1.3　二進(jìn)制及其運(yùn)算

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計(jì)算機(jī)中所有的數(shù)據(jù)都是以二進(jìn)制來表示的，單片機(jī)中的數(shù)據(jù)也是如此。

1.二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制和十進(jìn)制

組成計(jì)算機(jī)的電子元件通常有兩種穩(wěn)定狀態(tài)，如電流的高或低、電路的導(dǎo)通或斷開等，這兩種狀態(tài)由0和1來表示，就形成了二進(jìn)制。所謂二進(jìn)制是指由0和1兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的進(jìn)制，每個(gè)數(shù)字的取值只能是0和1中的一個(gè)，要么是0要么是1，數(shù)值最大為1，超過1會(huì)產(chǎn)生進(jìn)位。計(jì)算機(jī)中所有的數(shù)據(jù)或指令都是采用二進(jìn)制來表示的。由于二進(jìn)制中數(shù)字符號(hào)很少，當(dāng)需要表達(dá)復(fù)雜的含義或是數(shù)據(jù)很大時(shí)，都需要增加二進(jìn)制數(shù)的位數(shù)才行。但這樣帶來的后果是指令長(zhǎng)度急劇增加，既不便于閱讀也不便于記憶。因此人們又發(fā)明了八進(jìn)制和十六進(jìn)制來簡(jiǎn)化二進(jìn)制的表達(dá)。八進(jìn)制包含由0到7八個(gè)符號(hào)，十六進(jìn)制包含由0到9再加上由A到F，共16個(gè)符號(hào)。這幾種進(jìn)制在日常生活中都不怎么使用，我們平時(shí)多使用的是十進(jìn)制。

在一種進(jìn)制表示當(dāng)中，只能使用一組固定的數(shù)字符號(hào)來表示數(shù)目的大小，具體使用多少個(gè)符號(hào)，這個(gè)數(shù)量被稱為數(shù)制的基數(shù)。如二進(jìn)制中需要使用0和1兩個(gè)符號(hào)，所以二進(jìn)制的基數(shù)就是2。類似地十六進(jìn)制需要使用0～9、A～F共16個(gè)符號(hào)，所以十六進(jìn)制的基數(shù)就是16；八進(jìn)制使用0～7共8個(gè)符號(hào)，其基數(shù)就為8；其余依此類推。一個(gè)符號(hào)處在數(shù)字中不同位置時(shí)所代表的值是不同的，這與人在不同的崗位就肩負(fù)不同的職責(zé)相似。每個(gè)符號(hào)所表示的數(shù)值等于該符號(hào)乘以一個(gè)與其所在位置相關(guān)的常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就稱為位權(quán)。位權(quán)值等于基數(shù)位置值。如十進(jìn)制數(shù)123，基數(shù)為10，數(shù)字1所在位置編號(hào)是2，則它的位權(quán)是102=100；數(shù)字2所在位置編號(hào)是1，則它的位權(quán)是101=10；數(shù)字3的位置編號(hào)是0，則它的位權(quán)就是100=1。

常用進(jìn)制信息及比較見表1-3。

2.十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

十進(jìn)制是人們?nèi)粘Ｉ钪惺褂玫倪M(jìn)制，而二進(jìn)制是計(jì)算機(jī)中使用的進(jìn)制，這二者之間需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換，才能使計(jì)算機(jī)接受輸入的數(shù)值。

十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，需要對(duì)整數(shù)部分和小數(shù)部分分別轉(zhuǎn)換，方法如下。

1）整數(shù)部分

十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)采用“除2取余”的方法，即用十進(jìn)制整數(shù)除以2，計(jì)算每次得到的余數(shù)，直至最后商為0為止，再將各步得到的余數(shù)由后向前排列，就是轉(zhuǎn)換得到的二進(jìn)制數(shù)。

例：（15）D=（1111）B。

2）小數(shù)部分

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)采用“乘2取整”的方法，即用十進(jìn)制小數(shù)部分乘以2，計(jì)算每次得到的整數(shù)部分，直到達(dá)到計(jì)算精度為止。將各步得到的整數(shù)從前向后依次排列并加上小數(shù)點(diǎn)，即為轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制小數(shù)。

例：（0.618）D=（0.1001）B。

對(duì)于帶有小數(shù)的十進(jìn)制數(shù)，進(jìn)行二進(jìn)制轉(zhuǎn)換時(shí)，要對(duì)整數(shù)部分和小數(shù)部分分開進(jìn)行轉(zhuǎn)換，最后將整數(shù)部分與小數(shù)部分組合，即為轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制數(shù)。

3.二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制

二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制，是將計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為人類可讀的數(shù)據(jù)。與上面的介紹相同，也要對(duì)整數(shù)部分與小數(shù)部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

1）整數(shù)部分

二進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制可以用每一位二進(jìn)制數(shù)乘以自己的位權(quán)后求代數(shù)和的方法來實(shí)現(xiàn)。

例：（101000101）B=（325）D。

1×28+0×27+1×26+0×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20=256+64+4+1=325

2）小數(shù)部分

二進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制也是用每一位二進(jìn)制數(shù)乘以自己的位權(quán)后求代數(shù)和的方法來實(shí)現(xiàn)。但要注意，小數(shù)點(diǎn)后數(shù)字位權(quán)中的指數(shù)，是從小數(shù)點(diǎn)開始向后數(shù)，依次遞減（即-1、-2、-3……）。

對(duì)于二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)也可以一次性完成。

例：（11.01011）B=（3.34375）D。

1×21+1×20+0×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4+1×2-5=2+1+1/4+1/16+1/64=3.34375

4.二進(jìn)制與其他進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換方法

1）二進(jìn)制與八進(jìn)制的轉(zhuǎn)換

八進(jìn)制和十六進(jìn)制是人類為了簡(jiǎn)化二進(jìn)制應(yīng)用而提出來的進(jìn)制方法。在計(jì)算機(jī)中只能識(shí)別二進(jìn)制。

二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制的方法比較簡(jiǎn)單，可以將二進(jìn)制數(shù)字從低位起，每3位分為一組，然后再將每組內(nèi)的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制字符即可。

例：（1011001110）B=（1316）O。

將1011001110從右至左，每3位分成一組，即001｜011｜001｜110，最前面一組不夠3位時(shí)，可以用零補(bǔ)位。然后將各組二進(jìn)制數(shù)按照上面轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制整數(shù)的方法，各組分別轉(zhuǎn)換，并將轉(zhuǎn)換后得到的數(shù)字排列在一起，即為轉(zhuǎn)換得到的八進(jìn)制數(shù)。

要將八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，同樣只要將每一位八進(jìn)制字符轉(zhuǎn)換為與其等值的3位二進(jìn)制數(shù)即可。

例：（2534）O=（10101011100）B。

將2534中的每個(gè)數(shù)字分別轉(zhuǎn)換為3位二進(jìn)制數(shù)（不足3位，在數(shù)字前面填零），然后再將結(jié)果組合起來，就是最終的結(jié)果。2轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制為010，5轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制為101，3轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制為011，4轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制為100。

2）二進(jìn)制與十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換

二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制的方法與二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制的方法類似，從低位開始，每4位分一組，然后將每組內(nèi)的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)即可。

例：（1011001110）B=（2CE）H。

將1011001110從右至左，每4位分成一組，即0010｜1100｜1110，最前面一組不夠4位時(shí)，可以用零補(bǔ)齊。然后將各組二進(jìn)制數(shù)按照轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制整數(shù)的方法，各組分別轉(zhuǎn)換，并將轉(zhuǎn)換后得到的數(shù)字排列在一起，即為轉(zhuǎn)換得到的十六進(jìn)制數(shù)。

要將十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，只需將對(duì)應(yīng)的每一位十六進(jìn)制字符轉(zhuǎn)換為與其相等的4位二進(jìn)制數(shù)即可。

例：（2534）H=（10010100110100）B。

將2534中的每個(gè)數(shù)字分別轉(zhuǎn)換為4位二進(jìn)制數(shù)（不足4位，在數(shù)字前面補(bǔ)零），然后再將結(jié)果組合起來，就是最終的結(jié)果。2轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制為0010，5轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制為0101，3轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制為0011，4轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制為0100。

5.二進(jìn)制的位運(yùn)算

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位運(yùn)算是指對(duì)構(gòu)成二進(jìn)制數(shù)字的每一位進(jìn)行的運(yùn)算。在單片機(jī)的控制中，經(jīng)常會(huì)用到二進(jìn)制的位運(yùn)算。二進(jìn)制的位運(yùn)算主要有以下幾種，如表1-4所示。

1）與運(yùn)算

參與運(yùn)算的兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)位進(jìn)行與運(yùn)算。其運(yùn)算規(guī)則如下：

0&0=0　0&1=0　1&0=0　1&1=1

可歸納為：參與運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)都為1，結(jié)果才為1，否則為0。換一個(gè)角度，也可以這樣總結(jié)：任何數(shù)字（1或0）與0相與，結(jié)果一定是0；任何數(shù)字（1或0）與1相與，結(jié)果仍是原數(shù)字本身。

例：（10100110）B&（01100101）B=（00100100）B。

在單片機(jī)應(yīng)用開發(fā)中，使用按位與運(yùn)算可以達(dá)到某些特殊的效果，比如要將原數(shù)字中的某幾位清0，只需讓它與另外一個(gè)對(duì)應(yīng)位為0其余位為1的數(shù)字按位與，即可達(dá)到這樣的效果。如將110101中的第2位和第4位清0，其余位不變，則只需110101與101011相與即可。（注：說明第幾位時(shí)，是從右邊第0位數(shù)起的。）

2）或運(yùn)算

或運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則如下：

0|0=0　0|1=1　1|0=1　1|1=1

可歸納為：參與或運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)都為0，結(jié)果才為0，否則為1。換一個(gè)角度，也可以這樣總結(jié)：任何數(shù)字（1或0）與0相或，結(jié)果仍是原數(shù)字本身；任何數(shù)字（1或0）與1相或，結(jié)果一定是1。

例：（10100110）B｜（01100101）B=（11100111）B。

在單片機(jī)應(yīng)用開發(fā)中，使用按位或運(yùn)算可以達(dá)到將原數(shù)字的某幾位置1其余位不變的效果。如將110101中的第1位置1其余位不變，則只需110101與000010按位或即可實(shí)現(xiàn)。

3）異或運(yùn)算

異或運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則如下：

0^0=0　0^1=1　1^0=1　1^1=0

可歸納為：參與異或運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)不同，結(jié)果就為1，否則就為0。換一個(gè)角度，也可以這樣總結(jié)：任何數(shù)字（1或0）與0異或，結(jié)果仍是原數(shù)字本身；任何數(shù)字（1或0）與1異或，結(jié)果是原數(shù)字的翻轉(zhuǎn)；

例：（10100110）B ^（01100101）B=（11000011）B。

在單片機(jī)應(yīng)用開發(fā)中，使用異或運(yùn)算可以將原數(shù)字中的某幾位實(shí)現(xiàn)翻轉(zhuǎn)的效果。如將110101中的低4位實(shí)現(xiàn)翻轉(zhuǎn)，其余位不變，則只需110101與001111按位異或即可實(shí)現(xiàn)。

4）非運(yùn)算

非運(yùn)算又稱取反運(yùn)算，非運(yùn)算只有一個(gè)運(yùn)算對(duì)象。其運(yùn)算規(guī)則如下：

～1=0　～0=1

將某一個(gè)二進(jìn)制數(shù)取反，只需要將對(duì)應(yīng)位依次取反就可以了。

例：～（10100110）B=（01011001）B。

取反運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)比較高，一般來講有取反運(yùn)算的要先取反運(yùn)算。如～a&b，這里要先進(jìn)行a的取反，然后再進(jìn)行與運(yùn)算。

5）移位運(yùn)算

移位運(yùn)算包括左移位和右移位，二者的運(yùn)算方法相同，只是移位的方向不同。

左移位時(shí)原數(shù)字的各位向左移動(dòng)，右側(cè)用0補(bǔ)齊空位；右移位時(shí)原數(shù)字的各位向右移動(dòng)，左側(cè)用0或1補(bǔ)位（原數(shù)字為正數(shù)用0補(bǔ)位，原數(shù)字為負(fù)數(shù)用1補(bǔ)位）。

例：左移位（10100110）B<<2=（10011000）B

　　右移位（10100110）B>>2=（11101001）B

左移1位相當(dāng)于原數(shù)字乘以2，右移1位相當(dāng)于原數(shù)字除以2。

二進(jìn)制的位運(yùn)算在單片機(jī)應(yīng)用的開發(fā)過程中非常有用，很多看似復(fù)雜的操作，其實(shí)就是幾種位運(yùn)算的復(fù)合，比如X^（1<<（n-1）），配合循環(huán)語句就能實(shí)現(xiàn)X中的每一位數(shù)字的逐次翻轉(zhuǎn)。有關(guān)二進(jìn)制的位運(yùn)算，需要讀者開動(dòng)腦筋多做練習(xí)，舉一反三，熟能生巧。