前言

阿基米德是一位偉大的古代科學(xué)家，在圓周率、無窮大等概念上取得了驚人的理論發(fā)現(xiàn)，還發(fā)明了一些在他那個(gè)時(shí)代處于先進(jìn)水平的技術(shù)。

此外，他還炮制出了一道史上最糟糕的智力題。

相信我，“牛群問題”真的很糟糕。

它不僅非常難，而且談不上簡潔雅致，甚至有些荒謬。但作為一本介紹趣味問題的書，用它來開篇是最恰當(dāng)不過的了。首先，它的作者是阿基米德。其次，這是一個(gè)很有意思的歷史趣聞。最后，平庸能反襯出優(yōu)秀。分析阿基米德的牛群問題，可以確保本書的其他題目都不會犯同樣的毛病。你會感謝我這個(gè)選擇的。

牛群問題

太陽神養(yǎng)了一群牛，正在西西里島的平原上吃草。這些牛有公有母，分白色、黑色、黃色和花色四種顏色，它們的數(shù)量可以用以下式子表示：

白色公牛=（1/2+1/3）黑色公牛+黃色公牛

黑色公牛=（1/4+1/5）花色公牛+黃色公牛

花色公牛=（1/6+1/7）白色公牛+黃色公牛

白色母牛=（1/3+1/4）黑牛

黑色母牛=（1/4+1/5）花牛

花色母牛=（1/5+1/6）黃牛

黃色母牛=（1/6+1/7）白牛

白色公牛+黑色公牛=某個(gè)平方數(shù)

花色公牛+黃色公牛=某個(gè)三角形數(shù)

請問，一共有多少頭牛？

在開始思考這些讓人望而卻步的分?jǐn)?shù)之前，先來看看它的奇特背景吧。這個(gè)問題是在阿基米德死后兩千年的18世紀(jì)，在德國的一個(gè)圖書館里被發(fā)現(xiàn)的。它以古希臘語詩歌的形式，寫在一份手稿中，之前一直沒有人注意到。全詩由22組對句組成，還附有一張便條，說阿基米德把它送給了亞歷山大圖書館的館長埃拉托色尼。

從好的方面看，問題是通過詩歌的形式提出的，這至少說明作者是為了娛樂的目的。但從數(shù)學(xué)這個(gè)方面看，它就不那么有趣了。解決牛群問題需要用到大量代數(shù)知識。前7行可以寫成7個(gè)方程，其中包含8個(gè)未知數(shù)。如果你有足夠的耐心和足夠的草稿紙，那么經(jīng)過大量煩瑣的計(jì)算和變量變換，你會發(fā)現(xiàn)滿足前7行所列條件的最小可能答案是50 389 082。（這意味著西西里每500平方米就得有一頭牛。）

如果你能做到這一步，阿基米德將會祝賀你。但不要沾沾自喜，因?yàn)樗嬲f：“這并不代表你的水平就很高了。”我們還沒有講到最難的部分。

第8行說，白色公牛和黑色公牛加在一起是一個(gè)平方數(shù)。所謂平方數(shù)，就是1、4、9、16這樣的數(shù)，它們都是另一個(gè)數(shù)字的平方（例如，1²，2²，3²，4²）。考慮到這一要求以后，牛群里至少得有51 285 802 909 803頭牛。（把這么多頭牛分布到西西里島上，每平方米就約有2 000頭牛。也就是說，整座島上到處都是牛，擠得像沙丁魚罐頭一樣，堆起來有幾百米高。）這里的計(jì)算需要更高級的代數(shù)知識，但也不算太難。德國圖書管理員戈特霍爾德·埃弗拉伊姆·萊辛（Gotthold Ephraim Lessing）發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題后，把它拿給一位數(shù)學(xué)家朋友看，這位朋友算出了這個(gè)答案。

最后一行是難點(diǎn)所在。它說，花色公牛和黃色公牛的總數(shù)是一個(gè)三角形數(shù)，即可以排列成三角形點(diǎn)陣的數(shù)，如3、6、10等數(shù)分別可以排列成（），等等，每個(gè)三角形依次在前面的基礎(chǔ)上增加了一行。到了這一步，阿基米德牛群問題已經(jīng)超出了18世紀(jì)數(shù)學(xué)的能力范圍。

在接下來的100年里，這道牛群難題成為一道著名的未解謎題。據(jù)傳，19世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里希·高斯解決了這個(gè)問題。但第一個(gè)公布部分解的人是德國人奧古斯特·阿姆托爾（August Amthor）。1880年，阿姆托爾說最小解的前三位數(shù)是766，后面還有206 542位數(shù)。換句話說，這個(gè)數(shù)字太大了，即使每頭牛只有一個(gè)原子那么小，宇宙也容納不下這么多的牛。

但龐大的工作量并沒有讓所有人都退縮。1889年，美國伊利諾伊州的三個(gè)好朋友在百無聊賴之余，決定計(jì)算出剩下的那些數(shù)字。經(jīng)過4年的努力，他們計(jì)算出了前32位數(shù)和后12位數(shù)。但要完全解決牛群問題，還需要等到計(jì)算機(jī)時(shí)代的到來。1965年，一臺超級計(jì)算機(jī)花了7小時(shí)45分鐘，用了42張A4紙，才打印出了這個(gè)數(shù)字。

萊辛等人懷疑阿基米德不一定真的是牛群問題的提出者。其他古希臘著作中沒有提到這個(gè)問題，阿基米德也不可能知道這個(gè)問題的答案。但一些學(xué)者認(rèn)為這個(gè)問題確實(shí)可以追溯到他。阿基米德對異常龐大的數(shù)字情有獨(dú)鐘。在篇幅不長的著作《沙粒計(jì)算》（The Sand Reckoner）中，他為了估算填滿宇宙所需的沙粒數(shù)發(fā)明了一個(gè)新的數(shù)字系統(tǒng)（他的估算結(jié)果是10⁶³粒）。阿基米德提出牛群問題也許根本就不是為了解決它，而是為了證明利用單分?jǐn)?shù)和9個(gè)簡單的語句就可以確定一個(gè)（在阿基米德時(shí)代）大到無法想象的數(shù)。能設(shè)計(jì)出一個(gè)容易理解又異想天開、歷時(shí)兩千多年無人能解的問題，可以說是天才（鬼才）的一個(gè)標(biāo)志。那首詩最后寫道：“哦，朋友，如果你計(jì)算出了（答案），知道了牛的總數(shù)，那么你就可以像征服者一樣歡呼雀躍，因?yàn)槟阋呀?jīng)證明你嫻熟的數(shù)字計(jì)算能力。”的確如此。

作為一道趣味問題，牛群問題與其說是一道富有娛樂性的數(shù)學(xué)題，不如說是一道復(fù)雜的聯(lián)立方程練習(xí)題。

本書其他問題都具有以下特點(diǎn)：

重視洞察力，不重視計(jì)算能力。

考驗(yàn)基本能力，不強(qiáng)調(diào)技術(shù)能力。

處理的數(shù)字不需要42張A4紙就能寫下來。

不需要兩千年就能解決。

我選擇的問題與阿基米德牛群問題的共同點(diǎn)只有一個(gè)，那就是都以動物為題材。

本書第1章將討論一些與動物有關(guān)的問題，包括吵鬧的兔子、淘氣的貓咪，還有青蛙、蒼蠅、獅子、駱駝、變色龍等。動物趣題還沒有形成一個(gè)專門的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但從中世紀(jì)到現(xiàn)在，讓人撓頭同時(shí)又能讓人心情愉悅的趣味問題一直層出不窮。下面，我把我最喜歡的一些動物類趣味問題介紹給大家。

進(jìn)入動物王國后，我們會發(fā)現(xiàn)自己的處境比較危險(xiǎn)。在現(xiàn)實(shí)生活中，你可能永遠(yuǎn)不會被遺棄在孤島上，被困在迷宮里，被鎖在房間里，或者被關(guān)在死囚牢房里。但你在第2章中會發(fā)現(xiàn)，我們在趣味問題的世界中經(jīng)常會陷入這些困境，在考慮如何逃跑時(shí)，我們需要跳出思維定式，還需要用到邏輯學(xué)甚至是拓?fù)鋵W(xué)知識。有幾道問題是基于計(jì)算機(jī)科學(xué)的有趣發(fā)現(xiàn)，要求我們像開發(fā)算法那樣，設(shè)計(jì)出逃離監(jiān)獄的方法。

我創(chuàng)作本書是為了分享我從解題中獲得的樂趣。好的趣味問題不僅能激發(fā)創(chuàng)造性思維，還能激發(fā)人們對世界的好奇心。我精心選擇的這些問題，要么答案讓人眼前一亮，要么揭示了一個(gè)有趣的模式或想法。趣味問題是一種多功能媒介，涵蓋了各種各樣的類型，我希望本書能從各個(gè)方面挑戰(zhàn)你的大腦。

這些趣味問題不是按照難度排列的。閱讀時(shí)，你可以按章節(jié)從頭讀到尾，也可以有所取舍。我選擇了一些背景材料，介紹了數(shù)學(xué)史以及趣味問題在其中所起的作用，并在后面給出了完整的解釋和進(jìn)一步的討論。設(shè)置“暖身趣味X題”這個(gè)環(huán)節(jié)，目的是讓你迅速進(jìn)入狀態(tài)。

事實(shí)上，本書的英文版封面上展示了一道關(guān)于折疊圖形的問題。我很喜歡這道題，因?yàn)楫?dāng)你試圖展開這個(gè)圖形時(shí)，腦海中出現(xiàn)的第一個(gè)字母是L，但這個(gè)答案是錯(cuò)誤的。你需要開動腦筋，才會意識到這一點(diǎn)。然后，或許你會靈光乍現(xiàn)，想到那個(gè)不那么顯而易見的字母。趣味問題經(jīng)常以這種方式捉弄我們的頭腦，故意把我們引向花園小徑，或者把一個(gè)誘人但完全錯(cuò)誤的答案展現(xiàn)在我們面前。等到避開陷阱，成功解決問題時(shí)，我們就能體會到那種豁然開朗的愉悅。

本書最后一章涉及概率。在這個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們最容易受到心理因素的影響。我們的大腦理解隨機(jī)性的能力比較差，而概率類趣味問題可以很好地幫助我們判斷直覺出了什么問題。這類問題不僅能給我們帶來驚喜和啟發(fā)，還能幫助我們更清晰地思考。

事實(shí)上，這就是趣味問題的價(jià)值所在。它們不僅能給我們樂趣，還讓我們有所收獲。它們會讓我們的大腦更加靈活，善于變通，全面發(fā)展。它們會提高我們的推理能力，訓(xùn)練我們發(fā)現(xiàn)模式的能力，讓我們從不同的角度看世界，并指出我們?nèi)菀资艿秸`導(dǎo)的地方。

現(xiàn)在，趕緊準(zhǔn)備準(zhǔn)備，跟著我出發(fā)吧。

動物們已經(jīng)迫不及待地想看到你了。