下游水位為332.00m；正常高水位354.00m；死水位339.50m。

（2）地質資料。河床高程328.00m，約有1～2m覆蓋層，清基后新鮮巖石表面最低高程為326.00m。巖基為石灰巖，節理、裂隙少，地質構造良好。抗剪斷強度取其分布的0.2分位值為標準值，則摩擦系數′＝0.82，黏聚力′＝0.6MPa。

（3）其他有關資料。河流泥沙計算年限采用50年，據此求得壩前淤沙高程337.10m。泥沙浮重度為6.5kN/m3，內摩擦角?s＝18°。

樞紐所在地區洪水期的多年平均最大風速為15m/s，水庫最大風區長度由庫區地形圖上量得D＝0.9km。

壩體混凝土重度γc＝24kN/m3，地震設計烈度為6度。擬采用混凝土強度等級C10，90d齡期，80%保證率，軸心抗壓強度fckd為10MPa，壩基巖石允許壓應力設計值為4000kPa。

（二）設計要求

（1）擬定壩體剖面尺寸。確定壩頂高程和壩頂寬度，擬定折坡點的高程、上下游坡度、壩底防滲排水幕位置等相關尺寸。

（2）荷載計算及作用組合。該例題只計算一種作用組合，選設計洪水位情況計算，取常用的五種荷載：自重、靜水壓力、揚壓力、淤沙壓力、浪壓力。列表計算其作用標準值和設計值。

（3）抗滑穩定驗算。可用極限狀態設計法進行可靠度計算。

（4）壩基面上、下游處垂直正應力的計算，以便驗算地基的承載能力和混凝土的極限抗壓強度。

（三）非溢流壩剖面的設計

1.資料分析

該水利樞紐位于高山峽谷地區，波浪要素的計算可選用官廳公式。因地震設計烈度為6度，故不計地震影響。大壩以防洪為主，3級建筑物，對應可靠度設計中的結構安全級別為Ⅱ級，相應結構重要性系數γ0＝1.0。壩體上的荷載分兩種組合，基本組合（設計洪水位）取持久狀況對應的設計狀況系數ψ＝1.0，結構系數γd＝1.2；偶然組合（校核洪水位）取偶然狀況對應的設計狀況系數ψ＝0.85，結構系數γd＝1.2。壩趾抗壓強度極限狀態的設計狀況系數同前，結構系數γd＝1.8。

可靠度設計要求均采用（荷載）作用設計值和材料強度設計值。（荷載）作用標準值乘以（荷載）作用分項系數后的值為（荷載）作用設計值；材料強度標準值除以材料性能分項系數后的值為材料強度設計值。本設計有關（荷載）作用的分項系數查表2－9得：自重為1.00；靜水壓力為1.00；滲透壓力為1.20；浮托力為1.00；淤沙壓力為1.20；浪壓力為1.20。混凝土的材料強度分項系數為1.35；因大壩混凝土用90d齡期，大壩混凝土抗壓強度材料分項系數取2.0；熱扎Ⅰ級鋼筋強度分項系數為1.15；Ⅱ級、Ⅲ級、Ⅳ級為1.10。材料性能分項系數中，對于混凝土與巖基間抗剪強度摩擦系數為1.3，凝聚力′為3.0。上游壩踵不出現拉應力極限狀態的結構功能極限值為0。下游壩基不能被壓壞而允許的抗壓強度功能極限值為4000kPa。實體重力壩滲透壓力強度系數α為0.25。

2.非溢流壩剖面尺寸擬定

（1）壩頂高程的確定。壩頂在水庫靜水位以上的超高按式（2－1）計算。對于安全級別為Ⅱ級的壩，查得安全超高設計洪水位時為0.5m，校核洪水位時為0.4m。分設計洪水位和校核洪水位兩種情況計算。

1）設計洪水位情況。風區長度D（有效吹程）為0.9km，計算風速v0在設計洪水情況下取多年平均年最大風速的2倍為30m/s。

波高：

波長：

波浪中心線至計算水位的高度：

2）校核洪水位情況。風區長度D為0.9km，計算風速v0在校核洪水位情況取多年平均年最大風速的1倍為15m/s。

波高：

波長：

波浪中心線至計算靜水位的高度：

取上述兩種情況壩頂高程中的大值，并取防浪墻高度1.2m，防浪墻基座高0.1m并外伸0.3m，則壩頂高程為357.296－1.2－0.1≈356.00m；最大壩高為356.00－326.00＝30m。

（2）壩頂寬度。因該水利樞紐位于山區峽谷，無交通要求，按構造要求取壩頂寬度5m，同時滿足維修時的單車道要求。

（3）壩坡的確定。根據工程經驗，考慮利用部分水重增加壩體穩定，上游壩面采用折坡，起坡點按要求為1/3～2/3壩高，該工程擬折坡點高程為346.00m，上部鉛直，下部為1∶0.2的斜坡，下游壩坡取1∶0.75，基本三角形頂點位于壩頂，349.30m以上為鉛直壩面。

（4）壩體防滲排水。根據上述尺寸算得壩體最大寬度為26.5m。分析地基條件，要求設防滲灌漿帷幕和排水幕，灌漿帷幕中心線距上游壩踵5.3m，排水孔中心線距防滲帷幕中心線1.5m。擬設廊道系統，實體重力壩剖面設計時暫不計入廊道的影響。

擬定的非溢流重力壩剖面如圖2－20所示。確定剖面尺寸的過程歸納為：初擬尺寸穩定和應力校核修改尺寸穩定和應力校核，經過幾次反復，得到滿意的結果為止。該例題只要求計算一個過程。

3.荷載計算及組合

以設計洪水位情況為例進行穩定和應力的極限狀態驗算（其他情況略）。根據作用（荷載）組合表2－8，設計洪水情況的荷載組合包含自重＋靜水壓力＋淤沙壓力＋揚壓力＋浪壓力。沿壩軸線取單位長度1m計算。

（1）自重。將壩體剖面分成兩個三角形和一個長方形計算其標準值，廊道的影響暫時不計入。

（2）靜水壓力。按設計洪水時的上、下游水平水壓力和斜面上的垂直水壓力分別計算其標準值。

（3）揚壓力。揚壓力強度在壩踵處為γH1，排水孔中心線上為γ（H2＋αH），壩趾處為γH2。α為0.25，按圖中4塊分別計算其揚壓力標準值。

（4）淤沙壓力。分水平方向和垂直方向計算。泥沙浮重度為6.5kN/m3，內摩擦角?s＝18°。水平淤沙壓力標準值為

（5）浪壓力。壩前水深大于1/2波長（H＞L/2）采取下式計算浪壓力標準值：

荷載作用標準值和設計值成果見表2－12。

4.抗滑穩定極限狀態計算

壩體抗滑穩定極限狀態，屬承載能力極限狀態，核算時，其作用和材料性能均應以設計值代入。基本組合時

由于4305.78kN＜8196.39kN，故基本組合時抗滑穩定極限狀態滿足要求。

偶然組合與基本組合計算方法類同，該例題省略。深層抗滑穩定分析省略。

5.壩址抗壓強度極限狀態計算

壩趾抗壓強度極限狀態，屬承載能力極限狀態，核算時，其作用和材料性能均以設計值代入。基本組合時，γ0＝1，ψ＝1.0，γd＝1.3。

對于壩趾巖基：

由于678.64kPa＜2222.22kPa，故基本組合時壩址基巖抗壓強度極限狀態滿足要求。

對于壩趾混凝土C10：

由于678.64kPa＜3846.15kPa，故基本組合時壩趾混凝土C10抗壓強度極限狀態滿足要求。

偶然組合與基本組合計算方法類同，計算省略。

6.壩體上、下游面拉應力正常使用極限狀態計算

因上、下游壩面不出現拉應力屬于正常使用極限狀態（要求計入揚壓力），故采用作用的標準值。規范規定上游壩踵不出現拉應力結構功能的極限值為0；當壩上游有倒坡、施工期和完建無水期時下游壩趾允許出現小于0.1MPa的拉應力，結構功能的極限值為0.1MPa。下面只對壩踵進行驗算。

故上游壩踵不出現拉應力，滿足要求。

根據現有計算成果，所擬剖面在基本組合情況下滿足設計要求，抗滑穩定驗算差值較大，抗壓強度極限值計算比較后，壩基巖石允許抗壓設計值較實際垂直壓應力大4.5倍，混凝土抗壓強度設計極限值較實際垂直壓應力大5.7倍，壩坡可調整得再陡一些。