1.5　傳感器的靜態特性

傳感器的靜態特性是指對恒定或緩變的被測量傳感器的輸出量與輸入量之間所具有的關系。因為這時輸入量和輸出量都和時間無關，所以它們之間的關系，即傳感器的靜態特性可用一個不含時間變量的代數方程來描述，或以輸入量作為橫坐標，把與其對應的輸出量作為縱坐標而畫出的特性曲線來描述。表征傳感器靜態特性的主要參數有線性度、靈敏度、分辨力和遲滯等。

1.5.1　傳感器的靜態模型

傳感器的靜態模型即對傳感器靜態特性的數學描述方程式。一般情況下，在不考慮傳感器特性中的遲滯、蠕變等因素時，傳感器的靜態特性可用以下多項式代數方程來表示：

式中，y為傳感器輸出量；x為傳感器輸入量；a0為零位輸出；a1為傳感器的線性靈敏度，常用K或S表示；a2，a3，…，an為非線性項的待定常數。

對于實際應用的大多數傳感器，其靜態特性方程的次數一般不超過五次。比較常見的方程形式有以下3種：

（1）理想線性特性。當a0=a2=a3=…=an=0時，得到

此時，傳感器的輸出量與輸入量為線性關系，如圖1.7（a）所示。

（2）只有一次項和偶次方非線性項。如圖1.7（b）所示。其特性曲線方程為

這種特性曲線沒有對稱性，在零點附近較小的輸入量范圍內接近線性，一般傳感器設計中不采用這種特性。

（3）只有一次項和奇次方非線性項，如圖1.7（c）所示。其曲線方程為

特性曲線以原點為對稱點，在零點附近較寬的輸入量范圍內接近理想線性。不少差動式傳感器具有這種特性。

從不失真測量和減小誤差的角度考慮，傳感器理想的輸出與輸入關系最好是式（1-2）描述的線性關系，因為線性關系具有如下優點：

（1）沒有非線性誤差，無須在信號轉換和處理中采用非線性補償模塊。

（2）極大地簡化傳感器的設計分析工作。

（3）極大地方便了測量數據處理和傳感器標定。因為，只要知道輸出-輸入特性曲線上的兩個點（一般為零點和滿量程點），就可確定其余各點。

（4）儀表刻度盤可均勻刻度，制作、安裝、調試方便，精度高。

實際上，傳感器的輸出量與輸入量關系往往是如圖1.7（b）、（c）、（d）所示的非線性關系，必須在傳感器或其后續電路中進行非線性補償，在配有計算機的傳感器應用系統中，也可采用軟件方式進行非線性補償。

1.5.2　傳感器的靜態特性指標

描述傳感器靜態特性的重要指標有線性度、遲滯、重復性、靈敏度、分辨力和漂移。

1. 線性度（Linearity）

實際應用的傳感器的輸出量與輸入量關系多表現為非線性曲線。但是為了應用上的方便，希望得到線性關系的特性曲線。這時，在總體誤差允許的條件下，可以用直線來近似地代表實際曲線。這種方法稱為傳感器非線性特性的“線性化”，所采用的直線稱為擬合直線。在采用擬合直線時，實際輸出量與輸入量的特性曲線與擬合直線之間的最大偏差稱為線性度或非線性誤差，其值通常用相對誤差來表示，即

式中，eL為線性度（非線性誤差），?max為輸出平均值與擬合直線之間的最大偏差；yFS為理論滿量程輸出值。

非線性誤差的大小與擬合直線有很大關系，擬合直線不同，非線性誤差也不同。因此，選擇擬合直線的主要出發點應是獲得最小的非線性誤差，即要找到與傳感器實際特性曲線最貼近的擬合直線。當然，還應考慮直線擬合計算是否便捷。

常用的擬合方法有理論直線擬合、端點連線擬合、端點連線平移擬合、最小二乘法擬合等，如圖1.8所示。其中最小二乘擬合法的擬合精度最高、計算量最大。

最小二乘擬合法按最小二乘原理求取擬合直線，該直線能保證與傳感器校準數據的殘差平方和最小。設用最小二乘法所擬合的直線方程為

式中，系數b和k分別為擬合直線的截距和斜率，這兩個系數可根據傳感器的實際校準數據計算求得。

若實際校準測試點有n個，則第i個校準數據與擬合直線上相應值之間的殘差為

最小二乘法的原理就是應使殘差平方和最小，即最小。

對式（1-8）求k和b的一階偏導數并令其等于零，即可求得k和b。

把k和b的值代入式（1-6）即可得到擬合直線，然后按式（1-7）求出殘差的最大值?max即可算出非線性誤差。

2. 遲滯（Hysteresis）

傳感器在正向（輸入量增大）和反向（輸出量減小）行程中輸出-輸入特性曲線不重合的程度稱為遲滯，如圖1.9所示。遲滯現象說明對應于同一大小的輸入信號，傳感器的輸出信號大小不相等，沒有唯一性。造成遲滯現象的原因是傳感器的機械部分和結構材料方面不可避免的弱點，如軸承摩擦、間隙、緊固件的松動等。

遲滯誤差的大小以滿量程輸出的百分數表示，即

式中，?Hmax為正向和反向行程間輸出的最大絕對誤差值，yFS為理論滿量程輸出值。

3. 重復性（Repeatability）

重復性表示傳感器在相同的工作條件下，對輸入量按同一方向進行全量程連續多次測試時輸出與輸入特性曲線的不一致程度，如圖1.10所示。重復性好的傳感器，誤差也小。重復性誤差的產生與遲滯現象有相同的原因。

重復性指標在數值上用各測量點上正、反行程校準數據平均標準差的3倍對滿量程輸出的百分數表示，即

平均標準差的計算方法有兩種：極差法和標準法。一般在測量次數較少（R=4～9）時采用極差法。所謂極差，是指某一測量點校準數據的最大值與最小值之差，計算時，先求出各校準點正向、反向行程校準數據的極差，再按式（1-15）計算出總的平均極差，即

式中，Wci為第i個測量點正向行程測量數據的極差；Wfi為第i個測量點反向行程測量數據的極差。

按下式計算出傳感器重復性的平均標準差：

式中，dR為與測量循環次數R有關的極差系數，見表1-3。

4. 靈敏度（Sensitivity）

傳感器輸出量的變化量?y與引起該變化量的輸入量的變化量?x之比即靈敏度（靜態）。靈敏度表達式為

對于線性傳感器，靈敏度為常數，該常數值等于傳感器特性曲線的斜率。對于非線性傳感器，靈敏度是變量，其表達式為K=dydx。

一般要求傳感器的靈敏度要高并在滿量程內是常數，這就要求傳感器的輸入-輸出特性呈線性關系。

5. 分辨力/分辨率（Resolution）和閾值（Threshold）

分辨力/分辨率是指傳感器能檢測到的最小輸入增量。當用最小輸入量增量絕對值表示時，稱為分辨力；當用最小輸入增量與滿量程的百分數表示時，稱為分辨率。

閾值是指當傳感器的輸入量從零開始逐漸增加，在達到了某一最小值后，才能測得輸出量的變化，這個最小值就稱為傳感器的閾值。事實上，閾值是傳感器在零點附近的分辨力。

6. 漂移（Drift）

漂移是指在一定的時間間隔內，傳感器輸出量存在著與被測輸入量無關的、不需要的變化。漂移包括零點漂移與靈敏度漂移。

零點漂移或靈敏度漂移又可分為時間漂移（簡稱時漂）和溫度漂移（簡稱溫漂）。時漂是指在規定條件下，零點或靈敏度隨時間的緩慢變化；溫漂為周圍溫度變化引起的零點或靈敏度漂移。