2.2 有限元法的概述

隨著電子和細微產品的不斷發展，微納結構的加工對生產率、基底表面質量和加工精度提出了更高的要求，有限元模擬將是解決這一系列問題的重要手段^[65]。采用有限元法模擬切削可獲得切削實驗無法或難以直接測量的狀態變量，如加工后工件的應力場、應變場和切削溫度分布等。根據仿真模型選擇恰當的切削參數和刀具參數，有利于得到高質量的單晶硅表面，為進一步在單晶硅表面進行機械-化學加工微納結構奠定基礎。有限元法的基本思想如下：

1.結構簡化及連續體的離散化

將真實結構簡化為力學模型，引入一些假設和簡化條件。此外，還要對載荷做某些簡化。計算中就是使用該簡化后的模型^[66，67]。然后將連續體離散為有限個形狀規則的小單元體，相鄰單元之間用節點相連并對單元和節點進行編號。作用在單元上的外載荷，按等效原則移植為節點載荷。用劃分后的有限個小單元的集合體，代替原來的連續體。

2.單元分析

1）Marc是以單元節點位移作為基本未知量。假定單元位移模式（單元的位移插值函數），單元內其余各點的位移通過節點位移用插值函數{u}=[N]{u ^e}求得^[68]。{u}是單元內任一點的位移列陣；{u ^e}是單元節點位移列陣；[N]是單元形函數矩陣。

2）利用幾何方程、物理方程{ε}=[B]{u ^e}、{σ}=[D]{ε}導出單元應力表達式：

式中 {ε}、{σ}——單元內任一點應變、應力列陣；

[B]、[D]——單元應變、彈性矩陣；

[S]=[D][B]——單元的應力矩陣。

3）由虛功原理得{R^e}=dV，簡寫為{R ^e}=[K ^e]{u ^e}。

其中，節點外載荷為

式中——單元內體力（或內熱源）的貢獻；

——面力（或熱流）的貢獻；

F——節點集中力；

[K^e]=∫_V[B]^T[D][B]dV——單元剛度矩陣；

u^*e——單元e中節點虛位移，它所引起的虛應變為ε^*。

3.整體分析

將單元剛度矩陣[K ^e]組集成總體剛度矩陣[K]，并將{R ^e}組集成總載荷列陣{R}。一般說來，集合所依據的原理是根據節點上力的平衡條件得出的。于是得到以總載荷列陣{R}、總體剛度矩陣[K]以及整個物體的節點位移列陣{u}表示的整個物體的平衡方程為

引入邊界條件，求出各節點的位移，解出整體結構的節點的位移列陣{u}后，再根據單元節點的編號找出對應于單元的位移列陣{u^e}，單元內任一點的應力和應變就可利用幾何、物理方程求得。