4.1　算法設(shè)計基本概念

根據(jù)《美國傳統(tǒng)詞典》（American Heritage Dictionary），算法的定義如下：

“算法是由無歧義指令構(gòu)成的有限集合，它在給定的一組初始條件下按預(yù)定順序執(zhí)行，直到滿足給定的可識別的結(jié)束條件以實現(xiàn)某種目的。”

設(shè)計算法就是要給出這個“由無歧義指令構(gòu)成的有限集合”，以最有效的方式“實現(xiàn)某種目標(biāo)”。為復(fù)雜的實際問題設(shè)計算法是一項煩瑣的任務(wù)。要構(gòu)想得到一個好的設(shè)計，需要先充分了解待求解問題。我們首先要弄清楚需要做什么（即了解需求），然后再研究如何做（即設(shè)計算法）。理解問題包括找出待求解問題的功能性需求和非功能性需求，讓我們看看這些需求分別是什么：

• 功能性需求正式規(guī)定了待求解問題的輸入和輸出接口，以及與之相關(guān)的功能，幫助我們理解數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)操作，以及生成結(jié)果所需要執(zhí)行的計算。
• 非功能性需求設(shè)定了對算法的性能和安全性方面的預(yù)期。

需要注意的是，設(shè)計算法就是要在給定的環(huán)境下以最佳方式同時滿足功能性需求和非功能性需求，并且還要考慮到用于運行所設(shè)計算法的資源集。

為了得到一個能夠滿足功能性需求和非功能性需求的算法，我們的設(shè)計應(yīng)該考慮以下三個關(guān)注點（正如第一章所講）：

• 第一點：所設(shè)計算法是否能產(chǎn)生我們預(yù)期的結(jié)果？
• 第二點：所設(shè)計算法是獲取預(yù)期結(jié)果的最佳方法嗎？
• 第三點：所設(shè)計算法在更大的數(shù)據(jù)集上表現(xiàn)怎么樣？

我們逐一討論這些問題。

4.1.1　第一點——所設(shè)計算法是否能產(chǎn)生預(yù)期的結(jié)果

算法是實際問題的數(shù)學(xué)求解方案，一個有效的算法應(yīng)該能夠產(chǎn)生準(zhǔn)確的結(jié)果。如何驗證算法的正確性，這不應(yīng)該是事后才需要的想法，而應(yīng)該是在算法的設(shè)計中就已經(jīng)考慮到了。在制定驗證算法的策略之前，我們需要考慮以下兩個方面：

• 定義真實值：為了驗證算法，對于給定的一組輸入，我們需要已知的正確結(jié)果。這些已知的正確結(jié)果在待求解問題中稱為真實值。真實值是很重要的，因為當(dāng)我們不斷地改進我們的算法，以獲得更好的求解方案時，它可以作為參考。
• 選擇度量標(biāo)準(zhǔn)：我們還需要考慮如何量化運行結(jié)果與真實值之間的差距。選擇合適的度量標(biāo)準(zhǔn)將有助于我們準(zhǔn)確地量化算法的質(zhì)量。

例如，對于機器學(xué)習(xí)算法，我們可以將已標(biāo)記的現(xiàn)有數(shù)據(jù)用作真實值，可以選擇一個或多個度量標(biāo)準(zhǔn)（例如準(zhǔn)確率、召回率或精度）來量化與真實值之間的差距。需要注意的是，在某些用例中，正確的輸出不是一個單一的值，而是被定義為一組給定的范圍。在設(shè)計和開發(fā)算法的過程中，我們的目標(biāo)是反復(fù)改進算法，直到其運行結(jié)果位于需求所明確的范圍之內(nèi)。

4.1.2　第二點——所設(shè)計算法是否是獲取結(jié)果的最佳方法

第二個關(guān)注點是找到以下問題的答案：

所設(shè)計算法是最佳求解方案嗎？我們是否能夠證明該問題不存在更好的求解方案？

乍一看，這個問題似乎很容易回答。然而，對于某一類算法，研究人員花了幾十年的時間來驗證由某個算法產(chǎn)生的特定解是否也是最佳解，以及是否不存在可以給出更好結(jié)果的其他求解方案，但都沒有成功。所以，我們首先要了解問題、問題的需求以及運行算法的資源，這一點非常重要。我們需要確認(rèn)以下說法：

我們是否應(yīng)該以找到該問題的最優(yōu)解為目標(biāo)？尋找和驗證最優(yōu)解是非常耗時且復(fù)雜的，所以基于啟發(fā)式方法的可行方案是我們最好的選擇。

因此，理解問題及其復(fù)雜性很重要，它可以幫助我們估算對資源的需求。

在開始深入討論之前，我們先在這里定義幾個術(shù)語：

• 多項式算法（polynomial algorithm）：如果算法的時間復(fù)雜度為O(nk)，則我們將其稱為多項式算法，其中k為常數(shù)。
• 可行解（certificate）：迭代結(jié)束時產(chǎn)生的一個候選解稱為可行解。隨著我們在解決特定問題上的不斷迭代，我們通常會產(chǎn)生一系列的可行解。如果解收斂，則每一個生成的可行解都會比前一個更好。在某些時候，當(dāng)我們的可行解滿足需求時，我們會選擇該可行解作為最終的解。

第1章介紹了大O記號，用以分析算法的時間復(fù)雜度。在分析時間復(fù)雜度的背景下，我們考慮以下不同的時間區(qū)間：

• 一個算法產(chǎn)生一個解（即可行解）所需要的時間tr。
• 驗證給出的解（可行解）所需的時間ts。

刻畫問題復(fù)雜度

多年來，學(xué)術(shù)界根據(jù)問題的復(fù)雜度將問題分為不同的類。在我們嘗試設(shè)計問題的求解方案之前，先嘗試確定它屬于哪一類問題是有意義的。一般來說，存在三種類型的問題：

• 類型1：肯定存在求解該問題的多項式算法。
• 類型2：可以證明這類問題無法用多項式算法求解。
• 類型3：無法找到求解該問題的多項式算法，也無法證明不可能找到該問題的多項式求解方案。

我們來看看各類問題：

• 非確定性多項式問題（NP）：一個問題要成為NP問題，必須滿足以下條件：
  • 肯定存在多項式算法用于驗證候選解（可行解）是否最優(yōu)。

• 多項式問題（P）：這類問題可以視為NP問題的子集。除滿足NP問題的條件以外，P問題還需要滿足如下額外的條件：
  • 肯定存在至少一種多項式算法來求解它們。

圖4-1展示了P問題和NP問題之間的關(guān)系。

下面繼續(xù)列出各類問題：

• NP完全問題：NP完全類包含了所有NP問題中最難的問題。一個NP完全問題需要滿足以下兩個條件：
  • 沒有已知的多項式算法來生成可行解。
  • 有已知的多項式算法來驗證提出的可行解是否最優(yōu)。

• NP難問題：NP難類包含的問題至少與NP類中的任何問題一樣難，但是這些問題本身并不需要屬于NP類。

現(xiàn)在，我們繪制一張圖（圖4-2）來說明各類問題之間的關(guān)系。

注意，P=NP的正確性仍有待學(xué)術(shù)界證明。盡管這尚未得到證實，但很有可能P≠NP。在此種情況下，不存在求解NP完全問題的多項式求解方案。請注意，圖4-2是基于這個假設(shè)所畫的。

4.1.3　第三點——所設(shè)計算法在更大的數(shù)據(jù)集上表現(xiàn)如何

算法以規(guī)定的方式處理數(shù)據(jù)以產(chǎn)生結(jié)果。一般來說，隨著數(shù)據(jù)規(guī)模的增加，處理數(shù)據(jù)和計算所需結(jié)果的時間越來越長。術(shù)語大數(shù)據(jù)有時用于粗略地標(biāo)識由于數(shù)據(jù)的體積、多樣性和速度太大而預(yù)計對所使用的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)和算法構(gòu)成挑戰(zhàn)的數(shù)據(jù)集。一個設(shè)計良好的算法應(yīng)該是可擴展的，這意味著，它應(yīng)該盡可能高效地運行，利用可用的資源在合理時間內(nèi)產(chǎn)生正確的結(jié)果。在處理大數(shù)據(jù)時，算法的設(shè)計變得更加重要。為了量化算法的可擴展性，我們需要注意以下兩個方面的問題：

• 隨著輸入數(shù)據(jù)的增加，資源需求增加：對此進行的估計稱為空間復(fù)雜度分析。
• 隨著輸入數(shù)據(jù)的增加，運行時間增加：對此進行的估計稱為時間復(fù)雜度分析。

請注意，我們正生活在一個被定義為數(shù)據(jù)爆炸的時代。“大數(shù)據(jù)”一詞已經(jīng)成為主流，因為它抓住了現(xiàn)代算法通常需要處理的數(shù)據(jù)的規(guī)模和復(fù)雜性。

在開發(fā)和測試階段，許多算法僅使用少量的數(shù)據(jù)樣本。在設(shè)計算法時，研究算法的可擴展性是很重要的。特別是隨著數(shù)據(jù)集規(guī)模的增加，仔細(xì)分析（即測試或預(yù)測）算法性能的變化非常重要。