1.2 纖維增強復合薄板振動特性的理論研究現狀

1.2.1 纖維增強復合薄板振動分析的基本理論與方法

對于纖維增強復合薄板的振動問題，國內外學者在研究過程中，發(fā)展了大量成熟的建模理論與方法，主要包括二維等效單層板理論、鋸齒理論、分層理論和三維彈性理論。目前，以等效單層板理論應用最多，主要包括經典層合板理論（Kirch- hoff理論）、一階剪切變形層合板理論（Reissner-Mindlin板理論）和高階剪切變形層合板理論。其中，經典層合板理論基于Kirchhoff假設，認為層合板變形前的中面法線在變形后仍然保持為直線且垂直于中面，即忽略了板厚度方向的剪切變形。該理論具有位移便于表達、未知量少、求解容易等優(yōu)點，適用于復合材料薄板的振動問題分析，但當面內彈性模量之比或層合板厚度較大時，該建模理論的分析精度就無法保證。為了考慮厚度方向的剪切變形，Reissner和Mindlin提出了一階剪切變形理論，該理論認為板變形后橫向法線仍然保持為直線但不再垂直于板的中面。為了尋求更加精確的層合板建模方法，部分學者還將層合板的面內位移，采用高階位移分布形函數進行展開，進而又發(fā)展出了高階剪切變形理論。以最具代表性的Reddy高階剪切變形理論為例，該理論假設板的橫向切應變沿板厚呈拋物狀分布，且滿足層合板上下表面橫向切應力為零的條件。

另外，對于復合材料層合板的振動求解問題，目前主要通過以下幾種近似解法進行求解。

（1）瑞利-里茨法 該方法以最小勢能原理為理論基礎，通過選擇試函數來逼近問題的精確解。該方法需要將試函數代入復合薄板分析模型的泛函中，然后對泛函求駐值，以確定試函數中的待定參數，從而獲得其振動問題的近似解。

（2）微分求積法 由于該方法通過域內很少的節(jié)點即可獲得精度較高的數值結果，求解效率和精度較高，目前已被成功應用于各種材料結構的穩(wěn)定性分析中，尤其是靜力分析、自由振動及屈曲問題分析。利用微分求積法求解時，需按照一定的規(guī)則在正則化區(qū)間選取節(jié)點，運用拉格朗日插值法在全域上對所有節(jié)點的函數值進行加權求和。然后，得到給定節(jié)點處函數的導數值，并對空間域的復雜方程進行離散，最后將其轉化成一系列線性方程后進行求解。

（3）有限差分法 該方法在數學上常用于求解微分方程和偏微分方程，用差商代替方程及邊界條件中的微商，達到離散化的目的，它被廣泛用于各種復合材料梁和板的解析求解中。

（4）有限元法 在當前的所有數值計算方法中，有限元法的通用性最好，目前在工程中應用最為廣泛。對于纖維增強薄板的振動問題，有限元法先將板分割為一系列小單元，然后對每個單元的位移函數，通過低階分片多項式用節(jié)點廣義位移來表示，而全板的位移場就可以用單元位移函數逐段來表示。由于整個離散化方程是通過許多小單元運算矩陣集合而成，因此可針對不同尺寸、材料、載荷、邊界參數的復合材料板件的振動求解。

（5）無網格法 該方法是一種只需要節(jié)點信息，不需要將節(jié)點連成單元的數值計算方法。與傳統(tǒng)的有限元相比，它克服了有限元法需要劃分單元及單元重構的缺點，減少了工作量，提高了計算精度。無網格法的基本思想是在問題域內布置一系列的節(jié)點，然后采用一種與權函數（或核函數）有關的近似，使得某個域上的節(jié)點可以影響研究對象上任何一點的力學特性，進而求得問題的解。

1.2.2 纖維增強復合薄板振動分析研究現狀

根據1.2.1節(jié)介紹的理論建模與求解方法，國內外學者在研究纖維增強復合薄板的線性振動特性方面，已經取得了大量研究成果，例如，Mohan和Kingsbury采用Galerkin法求解了懸臂狀態(tài)下硼纖維/樹脂復合薄板結構的固有頻率。研究結果表明，固有頻率在很大程度上受到彈性主軸方向的影響，對于正交各向異性復合薄板的固有特性分析，采用傳統(tǒng)的各向同性分析方法無法對其進行準確預測。Nair和Durvasula對復合材料薄板的固有特性也進行了研究，用梁函數表示振型函數，并采用里茨法求出了除懸臂條件以外的不同邊界條件下薄板的固有頻率近似解。Leis- sa等基于經典層合板理論，采用里茨法獲得了不同鋪層和不同纖維鋪設角度下，玻璃纖維、硼纖維和石墨纖維增強復合薄板在簡支邊界條件下的固有頻率，并討論了材料、鋪層數和纖維角度對固有頻率的影響。Qatu在里茨法中采用代數多項式法求解了不同邊界條件下玻璃/樹脂和石墨/樹脂復合薄板的固有頻率和模態(tài)振型，并研究了固有頻率的變化與鋪設角度的關系。史冬巖等基于改進傅里葉級數方法（IFSM）對石墨/環(huán)氧樹脂復合薄板結構的振動特性進行了研究，并采用瑞利-里茨法求解其固有頻率，但并未獲得懸臂狀態(tài)下的計算結果。Chow基于Timoshenko梁理論并考慮了橫向剪切力及轉動慣量的影響建立了正交異向復合板的動力學方程，并求解了其在脈沖激勵下的振動響應。Siu和Bert考慮了材料阻尼的影響，基于Mindlin板理論，采用瑞利-里茨法求解獲得了諧波激勵下復合薄板的頻域振動響應，并通過與文獻結果對比，驗證了分析方法的正確性。Sun和Whitney結合分離變量法及Mindlin-Goodman法研究了均布橫向載荷作用下簡支纖維增強復合薄板的時域振動響應，研究發(fā)現表層為0°鋪設的復合薄板具有更大的有效彎曲剛度。Reddy研究了正弦分布載荷作用下，正交鋪設和±45°角鋪設纖維增強復合薄板在自由和簡支兩種邊界條件下的振動響應問題，并研究了不同寬厚比和鋪設角度對振動響應的影響。Khdeir和Reddy在簡支邊界條件下研究了正弦、三角等載荷作用下復合薄板的瞬態(tài)振動響應，分別基于一階剪切變形理論和經典層合板理論獲得了動力學方程，并采用狀態(tài)變量法對其進行了求解，研究發(fā)現復合結構系統(tǒng)振動響應幅值與其鋪層數目和各向異性程度的增大成反比。李暉等采用理論與實際相結合的方式，對纖維增強復合薄板振動特性進行了研究，采用雙向梁函數法，推導了具有任意纖維角度下該類型復合薄板的最大動能和應變能，明確了利用該方法獲取固有頻率和模態(tài)振型的原理；同時，還考慮了基礎激勵的影響，建立了該類型復合薄板的響應分析模型，并采用了多層次修正技術，研究了振動響應的準確預測問題。

目前，國內外學者在研究纖維增強復合薄板的非線性振動特性方面也取得了一些進展，但絕大多數文獻關注薄板幾何大變形引發(fā)的非線性振動問題。例如，Rao和Pillai分析了固定邊簡支復合薄板的大幅振動問題，基于Kirchhoff假設和von Kármán應變-位移關系，并考慮了面內變形和轉動慣量，建立了復合薄板的理論模型。Singh等提出了一種數值迭代方法來研究纖維增強復合薄板的幾何非線性振動問題，并基于von Kármán應變-位移關系推導獲得復合薄板的運動控制微分方程。Ribeiro和Petyt應用分層有限元和諧波平衡法研究了四邊固支邊界條件下復合薄板的幾何非線性振動問題，并采用延續(xù)算法（延拓方法）求解了非線性運動方程。Lee和Ng基于有限元法，提出了一種研究復合薄板大振幅振動的時域模型，并且基于von Kármán應變-位移關系，通過模態(tài)縮減法求解了其非線性固有頻率和振動響應。Harras等基于von Kármán大變形理論建立了復合薄板非線性振動的理論模型，同時，研究了幾何非線性對固有頻率、模態(tài)振型和彎曲應力的影響。Onkar和Yadav研究了隨機激勵下簡支復合薄板的非線性隨機振動，基于Kirchhoff-Love板理論和von Kármán非線性應變-位移關系，并采用Hamiltons原理建立了復合薄板的理論模型。Tabiei等提出了一個具有應變率依賴特點的非線性復合材料模型，可以用來進行沖擊響應分析和失效分析。同時，以兩個典型的復合材料試件為對象，研究了非線性應力-應變響應與纖維鋪設角度之間的關系。Stecenko和Stevanovi研究了單向和多向復合材料拉伸和壓縮彈性模量的應變依賴性，發(fā)現了復合材料的彈性模量在受拉時會增加，受壓時則會減小。Singha和Daripa研究了橫向諧波激勵和面內周期激勵作用下復合薄板的大幅值振動問題，基于von Kármán假設建立了面內和彎曲耦合的非線性剛度矩陣模型，并通過Galerkin法獲得了系統(tǒng)的非線性運動方程，進而求解了復合薄板的非線性固有頻率和強迫振動響應。Shooshtari和Raza-vi基于一階剪切變形理論研究了復合薄板的非線性振動問題，采用Galerkin法獲得了包含非線性慣性和剛度的微分方程，最后，采用多尺度法求解獲得了復合薄板的非線性固有頻率和橫向位移，結果與文獻有很好的一致性。

從目前掌握的國內外文獻、書籍資料來看，人們在研究纖維增強復合薄板結構的振動問題時，主要基于經典層合板理論、高階剪切變形理論和有限元法進行理論建模與分析，但絕大部分研究工作針對簡支、自由等理想邊界條件，并且多數文獻得出的固有頻率結果都為無量綱頻率，較少考慮懸臂邊界條件下振動特性的求解。同時，在動態(tài)響應問題研究中，多考慮脈沖載荷作用下復合薄板的振動響應，較少數文獻考慮了基礎激勵載荷的影響。另外，對于復合薄板結構的非線性振動問題，絕大多數問題都是考慮von Kármán非線性應變-位移關系的影響，僅研究了薄板幾何大變形引發(fā)的非線性振動問題。目前，很少有文獻考慮纖維增強復合材料本身非線性（即材料非線性）引發(fā)的結構非線性振動現象。因此，仍有必要繼續(xù)對復合薄板的非線性振動特性進行研究，特別是需要將其材料的非線性引入到振動分析模型中，以建立一個準確的數學模型來描述其表現出的具有振幅依賴性的非線性剛度和阻尼現象。