第一部分　數　學

孿生素數猜想⁽¹⁾

2003年3月28日，在美國數學研究所（American Institute of Mathematics）位于加州帕洛阿爾托（Palo Alto）的總部，一群來自世界各地的數學家懷著極大的興趣聆聽了圣荷西州立大學（San José State University）數學教授戈德斯通（Daniel Goldston）所做的一個學術報告。在這個報告中，戈德斯通介紹了他和土耳其海峽大學（ University）的數學家伊爾迪里姆（Cem Y?ld?r?m）在證明孿生素數猜想（twin prime conjecture）方面所取得的一個進展。這一進展——如果得到確認的話——將把人們在這一領域中的研究大大推進一步。

那么，什么是孿生素數（twin prime）？什么是孿生素數猜想？戈德斯通和伊爾迪里姆所取得的進展又是什么呢？本文將對這些問題做一個簡單介紹。

要介紹孿生素數，首先當然要說一說素數（prime number）這一概念。素數是除了1和自身以外沒有其他因子的自然數。在數論中，素數可以說是最純粹、也最令人著迷的概念。關于素數，一個最簡單的事實就是：除了2以外，所有素數都是奇數（因為否則的話，除了1和自身以外還會有一個因子2，從而不滿足定義）。由這一簡單事實可以得到一個簡單推論，那就是：大于2的兩個相鄰素數之間的最小可能的間隔是2。所謂孿生素數指的就是這種間隔為2的相鄰素數，它們之間的距離已經近得不能再近了，就像孿生兄弟一樣。不難驗證，在孿生素數中，最小的一對是（3，5），在100以內則還有（5，7）、（11，13）、（17，19）、（29，31）、（41，43）、（59，61）和（71，73）等另外7對，總計為8對。進一步的驗證還表明，隨著數字的增大，孿生素數的分布大體上會變得越來越稀疏，尋找孿生素數也會變得越來越困難。

那么，會不會在超過某個界限之后就再也不存在孿生素數了呢？

這個問題讓我們聯想到素數本身的分布。我們知道，素數本身的分布也是隨著數字的增大而越來越稀疏的，因此也有一個會不會在超過某個界限之后就再也不存在的問題。不過幸運的是，早在古希臘時代，著名數學家歐幾里得（Euclid）就證明了素數有無窮多個（否則的話——即假如素數沒有無窮多個的話——今天的許多數論學家恐怕就得另謀生路了）。長期以來數學家們普遍猜測，孿生素數的情形與素數類似，雖然其分布隨著數字的增大而越來越稀疏，總數卻是無窮的。這就是與哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）齊名、集令人驚異的表述簡單性與令人驚異的證明復雜性于一身的著名猜想——孿生素數猜想。

孿生素數猜想：存在無窮多個素數p，使得p+2也是素數。

究竟是誰最早明確地提出這一猜想我沒有考證過，但1849年法國數學波利尼亞克（Alphonse de Polignac）曾提出過一個猜想：對于任意偶數2k，存在無窮多組以2k為間隔的素數。這一猜想被稱為波利尼亞克猜想（Polignac's conjecture）。對于k=1，它就是孿生素數猜想。因此人們有時把波利尼亞克作為孿生素數猜想的提出者。值得一提的是，人們對不同的k所對應的素數對的命名是很有趣的：k=1（即間隔為2）的素數對我們已經知道叫做孿生素數；k=2（即間隔為4）的素數對被稱為cousin prime（表兄弟素數），比“孿生”稍遠；而k=3（即間隔為6）的素數對竟被稱為sexy prime！這回該相信“書中自有顏如玉”了吧？不過別想歪了，之所以稱為sexy prime，其實是因為sex正好是拉丁文中的“6”（因此sexy prime的中文譯名乃是毫無聯想余地的“六素數”）。

孿生素數猜想還有一個更強的形式，是英國數學家哈代（Godfrey Hardy）和李特伍德（John Littlewood）于1923年提出的，有時被稱為哈代-李特伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture）或強孿生素數猜想（strong twin prime conjecture）⁽²⁾。這一猜想不僅提出孿生素數有無窮多組，而且還給出其漸近分布為

其中π₂（x）表示小于x的孿生素數的數目，C₂被稱為孿生素數常數（twin prime constant），其數值為

強孿生素數猜想對孿生素數分布的擬合程度可以由表1看出。很明顯，擬合程度是相當漂亮的。假如可以拿觀測科學的例子來作比擬的話，如此漂亮的擬合幾乎能跟英國天文學家亞當斯（John Couch Adams）和法國天文學家勒維耶（Urbain Le Verrier）運用天體攝動規律對海王星位置的預言，以及愛因斯坦（Albert Einstein）的廣義相對論對光線引力偏轉的預言等最精彩的觀測科學成就相媲美，可以算同為理性思維的動人篇章。這種擬合對于純數學的證明來說雖起不到實質幫助，卻大大增強了人們對孿生素數猜想的信心。

在這里還可以順便提一下，強孿生素數猜想所給出的孿生素數分布規律可以通過一個簡單的定性分析來“得到”⁽³⁾：我們知道，素數定理（prime number theorem）表明對于足夠大的x，在x附近素數的分布密度大約為1/ln（x），因此兩個素數位于寬度為2的區間之內（即構成孿生素數）的概率大約為2/ln²（x）。這幾乎正好就是強孿生素數猜想中的被積函數——當然，兩者之間還差了一個孿生素數常數C₂，而這個常數顯然正是哈代和李特伍德的功力深厚之處⁽⁴⁾。

除了強孿生素數猜想與孿生素數實際分布之間的漂亮擬合外，對孿生素數猜想的另一類“實驗”支持來自于對越來越大的孿生素數的直接尋找。就像對大素數的尋找一樣，這種尋找在很大程度上成為了對計算機運算能力的一種檢驗。1994年10月30日，這種尋找竟然使人們發現了英特爾（Intel）奔騰（Pentium）處理器浮點除法運算的一個瑕疵（bug），在工程界引起了不小的震動。截至2002年底，人們發現的最大的孿生素數是：

（33 218 925×2^{169 690}-1，33 218 925×2^{169 690}+1）

這對素數中的每一個都長達51 090位。許多年來這種紀錄一直被持續而成功地刷新著，它們對于純數學的證明來說雖也起不到實質幫助，卻同樣有助于增強人們對孿生素數猜想的信心⁽⁵⁾。

好了，介紹了這么多關于孿生素數的資料，現在該說說人們在證明孿生素數猜想上所走過的征途了。

迄今為止，在證明孿生素數猜想上的成果大體可以分為兩類。第一類是非估算性的，這方面迄今最好的結果是1966年由中國數學家陳景潤利用篩法（sieve method）所取得的⁽⁶⁾。陳景潤證明了：存在無窮多個素數p，使得p+2要么是素數，要么是兩個素數的乘積。這個結果的形式與他關于哥德巴赫猜想的結果很類似⁽⁷⁾。目前一般認為，由于篩法本身所具有的局限性，這一結果在篩法的范圍之內已很難被超越。

證明孿生素數猜想的另一類結果則是估算性的，戈德斯通和伊爾迪里姆所取得的結果就屬于這一類。這類結果估算的是相鄰素數之間的最小間隔，更確切地說是：

翻譯成白話文，這個表達式所定義的是兩個相鄰素數之間的間隔與其中較小的那個素數的對數值之比在整個素數集合中所取的最小值。很明顯，孿生素數猜想要想成立，Δ必須為0。因為孿生素數猜想表明p_n+1-p_n=2對無窮多個n成立，而ln（p_n）→∞，因此兩者之比的最小值對于孿生素數集合——從而對于整個素數集合也——趨于零。不過要注意，Δ=0只是孿生素數猜想成立的必要條件，而不是充分條件。換句話說，如果能證明Δ≠0，則孿生素數猜想就被推翻了；但證明了Δ=0，卻并不意味著孿生素數猜想一定成立。

對Δ最簡單的估算來自于素數定理。按照素數定理，對于足夠大的x，在x附近素數出現的幾率為1/ln（x），這表明素數之間的平均間隔為ln（x），從而（p_n+1-p_n）/ln（p_n）給出的其實是相鄰素數之間的間隔與平均間隔的比值，其平均值顯然為1⁽⁸⁾。平均值為1，最小值顯然是小于等于1，因此素數定理給出Δ≤1。

對Δ的進一步估算始于哈代和李特伍德。1926年，他們運用圓法（circle method）證明了假如廣義黎曼猜想（generalized Riemann hypothesis）成立，則Δ≤2/3。這一結果后來被蘇格蘭數學家蘭金（Robert Alexander Rankin）改進為Δ≤3/5。但這兩個結果都有賴于本身尚未得到證明的廣義黎曼猜想，因此只能算是有條件的結果。1940年，匈牙利數學家埃爾德什（Paul Erd?s）利用篩法率先給出了一個不帶條件的結果：Δ<1（即把素數定理給出的結果中的等號部分去掉了）。此后意大利數學家里奇（Giovanni Ricci）于1954年，意大利數學家蓬皮埃利（Enrico Bombieri）、英國數學家達文波特（Harold Davenport）于1966年，以及英國數學家赫克斯利（Martin Huxley）于1977年，分別將Δ的估算值推進到了Δ≤15/16，，以及Δ≤0.442 5。戈德斯通和伊爾迪里姆之前最好的結果則是德國數學家梅爾（Helmut Maier）于1986年得到的Δ≤0.248 6。

以上這些結果都是在小數點后面做文章，戈德斯通和伊爾迪里姆的結果將這一系列努力大大推進了一步，并且——如果得到確認的話——將在一定意義上終結對Δ進行數值估算的長達幾十年的漫漫征途。因為戈德斯通和伊爾迪里姆所證明的結果是Δ=0。當然，如我們前面所述，Δ=0只是孿生素數猜想成立的必要條件，而不是充分條件，因此戈德斯通和伊爾迪里姆的結果即便得到確認，離最終證明孿生素數猜想仍有相當的距離，但它無疑將是近十幾年來這一領域中最引人注目的結果。

一旦Δ=0被證明，下一個努力方向會是什么呢？一個很自然的方向將是研究Δ趨于0的方式。孿生素數猜想要求Δ~[ln（p_n）]^-1（因為p_n+1-p_n=2對無窮多個n成立）。戈德斯通和伊爾迪里姆的結果所給出的則是Δ~[ln（p_n）]^-19，兩者之間還有不小的差距⁽⁹⁾。但是看過戈德斯通和伊爾迪里姆手稿的一些數學家認為，戈德斯通和伊爾迪里姆所用的方法還存在改進空間。也就是說，他們的方法還有可能對Δ趨于0的方式作出更強的估計。從這個意義上講，戈德斯通和伊爾迪里姆這一結果的價值不僅僅在于結果本身，更在于它有可能成為一系列未來研究的起點。這種帶傳承性的系列研究對于數學來說有著雙重的重要性，因為一方面，這種研究可能取得的新結果將是對數學的直接貢獻；另一方面，這種研究對戈德斯通和伊爾迪里姆的結果會起到反復推敲與核實的作用。現代數學早已超越了一兩個評審花一兩個小時就可以對一個數學證明做出評判的時代。著名的四色定理（four color theorem）和費馬大定理（Fermat's Last Theorem）都曾有過一個證明時隔幾年、甚至十幾年才被發現錯誤的例子。因此，一個復雜的數學結果能成為進一步研究的起點，吸引其他數學家的參與，對于最終判定其正確性具有極其正面的意義⁽¹⁰⁾。

2003年4月6日寫于紐約

2014年9月15日最新修訂

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(1)本文撰寫于2003年4月，是我的第一篇數學科普，填補了作為本人興趣主要組成部分之一的數學在我網站的空白。自那以后，本文曾以“補注”形式對若干后續進展作了簡單提及，并于2014年9月進行了不改變基本結構的輕微修訂。

(2)確切地說，哈代和李特伍德于1923年所提出的猜想共有兩個，分別稱為第一哈代-李特伍德猜想（first Hardy-Littlewood conjecture）和第二哈代-李特伍德猜想（second Hardy-Littlewood conjecture）。其中第一哈代-李特伍德猜想又稱為k-tuple猜想（k-tuple conjecture），它給出了所有形如（p，p+2m₁，…，p+2m_k）（其中0<m₁<…<m_k）的素數k-tuple的漸進分布。強孿生素數猜想只是k-tuple猜想的一個特例。

(3)這種定性分析被澳大利亞數學家陶哲軒（Terence Tao）稱為“概率啟發式理由”（probabilistic heuristic justification），它不是證明，但對于判斷命題成立與否有一定的啟示性。

(4)對孿生素數常數C₂也存在“概率啟發式理由”，感興趣的讀者可參閱美國數學家查基爾（Don Zagier）的“The First 50 Million Prime Numbers”，Math.Intel.0，221-224（1977）。

(5)截至2011年底，這一紀錄已被刷新為了：（3756801695685×2^{666 669}-1，3756801695 685×2^{666 669}+1），這對素數中的每一個都長達200 700位。

(6)順便說一下，美國數學研究所在介紹本文開頭所提到的戈德斯通和伊爾迪里姆的結果的簡報中提到陳景潤時所用的稱呼是“偉大的中國數學家陳”（the great Chinese mathematician Chen）。

(7)陳景潤關于哥德巴赫猜想的結果——被稱為陳氏定理（Chen's theorem）——是：任何足夠大的偶數都可以表示成兩個數的和，其中一個是素數，另一個要么是素數，要么是兩個素數的乘積。

(8)這個“歸一”性也正是在Δ的表達式中引進ln（p_n）的原因。

(9)本文發布之后，關于戈德斯通和伊爾迪里姆的工作又有了一些重要的后續發展，其中包括：2003年4月23日，英國數學家格蘭維爾（Andrew Granville）和印度數學家桑德拉拉揚（Kannan Soundararajan）發現了戈德斯通和伊爾迪里姆原始證明中的一個錯誤，并得到了戈德斯通和伊爾迪里姆的承認；2005年初，戈德斯通和伊爾迪里姆“伙同”匈牙利數學家平茲（János Pintz）“卷土重來”，再次證明了Δ=0。他們所證明的Δ的新的漸進行為是：Δ~[lnln（p_n）]。

(10)2013年5月14日，《自然》（Nature）等科學雜志及大量中外媒體報道了旅美數學家張益唐在孿生素數猜想研究中所取得的一個重要的新進展，即證明了存在無窮多個素數對，其間隔小于7 000萬。這一進展——如果得到確認的話——相當于證明了波利尼亞克猜想至少對某個小于3500萬的k成立。用Δ來表述的話，則相當于不僅證明了Δ=0，而且給出了與孿生素數猜想所要求的相同的漸進行為：Δ~[ln（p_n）]^-1（不過，這一漸進行為跟Δ=0一樣，只是孿生素數猜想成立的必要條件，而不是充分條件）。張益唐的證明用到了戈德斯通、平茲、伊爾迪里姆等人的結果，并于2013年5月21日被《數學年刊》（Annals of Mathematics）所接受。張益唐的結果也存在改進空間，截至2014年3月，陶哲軒等數學家已將其中的7 000萬這一素數間隔“壓縮”到了246。