1.6　表示實數(shù)

到目前為止，我們已經(jīng)設(shè)法用二進制來表示整數(shù)。但是，如何表示實數(shù)呢？實數(shù)在十進制中包括一個小數(shù)點。我們需要一些方法來表示等價二進制點。同樣，這可以通過在不同語境解釋二進制位來實現(xiàn)。

1.6.1　定點表示法

用二進制表示分數(shù)的一種方法是任意選擇一個二進制點（小數(shù)點的二進制等價物）位置。比如，如果有4個位，我們可以假設(shè)其中兩個位在二進制點的右邊，表示4個小數(shù)，而另外兩個位在左邊，表示4個整數(shù)。這就是所謂的定點表示法，因為二進制點的位置是固定的。表1-7展示了其工作原理。

從二進制記數(shù)法來看，點左邊的整數(shù)應(yīng)該看起來很熟悉。與整數(shù)表示類似，點的右邊兩位可以表示4個值，代表的是四分之一，而不是我們熟悉的十進制中的十分之一。

雖然這種方法很好用，但在通用型計算機中并不常用，因為它需要太多的位來表示有用的數(shù)字范圍。某些被稱為數(shù)字信號處理器（Digital Signal Processor, DSP）的特殊用途計算機仍然使用定點數(shù)。而且第11章將提到定點數(shù)在某些應(yīng)用中是有用的。

通用型計算機是為了解決通用型問題而建立的，涉及的數(shù)字范圍很廣。你可以通過瀏覽物理學讀物，對這個范圍有一定的概念。例如，有如普朗克常數(shù)（6.63×10–34J·S）的微小數(shù)字，也有如阿伏伽德羅常數(shù)（6.02×1023mol–1）的大數(shù)字。這是一個相差1057的范圍，大約是2191。這幾乎需要200個比特！用幾百個比特去表示這里面的每一個數(shù)字成本可真是不低，所以我們需要尋找其他的解決方法。

1.6.2　浮點表示法

我們用二進制版本的科學記數(shù)法來解決這個問題，科學記數(shù)法常用于表示包括普朗克常數(shù)和阿伏伽德羅常數(shù)在內(nèi)的大量級的數(shù)字。科學記數(shù)法創(chuàng)造了一個新的解釋語境，以表示巨大范圍內(nèi)的數(shù)字。它使用小數(shù)點左邊是個位的數(shù)字（稱為尾數(shù)）乘以10的冪（稱為指數(shù)）來表示。計算機也使用與這類似的表示方法，不過尾數(shù)和指數(shù)是二進制數(shù)，而底數(shù)10變成了2。

以上就是浮點表示法，這讓人很困惑，因為二進制（十進制）點總是在同一個位置：在一和二分之一（十進制的十分之一）之間。“浮點”只是科學記數(shù)法的另一種說法，我們使用浮點把數(shù)字表示為1.2×10–3，而不是0.0012。

請注意，我們無須使用任何比特來表示底數(shù)2，因為浮點定義默認底數(shù)為2。通過將有效數(shù)字和指數(shù)分開，浮點表示法可以表示非常小或非常大的數(shù)字，無須存儲所有數(shù)字中含有的零。

表1-8顯示了4位的浮點表示法，其中2位為尾數(shù)，2位為指數(shù)。

雖然這個例子只使用了幾個位，但仍揭示了浮點表示法中存在的一些低效率問題。首先，存在很多浪費的位組合。例如，有四種方式表示0，有兩種方式表示1.0、2.0和4.0。其次，并不是每個數(shù)字都有表示它的位型，而且當數(shù)字變大時，指數(shù)會使數(shù)字之間的距離更大。這帶來的一個副作用是，我們可以把0.5和0.5相加得到1.0，但無法把0.5和6.0相加，因為沒有表示6.5的位型。（數(shù)學中有一個分支叫作數(shù)值分析，涉及對計算的不準確程度的跟蹤。）

1.6.3　IEEE浮點標準

奇怪的是，浮點表示法是表示實數(shù)的標準方法。浮點表示法使用的位比表1-8中使用的更多，而且有兩個符號，一個用于表示尾數(shù)，另一個隱藏的符號是指數(shù)的一部分。還存在很多技巧，可以確保像四舍五入這樣的運算盡可能地成功，并盡量減少浪費的位組合數(shù)量。名為IEEE 754的標準將所有這些都列了出來。IEEE（Institute of Electrical and Electronic Engineer）代表美國電氣電子工程師協(xié)會，它是一個專業(yè)組織，其業(yè)務(wù)包括制作標準。

我們希望在可用的位數(shù)下，最大限度地提高精度。有個巧妙的技巧叫作歸一化，它可以調(diào)整尾數(shù)，所以不需要前導（即在左邊）的零。每次調(diào)整尾數(shù)都需要對指數(shù)進行相應(yīng)的調(diào)整。第二種技巧來自數(shù)字設(shè)備公司（Digital Equipment Corporation, DEC），它扔掉了尾數(shù)最左邊的那一位（因為我們知道最左邊那一個位永遠是1），將精度提高了一倍，也多了一個位的空間。

你不需要知道IEEE 754標準所有煩瑣的細節(jié)。但你應(yīng)該知道經(jīng)常會遇到的兩種類型的浮點數(shù)：單精度浮點數(shù)和雙精度浮點數(shù)。單精度數(shù)字使用32位表示，可以表示大約在±10±38范圍內(nèi)的數(shù)字，可精確到7位數(shù)。雙精度數(shù)字使用64位表示，可以表示的數(shù)字范圍更廣，約在±10±308，可精確到15位數(shù)。圖1-13顯示了它們的排列方式。

這兩種格式都有一個符號位，即圖1-13中的S。可以看到，雙精度浮點數(shù)比單精度浮點數(shù)多了3個指數(shù)位，范圍是單精度的8倍。雙精度浮點數(shù)也比單精度浮點數(shù)多了29個尾數(shù)位，精度更高。然而，代價是雙精度浮點數(shù)要比單精度浮點數(shù)多占一倍的位數(shù)。

你可能已經(jīng)注意到，指數(shù)值沒有明確的符號位。IEEE 754的設(shè)計者將所有0和所有1的指數(shù)值都設(shè)計為有特殊意義，所以實際的指數(shù)值必須被壓縮到剩余的位型中。他們使用偏置（偏移）指數(shù)值來實現(xiàn)這點。對于單精度浮點數(shù)，偏移值是127，這意味著127（01111111）的位型代表指數(shù)值為0。1（00000001）的位型代表指數(shù)值為–126，254（11111110）的位型代表指數(shù)值+127。雙精度浮點數(shù)也類似，只不過它的偏移值為1 023。

IEEE 754的另一個方便之處是，它有特殊的位組合，可以表示除以0之類的東西，它的值為正負無窮大。它還指定了一個叫作NaN的特殊值，代表“不是數(shù)字”，所以如果你發(fā)現(xiàn)處于NaN狀態(tài)，可能意味著你做了一些不合理的算術(shù)運算。這些特殊的位組合使用了前面討論過的保留指數(shù)值。