3.5　空間問題中一點的應變狀態

已知物體內任一點P處的六個應變分量εx、εy、εz、γxy、γxz、γyz，有微小線段PN=dr，其方向余弦為l、m、n。該線段在坐標軸上的投影為dx=ldr，dy=mdr，dz=ndr，空間問題中一點的應變狀態如圖3-3所示。

設P點的位移分量為u、v、w，則N點的位移分量為

在變形之后，線段PN在坐標軸上的投影成為

命線段PN的正應變為εN，根據正應變的定義，該線段在變形之后的長度為dr+εNdr，由此得出

化簡，并略去微小量，得出

即

εN=l2εx+m2εy+n2εz+mnγyz+nlγzx+lmγxy　　（3-48）

設PN在變形之后的方向余弦為l1、m1、n1，得出

化簡后，得出

同理，可以得出

設PN′在變形之后的方向余弦為l′1、m′1、n′1，得出

命線段PN及PN′在變形之后的夾角為θ1，則

cosθ1=l1l′1+m1m′1+n1n′1

將l1、l′1、m1、m′1、n1、n′1、代入上述方程，得

cosθ1=（1-εN-εN′）cosθ+2（ll′εx+mm′εy+nn′εz）+（mn′+m′n）yyz+（nl′+ln′）γzx+（lm′+l′m）γxy

求出θ1以后，即可求得PN與PN′之間的夾角的改變為θ1-θ。