九章筭術序〔1〕

劉徽

昔在包犧氏始畫八卦〔2〕 ，以通神明之德，以類萬物之情〔3〕 ，作九九之術〔4〕 ，以合六爻之變〔5〕 。暨于黃帝神而化之〔6〕 ，引而伸之〔7〕 ，于是建歷紀，協律呂〔8〕 ，用稽道原〔9〕 ，然后兩儀四象精微之氣可得而效焉〔10〕 。記稱“隸首作數”〔11〕 ，其詳未之聞也。按：周公制禮而有九數〔12〕 ，九數之流，則《九章》是矣〔13〕 。往者暴秦焚書，經術散壞〔14〕 。自時厥后〔15〕 ，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善筭命世〔16〕 。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補〔17〕 。故校其目則與古或異〔18〕 ，而所論者多近語也〔19〕 。

【注釋】

〔1〕筭：系南宋本、大典本原文，戴震輯錄本改作“算”字，全書同。《宜稼堂叢書》本楊輝《詳解九章算法》、《諸家算法及序記》及其后諸本均作“算”。筭：本指算籌。《說文解字》：“筭，長六寸，計歷數者。從竹，從弄，言常弄乃不誤也。”又同算。《爾雅》：“筭，數也。”陸德明《經典釋文》：“筭，字又作算。”算：數，計算。《說文解字》：“算，數也。從竹，從具，讀若筭。”王筠釋例：筭、算“二字經典通用”。清中葉以前的數學著作中，大都用“筭”，鮮有用“算”字者。1983年底荊州張家山漢墓出土的《筭數書》竹簡、岳麓書院藏秦簡《數》、北京大學藏秦簡《筭書》等也統統用“筭”。戴震自《永樂大典》輯錄漢唐算經，始將全部的“筭”改作“算”字，無一例外。

〔2〕包犧氏：又作庖犧氏、伏羲氏、宓羲、伏戲，又稱犧皇、皇羲。神話中的人類始祖，人類由他與其妹女媧婚配而產生。教民結網，漁獵畜牧，又畫八卦，反映中國原始社會早期的文明情況。　　始：曾，嘗。　　八卦：《周易》中的八種符號。《周易》中構成卦的橫畫叫作爻。 是陽爻， 是陰爻。每三爻合成一卦，可得八卦： （乾）， （震）， （兌）， （離）， （巽）， （坎）， （艮）， （坤）。分別象征天，雷，澤，火，風，水，山，地，代表一定屬性的若干事務。其中乾與坤，震與巽，坎與離，艮與兌是對立的。兩卦相疊，成為六十四卦，象征自然界和社會現象的發展變化。

〔3〕以通神明之德，以類萬物之情：為的是通達客觀世界變化的規律，描摹其萬物的情狀。語出《周易·系辭下》。此后“通神明”、“類萬物”遂成為中國古代關于數學兩種作用的傳統思想。神明，本來指主宰自然界和人類社會變化的神靈，后來演變為古代哲學用以說明變化的術語。《管子·內業》認為精氣“流于天地之間，謂之鬼神”。《周易·系辭下》云：“陰陽合德，而剛柔有體，以體天地之變，以通神明之德。”進而將通過事物的變化預測未來的能力稱為神。《周易·系辭下》云“陰陽不測之謂神”。其人格神的意義已相當弱，成為哲學術語。雖然，“通神明”的作用還是會將數學導向象數學，而“類萬物”則是描繪萬物的數量關系，是中國古典數學的主要作用。德，客觀規律。類，象，相似，像。

〔4〕九九：即九九乘法表。因古代自“九九八十一”始，故名“九九”；元朱世杰《筭學啟蒙》（1299）始，才改為從“一一如一”起。李籍《九章筭術音義》（本書以下凡云“李籍云”者，均出《九章筭術音義》）引《漢書·梅福傳》云：“臣聞齊桓之時，有以九九見者，桓公不逆，欲以致大也。”后亦指數學。李籍引師古曰：“九九算術，若今《九章》、《五曹》之輩。”李冶云：《測圓海鏡》“雖九九小數，后世必有知者。”術：方法，解法，算法，程序，宋元時期又稱為“法”。“術”的本義是邑中的道路。《說文解字》：“術，邑中道也。”《墨子·旗幟》：“巷術周道者，必為之門。”進而指一般的道路，再引申為途徑，《禮記·樂記》：“應感起物而動，然后心術形焉。”又引申為解決問題的途徑，這就是方法、手段。《禮記·祭統》：“惠術也，可以觀政矣。”《淮南子·人間訓》：“見本而知末，觀指而睹歸，執一而應萬，握要而治詳，謂之術。”這里的“術”與《九章筭術》的“術”同義。筆者與林力娜（K. Chemla）博士的中法雙語評注本《九章筭術》將“術”譯為procédure，而將《九章筭術》譯為Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques ，相應的英譯為The Nine chapters of mathematical procedures ，見Introduction of Jade Mirror of the Four Unknowns （漢英對照《四元玉鑒》前言，遼寧教育出版社，2006年）。英國李約瑟（Joseph Needham）博士主編的《中國科學技術史》第三卷將《九章筭術》的“術”理解為“技藝”，因而將其翻譯為The Nine Chapters on the Mathematical Art 。李籍云：“術者，有所述也。”亦未得要領。

〔5〕六爻：將八卦中每兩卦相疊所構成的卦象。每卦含有陰陽交錯的六個爻，故名。凡有六十四卦。

〔6〕暨：及，至，到。《玉篇》：“暨，至也。”黃帝：姬姓，號軒轅氏，有熊氏，傳說中的中華民族祖先。相傳敗炎帝，殺蚩尤，被擁戴為部落聯盟首領，以代神農氏。命大橈作甲子，容成造歷，羲和占日，常儀占月，臾區占星氣，伶倫造律呂，隸首作算數。相傳蠶桑、醫藥、舟車、宮室、文字等之制，皆創始于黃帝之時，反映了新石器時代的情況。　　神而化之：神妙地使之潛移默化。語出《周易·系辭下》：“黃帝堯舜氏作，通其變，使民不倦，神而化之，使民宜之。”

〔7〕引而伸之：語出《周易·系辭上》：“引而伸之，觸類而長之，天下之能事畢矣。”

〔8〕歷：推算日月星辰運行及季節時令的方法，又指歷書。　　紀：古代紀年月的單位，十二年為一紀。《書經·畢命》：“既歷三紀，世變風移。”孔傳：“十二年曰紀。”亦有以二十五個月、一千五百年等為一紀的。　　律呂：樂律、音律的統稱。律，本是古代用來校正樂音標準的管狀儀器。以管的長短來確定音階。從低音算起，有十二根管，成奇數的六根管黃鐘、太蔟、姑洗、蕤賓、夷則、無射叫律，成偶數的六根管大呂、夾鐘、仲呂、林鐘、南呂、應鐘叫呂，統稱十二律。

〔9〕用稽道原：用以考察道的本原。稽，考核，調查。《書經·大禹謨》：“無稽之言勿聽。”

〔10〕兩儀：指天、地。《周易·系辭上》：“是故易有太極，是生兩儀。”宋儒又謂指陰、陽。　　四象：指金、木、水、火。《周易·系辭上》：“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”王弼注：“四象謂金、木、水、火。震木、離火、兌金、坎水，各主一時。”宋儒又謂指太陽、太陰、少陽、少陰。　　精微：精深微妙。《禮記·經解》：“絜靜精微，《易》教也。”氣：古代的哲學概念。諸家理解不一。一指主觀精神。一指形成宇宙萬物的最根本的物質實體。《周易·系辭上》：“精氣為物，游魂為變。”劉徽當用后者之義。

〔11〕記：典籍。這里當指《世本》。《世本》云：“隸首作數。”一作“隸首作算數”。　　隸首：相傳為黃帝的臣子。　　數：算學、數學。

〔12〕周公：周初政治家，名姬旦，協助周武王滅商，后又輔佐周成王。相傳他制定了周朝的典章禮樂制度。　　九數：古代數學的九個分支。東漢末鄭玄《周禮注》引東漢初鄭眾云：“九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要。今有重差、夕桀、句股也。”唐陸德明等謂“夕桀”非鄭注。周公制禮時會有稱為“九數”的數學九個分支，但不會完全同于二鄭所云“九數”。李籍云：九數“即《九章》也。以算言之，故曰九數；以篇言之，故曰《九章》。”

〔13〕九數之流，則《九章》是矣：劉徽認為，“九數”在先秦已經發展為《九章筭術》。此種《九章筭術》已不存，現存《九章筭術》中采取術文統率例題部分的大多數內容應是它的主要部分。流，本義是水的流動，引申為演變，變化。

〔14〕暴秦焚書：秦始皇于三十四年（前213）采納李斯建議，下令除秦記、醫藥、卜筮、種樹書外，民間所藏所有《詩》、《書》和百家書皆交地方官三十六天內焚毀，是為對中國文化的一次極大破壞。不過，秦末戰亂尤其是項羽的焚燒擄掠對先秦經典的破壞不會亞于秦始皇焚書。劉徽認為，《九章筭術》在秦始皇焚書時遭到破壞。

〔15〕厥：之。《書經·無逸》：“自時厥后，亦罔或克壽。”

〔16〕北平：西漢初侯國。高祖封張蒼為北平侯，屬中山國，治所在今河北滿城北。　　大司農中丞：大司農屬官，漢武帝太初元年（前104）置，掌財政支出，均輸漕運事。　　命世：著名于世。

〔17〕稱：述說，聲言。《史記·屈原賈生列傳》：“上稱帝嚳，下道齊桓，中述湯武，以刺世事。”　　刪補：刪節補充。張蒼與耿壽昌對《九章筭術》刪節的內容，是不是刪去了某些定義與推理，不可詳考。但是，卷三衰分章的非衰分問題，卷六均輸章的非均輸問題，卷九勾股章的解勾股形問題，即采取應用問題集形式的內容，以及帶有漢代特征的某些問題肯定是他們補充的。

〔18〕故校其目則與古或異：劉徽考校了張蒼、耿壽昌等刪補的《九章筭術》與各種資料，發現其目錄與先秦的《九章筭術》有所不同。

〔19〕所論者多近語：此謂張蒼、耿壽昌用西漢的語言改寫了先秦的文字。

【譯文】

從前，包犧氏曾制作八卦，為的是通達客觀世界變化的規律，描摹其萬物的情狀；又作九九之術，為的是符合六爻的變化。及至黃帝神妙地使之潛移默化，將其引申之，于是建立歷法的綱紀，校正律管使樂曲和諧。用它們考察道的本原，然后兩儀、四象的精微之氣可以效法。典籍記載隸首創作了算學，其詳細情形沒有聽說過。按：周公制定禮樂制度時產生了九數。九數經過發展，就成為《九章筭術》。過去，殘暴的秦朝焚書，導致經、術散壞。自那以后，西漢的北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以擅長算學而著名于世。張蒼等人憑借殘缺的原有文本，先后進行刪削補充。這就是為什么對校它的目錄，則有的地方與古代不同，而論述中所使用的大多是近代的語言。

徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂〔1〕 ，總筭術之根源〔2〕 ，探賾之暇〔3〕 ，遂悟其意〔4〕 。是以敢竭頑魯〔5〕 ，采其所見〔6〕 ，為之作注。事類相推〔7〕 ，各有攸歸〔8〕 ，故枝條雖分而同本干知〔9〕 ，發其一端而已〔10〕 。又所析理以辭〔11〕 ，解體用圖〔12〕 ，庶亦約而能周，通而不黷〔13〕 ，覽之者思過半矣〔14〕 。且筭在六藝〔15〕 ，古者以賓興賢能〔16〕 ，教習國子〔17〕 。雖曰九數〔18〕 ，其能窮纖入微，探測無方〔19〕 。至于以法相傳〔20〕 ，亦猶規矩度量可得而共〔21〕 ，非特難為也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜于此耳。

【注釋】

〔1〕陰陽：中國古代思想家用以解釋自然界和宇宙萬物中兩種既對立又互相聯系、消長的氣或物質勢力的術語。《老子·第四十二章》：“萬物負陰而抱陽。”《周易·系辭上》：“陰陽不測之謂神。”一切現象都有正反兩個方面，凡是天地、日月、晝夜、男女、上下、君臣乃至臟腑、氣血等均分屬陰陽。數學上互相對立又聯系的概念，如法與實，數的大與小，整數與分數，正數與負數，盈與不足，圖形的表與里，方與矩，等等，都分屬陰陽。劉徽考察了數學中陰陽的對立、消長，才能找到數學的根源。

〔2〕筭術：清中葉后稱“算術”，即今之數學，含有今之算術、代數、幾何三角等各個分支的內容。最先見之于《周髀筭經》卷上陳子語“此皆筭術之所及”。“筭術”即“筭數之術”，陳子又曰：“筭數之術，是用智矣。”

〔3〕探賾（zé）：探索奧秘。賾，幽深玄妙。李籍云：“賾者，含蓄。含蓄者，探之可及。故《易》曰‘探賾’。”李籍《九章筭術音義》此條下尚有“索隱”條，今傳本劉徽序中無“索隱”二字。

〔4〕悟其意：領會了它的思想。這里指劉徽自己的數學思想和數學創造。

〔5〕頑魯：頑劣愚鈍。這是劉徽的自謙之辭。

〔6〕采其所見：搜集采納我所見到的數學知識和資料。由此可見，劉徽注盡管是劉徽寫的，但是可以分成兩部分：一是他自己的數學創造，即“悟其意”者；二是他以前或同代人的數學知識。有人因否認劉徽注中包含了前人的工作，將“采其所見”翻譯成“就提出自己的見解”，顯然是曲解。

〔7〕推：推求，推斷。墨家的一種邏輯術語，《墨子·小取》：“推也者，以其所不取之同于其所取者予之也。”相當于歸納與演繹兩種推理形式相結合的推理方式。劉徽深受墨家的影響，在論證《九章筭術》與他自己提出的算法、命題，以及考察各種數學概念和命題的關系時，既使用歸納推理，也使用演繹推理，并且以后者為主，有時也采取兩者結合的方式。“推”在劉徽注不同處有不同的意義。

〔8〕攸歸：所歸。攸，助詞，在動詞前與其組成名詞性詞組，相當于“所”。《詩經·大雅·靈臺》：“王在靈囿，麀鹿攸伏。”鄭玄注：“攸，所也。”

〔9〕知：訓者。李學勤認為，古籍“者”與“之”互訓，用為指事之詞。而“知”作為語詞，則與“之”通。故“知”也可用作指事之詞，與“者”義同。

〔10〕一端：一個開端。端，首，開頭。《禮記·禮運》：“故人者，天地之心也，五行之端也。”孔穎達疏：“端，首也。”

〔11〕析理：初見于《莊子·天下篇》：“判天地之美，析萬物之理。”但沒有方法論的意義。而到魏晉時代，它卻成為正始之音和辯難之風的代名詞。學術界一般認為，“析理”是郭象（？—312）注《莊子》時概括出來的。實際上，劉徽使用“析理”比郭象早。

〔12〕解體：分解形體。劉徽著有《九章重差圖》一卷，已亡佚。

〔13〕通而不黷（dú）：通達而不繁瑣。黷，頻繁，多次。《中華大字典》此字的最早例句即劉徽此語。

〔14〕思過半：語出《周易·系辭下》：“知者觀其彖辭，則思過半矣。”

〔15〕六藝：禮、樂、射、馭、書、數，是為周代貴族子弟所受教育的六門主要課程。《周禮·地官司徒》云六藝：“一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數。”說明數學在商周之交已形成一門學科。

〔16〕賓興：周代舉賢之法。謂鄉大夫自鄉小學舉薦賢能而賓禮之，以升入國學。《周禮·地官·大司徒》：“以鄉三物教萬民而賓興之。”鄭玄注：“興，猶舉也。”

〔17〕國子：公卿大夫的子弟。《周禮·地官·師氏》：“以三德教國子。”鄭玄注：“國子，公卿大夫之子弟。”

〔18〕東漢鄭玄（127—200）引鄭眾（？—83）《周禮注》曰：“九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要。今有重差、夕桀、句股也。”唐陸德明認為“夕桀”系衍文。

〔19〕無方：沒有止境。方，境，邊境。

〔20〕法：方法。這里指數學方法。

〔21〕規矩度量可得而共：就是說空間形式和數量關系中那些可以得到并且有共性的東西。規，是畫圓的工具。矩，是畫方的工具。圖0-1為女媧伏羲執規矩圖。這里引申為反映事物的空間形式。《尸子》說倕作規矩。《墨子·天文志》云：“輪匠執其規矩，以度天下之方圓。”后來規矩也成了漢語中表示標準、法則，甚至道德規范的常用詞。度量，度量衡。用度量衡量度某物，得到其長度、容積和重量，反映事物的數量關系。因此，規矩、度量就是人們常說的空間形式和數量關系。眾所周知，中國古代，所有的幾何問題都考慮其數量關系，都要化成算術或代數問題解決。劉徽的話高度概括了中國古典數學幾何與算術、代數相結合的特點。

【譯文】

我童年的時候學習過《九章筭術》，成年后又作了詳細研究。我考察了陰陽的區別對立，總結了算術的根源，在窺探它的深邃道理的余暇時間，領悟了它的思想。因此，我不揣冒昧，竭盡愚頑，搜集所見到的資料，為它作注。各種事物按照它們所屬的類別互相推求，分別有自己的歸宿。所以，它們的枝條雖然分離而具有同一個本干的原因就在于都發自于一個開端。如果用言辭表述對數理的分析，用圖形表示對立體的分解，那差不多就會使之簡約而周密，通達而不繁瑣，凡是閱讀它的人就能理解其大半的內容。而算學是六藝之一，古代以它舉薦賢能的人而賓禮之，教育貴族子弟；雖然叫作九數，其功用卻能窮盡非常細微的領域，探求的范圍是沒有極限的；至于世代所傳的方法，只不過是規、矩、度、量中那些可以得到并且有共性的東西，并不是特別難以做到的。現在喜歡算學的人很少，所以世間雖然有許多通才達學，卻不一定能對此融會貫通。

《周官·大司徒》職〔1〕 ，夏至日中立八尺之表〔2〕 。其景尺有五寸，謂之地中〔3〕 。說云，南戴日下萬五千里〔4〕 。夫云爾者，以術推之〔5〕 。按《九章》立四表望遠及因木望山之術〔6〕 ，皆端旁互見〔7〕 ，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施于此也〔8〕 。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差〔9〕 、句股〔10〕 ，則必以重差為率〔11〕 ，故曰重差也。立兩表于洛陽之城〔12〕 ，令高八尺，南北各盡平地，同日度其正中之時。以景差為法〔13〕 ，表高乘表間為實〔14〕 ，實如法而一〔15〕 。所得加表高，即日去地也〔16〕 。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也〔17〕 。以南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也〔18〕 。以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長短以為股率，以筒徑為句率，日去人之數為大股，大股之句即日徑也〔19〕 。雖夫圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉〔20〕 。徽以為今之史籍且略舉天地之物，考論厥數，載之于志〔21〕 ，以闡世術之美，輒造《重差》〔22〕 ，并為注解，以究古人之意，綴于《句股》之下。度高者重表〔23〕 ，測深者累矩〔24〕 ，孤離者三望〔25〕 ，離而又旁求者四望〔26〕 。觸類而長之〔27〕 ，則雖幽遐詭伏，靡所不入〔28〕 。博物君子〔29〕 ，詳而覽焉。

【注釋】

〔1〕周官：即《周禮》，相傳周公所作。學術界一般認為是戰國時期的作品。　　職：記，志。《史記·屈原賈生列傳》：“章畫職墨兮，前度未改。”司馬貞索隱：“《楚辭》職作志。志，念也。”

〔2〕日中：一天的正中午，相當于今中午12點。　　表：古代測望用的標桿。

〔3〕景（yǐnɡ）：后作“影”。《周禮·大司徒》：“以土圭之法，測土深，正日景以求地中。”地中：大地的中心。

〔4〕此“說”指鄭玄《周禮注》的有關內容。　　南戴日下：即夏至日中太陽直射地面之處。

〔5〕推：計算。《淮南子·本經訓》：“星月之行，可以歷推得也。”

〔6〕立四表望遠、因木望山：系《九章筭術》勾股章的兩個題目。

〔7〕端旁：某點或側面。

〔8〕原其指趣：推究它的宗旨。原，推求本原，推究。《易經·系辭下》：“《易》之為書也，原始要終，以為質也。”指趣，宗旨，意義。王充《論衡·案書》：“《六略》之錄，萬三千篇，雖不盡見，指趣可知。”

〔9〕重（chónɡ）差：鄭眾所說漢代發展起來的數學分支之一。因重表法的基本公式（見注〔16〕公式0-1，注〔17〕公式0-2）要用到兩表影長之差l 2 -l 1 ，及兩表到目的物的距離之差即兩表間距l ，故名。李籍云“重，復也”，又云差“楚佳切”，是對的。但又云“差，不齊也”，則不當。

〔10〕句股：明清之后作“勾股”，鄭眾所說漢代發展起來的數學分支之一，張蒼等將其編入《九章筭術》，并將旁要納入其中。

〔11〕必以重差為率：必須以重差建立率。率，參見卷一經分術注〔8〕。李籍云，率“約數也”，不妥。

〔12〕洛陽：今屬河南省。中國古都，東周、東漢等建都于此。

〔13〕法：這里指除數。“法”的本義是標準。《管子·七法》：“尺寸也，繩墨也，規矩也，衡石也，斗斛也，角量也，謂之法。”除法實際上是用同一個標準分割某些東西，這個標準數量就是除數，故稱為“法”。后來的開方式即一元方程的一次項也稱為法。

〔14〕乘：本義是登，升。《釋名》：“乘，升也，登亦如之也。”引申為加其上。進而引申為乘法運算。　　實：這里指被除數。中國古典數學密切聯系實際，被分割的東西，即被除數，都是實際存在的，故稱為“實”。后來被開方數和開方式、方程即線性方程組的常數項也稱為實。

〔15〕實如法而一：亦稱實如法得一。實中如果有與法相等的部分就得一，那么實中有幾個與法相等的部分就得幾，故除法的過程稱為“實如法而一”或“實如法得一”。除法的表示從先秦到西漢有一個發展規范的過程。由《數》、《筭書》、《筭數書》知道，在先秦，除法的表示方式是不統一的，有的沒有“法”、“實”的名稱，有的只指出“法”，或只指出“實”，有的指出了“法”與“實”，卻沒有術語“實如法”，有的則“法”、“實”、“實如法而一”或“實如法得一尺（或其他單位）”俱全。張蒼等整理《九章筭術》時，將抽象性的算法表示成“實如法而一”或“實如法得一”，而具體的計算常用“實如法得一尺（或其他單位）”。

〔16〕所得加表高，即日去人也：此處給出了日到地面的距離。如圖0-2，設日為P ，日去地距離PQ =H ；南表為AC ，影長為BC =l 1 ；北表EG ，影長GF =l 2 ，AC =EG =h ；兩表間距CG =l 。此即重差術求日去地距離的公式

〔17〕“以南表之景”三句：此處給出了南表至日直射處的距離。設南表至日直射處的距離CQ 為L ，此即重差術求南表至日直射處距離的公式

〔18〕“以南戴日下”三句：此處給出了日到人的距離。設日去人的距離PB =m ，利用勾股術，即求出日去人的距離 。

〔19〕“以徑寸之筒”六句：如圖0-3，設日徑為D ，筒徑為d ，筒長為q ，由于以筒徑和筒長為勾、股的勾股形與以日徑和人去日為勾、股的勾股形相似，根據勾股“相與之勢不失本率”的原理（即對應邊成比例，見卷九）得到 。

〔20〕泰山：五岳之首，位于山東省泰安東。據筆者考證，劉徽確實測望過泰山之高、遠。《海島筭經》的第1問的原型當是泰山。蓋此問的海島去表102里150步，島高4里55步。以1魏尺合今23.8厘米計算，分別是43 911米和1 792.14米。有人以為這是山東沿海的某島嶼。實際上，不僅山東，就是全中國也找不到如此高且距大陸這么近的海島。而泰山玉皇頂今實測為1 536米，其南偏西方向十分陡峭，7公里外的泰安城的海拔即下降到130多米。到大汶河兩岸，今肥城的城宮一帶海拔僅為72米，與玉皇頂之間沒有任何障礙物，泰山恰似一海島，如圖0-4。清阮元（1764—1849）曾用重差術測望過泰山，測得泰山高233丈5寸 分（裁衣尺），以清裁衣尺1尺35.50厘米計算，為827.36米。劉徽所測與實測之誤差比阮元小得多。參見郭書春《劉徽測望過泰山之高嗎》，載《泰山研究論叢》（五），第265—277頁，青島海洋大學出版社，1992年。收入《郭書春數學史自選集》上冊，山東科學出版社，2018年版。

〔21〕志：指各種正史中的志書，主要是“地理志”等篇章。

〔22〕《重差》：后來單行，因第1問為測望一海島之高、遠，故名之曰《海島筭經》，為十部算經之一。南宋本《海島筭經》已失傳。今傳本是戴震從《永樂大典》輯錄出來的，只有9問。圖及劉徽自注已佚。

〔23〕重表：即重表法，是重差術最主要的測望方法。上述測日及《海島筭經》望海島問都用重表法。

〔24〕累矩：即累矩法，是重差術的第二種測望方法，《海島筭經》望深谷問即用此法。此外還有連索法，《海島筭經》望方邑問即用此法。望海島、望方邑、望深谷都是二次測望問題，重表、連索、累矩是重差術的三種最主要的測望方法。

〔25〕《海島筭經》望松、望樓、望波口、望津等4問是三次測望問題。

〔26〕《海島筭經》望清澗、登山臨邑等2問是四次測望問題。

〔27〕觸類而長（zhǎnɡ）：掌握一類事物的知識，就能據此增加同類事物的知識。語出《周易·系辭上》：“引而伸之，觸類而長之，天下之能事畢矣。”

〔28〕雖幽遐詭伏，靡所不入：雖然深遠而隱秘不露，沒有不契合的。幽，深。《爾雅》：“幽，深也。”遐，遠。《爾雅》：“遐，遠也。”詭伏，奇異而隱秘不露。靡，無，沒有。《爾雅》：“靡：無也。”入，合，契合。

〔29〕博物君子：博學多識的人。《左傳》昭公元年：“晉侯聞子產之言，曰：博物君子也。”博物，通曉眾物。

【譯文】

《周官·大司徒》記載，夏至這天中午豎立一根高8尺的表，若其影長是1尺5寸，這個地方就稱為大地的中心。《周禮注》說：此處到南方太陽直射處的距離是15 000里。這樣說的理由，是由術推算出來的。按：《九章筭術》“立四表望遠”及“因木望山”等問的方法，所測望的目標的某點或某方面的數值都是互相顯現的，沒有像這樣遙遠渺茫的類型。如此說來，張蒼等人所建立的方法還不足以窮盡算學所有的分支。我發現九數中有“重差”這一名目，推求其宗旨的本原，就是施用于這一類問題的。凡是測望極高、極深而同時又要知道它的遠近的問題必須用重差、勾股，那么必定以重差形成率，所以叫作重差。在洛陽城豎立兩根表，高都是8尺，使之呈南北方向，并且都在同一水平地面上。同一天中午測量它們的影子。以它們的影長之差作為法。以表高乘兩表間的距離作為實。實除以法，所得到的結果加表高，就是太陽到地面的距離。以南表的影長乘兩表間的距離作為實。實除以法，就是南表到太陽直射處的距離。以南表到太陽直射處的距離及太陽到地面的距離分別作為勾和股，求與之相應的弦，就是太陽到人的距離。用直徑1寸的竹筒向南測望太陽，讓太陽恰好充滿竹筒的空間，則以如此確定的竹筒的長度作為股率，以竹筒的直徑作為勾率；以太陽到人的距離作為大股，那么與大股相應的勾就是太陽的直徑。即使是圓穹的天象都是可以測度的，又何況泰山之高與江海之廣呢！我認為，當今的史籍尚且略舉天地間的事物，考論它們的數量，記載在各種志書中，以闡發人世間法術的美妙，于是我特地撰著《重差》一卷，并且為之作注解，以推尋古人的意圖，綴于《勾股》之下。測望某目標的高用二根表，測望某目標的深用重疊的矩，對孤立的目標要三次測望，對孤立的而又要求其他數值的目標要四次測望。通過類推而不斷增長知識，那么，即使是深遠而隱秘不露，沒有不契合的。博學多識的君子，請仔細地閱讀吧！