第1章　新手入門

對標準數獨的基礎認知

Part 1　數獨簡介

數獨是一種有趣的邏輯推理游戲。它需要讓玩家在空格內填入數字1到9，使得每一行、每一列和每一個由粗線圍起來的3×3的“九宮格”（以后簡稱為“宮”）內，填入的數字都必須包含數字1到9各一個；而且，數字是不重復的。也就是說，沒有一樣的數字會同時出現在同一行、列、宮內。以下就是一個題目，和它的解（就是答案的意思）。

我們要求，一個合適的題目只允許有一個解。如果一個題目包含有兩個答案，甚至是怎么填都有錯，就可以說明題目是不太合格的。

另外，有一些萌新小伙伴們，可能會覺得這個題對角線上是有重復的數字出現的，其實在數獨的基礎規則里，它只要求了每一行、列、宮不含有重復的數字。所以對角線本身是不包含在數獨規則里的；另外，數字也并未要求和等于特定數值，所以不要認為數獨是需要加減運算的。

我們也將這種基礎規則的數獨題，稱為標準數獨；當然了，與之對應的，還存在變型數獨。變型數獨指的是，除了標準數獨規則以外，還含有額外數獨規則的數獨類型，或是將標準數獨規則重新更改后產生的數獨類型，例如下面這個題，就是一個變型數獨，它是變型數獨里的其中一種，稱為殺手數獨。如下圖所示。

殺手數獨規則是，在滿足標準數獨規則的前提下，盤面內具有眾多的虛線框，每一個虛線框上也都標注有數值。在每一個虛線框內，填入的數字都不能有相同的數字出現，并且它們的和，就等于這個虛線框最左上角的那個數值。例如第1排第1格、第2排第1、2格和第3排第2格，這樣四格的填數是不一致的，而且它們的和就等于15。可以從答案之中看出，3+1+6+5，確實等于15。

Part 2　坐標描述

當然了，為了簡化我們的敘述，就產生了約定俗成的東西——坐標描述。我們使用坐標的描述，就可以精準地定位到每一個單元格便于我們敘述。

我們將每一行用字母A到I表示出來，A表示第1排、B表示第2排、C表示第3排、……直到字母I表示第9排（最后一排）；而我們用數字1到9表示列，數字1就表示第1列、2表示第2列、3表示第3列，依此類推。

這樣我們就可以使用字母加數字的方式找到每一個單元格的位置，比如上一頁殺手數獨里，虛線框為15的四格分別為A1、B1、B2和C2。

另外，B1和B2可以簡寫為B12，將重復出現了的字母B省略，然后直接拼接在一起即可。當然了，BD12就表示B1、B2、D1和D2。你可以看成是先將B1和B2拼接為B12，D1和D2拼接為D12，然后再將B12和D12里相同的部分“12”省略一個，然后B和D拼接在一起：BD12。

我們知道了這一點后，敘述一些內容就很輕松了。

Part 3　題目術語簡介

當然了，這本題冊里包含了很多變型，但是一些詞語晦澀難懂，所以此處我們先羅列和總結其中一些詞，以便在你做題之中能夠順暢起來。

連續

“連續”這個詞有兩層意思。第一層意思表示兩個或多個相鄰的單元格，諸如B1和C1，或是A4和A5這樣，挨著的兩個單元格，稱為連續的單元格。當然了，這個詞語如果用于這層意思的話，一般表示的是同一行或同一列里接連挨著的多個單元格，比如A1、A2、A3、A4，或是G5、H5、I5這樣的情況。

連續還有一層意思，表示兩格的填數的關系。如果兩格的填數只相差1（總用較大的減去較小的），就稱為兩格的填數連續。比如A3填的是3，B5填的是4，因為3和4是只相差1的數，所以我們可以說，A3和B5的填數是連續的。當然了，這里就不要去鉆牛角尖，認為3-4=-1，而不是1。括號里的話已經寫清楚了，一般用其中較大的那個數減去較小的那個數。

額外區域

在提起額外區域這個詞語之前，我們要先了解“區域”的概念。

區域是行、列、宮的總稱，每一個行、列、宮都可以稱為一個區域。在敘述稍微模糊一些的時候，我們就不需要精確地定位到特定的行、列、宮上，就可以使用區域一詞來表示。

在這些區域（行、列、宮）中，數字要求是1到9完整出現一次，并且是不含有相同的數字的。所以就根據這個說法產生了“額外區域”這個詞語。

額外區域指的是，在標準數獨要求的基礎上，但也滿足1到9完整地都出現一次，且不含有相同數字的情況。可以發現，既然要滿足不重復且都要出現一次，就必須是九個單元格才行。所以一個額外區域一定由九個單元格組成。

如圖所示，這個變型數獨題目里，有3個標注出來的額外區域，分別是BCD234、FGH678和撇對角線上的九格[1]。

可以發現，這樣的3個額外區域，確實滿足剛才敘述的要求：內部填數不重復，且恰好是1到9各自都出現了一次。

實際上，這個變型數獨稱為百分比數獨，是額外區域類型數獨中的一種。我們也經常將帶有額外區域類型的變型數獨簡稱為額外區域數獨。

當然了，在后續的題目之中，也會有對這個詞語或多或少的一點描述。

全/局/零標

在一些標注形式的變型數獨題里，經常會出現一些神奇的題目。

比如說連續數獨（連續數獨也是變型數獨的一種），它要求在滿足標準數獨規則的前提下，還給了很多黑條，這些黑條表明兩側單元格的填數是連續的（規則也會在后面的題目之中作更詳細的介紹）。

但是，一般意義上，連續數獨里，這樣的黑條都是全部都標注完了的，也就是說，盤面里所有相鄰兩格填數是連續的地方，都會有擋板標注；反之，如果沒有擋板標注，兩格的填數就一定是不連續的。所以我們經常也會使用后面“反之”的情況。我們將這樣一類“所有滿足要求的均已經標注出來”的現象稱為全標[2]。

當然了，不是所有標注類的變型數獨題都一定要把所有滿足要求的情況都標注出來。例如下面這個變型數獨題（稱為斜線數獨），它就不是全標的。

斜線數獨規則一樣要基于標準數獨。不過在此之上，我們會將其中一部分斜向連續的好幾個單元格用斜線串起來，表示這條線上的數字不重復，如圖所示。

通過對照答案，我們可以發現，其實并不只是這樣一部分斜線上的填數要不重復，但是為了保證這個題目斜線的形狀的美觀，我們只標注出了這樣一部分斜線。這種現象也稱為局標，即局部標記（或局部標注）。

還有一種，叫零標。零標是一種非常特殊的變型數獨，它滿足全標的要求，但沒有可以標的位置，例如不連續數獨。

你可以看成是“沒有標記的全標連續數獨題”。也就是說，這是一個連續數獨，滿足連續數獨（全標）的所有要求，但是沒有黑條的原因是，全盤都沒有兩個相鄰單元格的填數是連續的。所以這樣的連續數獨稱為不連續數獨，即兩側的填數一定不連續。這種現象就是零標了。

相鄰、周圍

這兩個概念也是非常常用的敘述詞匯。我們一般習慣將某個單元格的上、下、左、右四個單元格，都稱為這個單元格的相鄰單元格；而斜挨著這個單元格的四格，算上上下左右四格（一共八格），被稱為周圍單元格。

如圖所示，來感受一下它們的區別。

距離

距離這個詞語比較偏向于術語，用得比較少，但有些時候敘述起來是非常方便的。它指的是，兩個相鄰單元格的填數，使用較大值減去較小值得到的差。例如，如果A3是4，A4是9，則A34的距離為9-4=5；如果B7是6，C7是4，則BC7的距離是6-4=2。這個詞語一般只用于老板數獨里，這種變型數獨的規則相當之復雜，你可以在后續的題目里找到這個變型數獨相應的習題。

奇/偶數、質（素）/合數

以下的變型數獨題會經常用到它們。雖然這些詞語比較常見，但這里為了讀者閱讀方便，羅列至此。

奇數指的是不能被2除盡的整數。例如1、3、5、7、9等；

偶數指的是能被2除盡的整數。例如2、4、6、8等；

質數一般指的是一個大于1的正整數，在1和這個數本身期間的所有數字都無法整除這個數的數字。例如2、3、5、7等，也稱素數（舉例來說，數字7：2到6里，找不到一個數可以除盡7）；

合數則是大于1的正整數，但和質數相反，可以找到至少1和本身之間的一個數可以除盡它，例如4、6、8、9等。

一般來說，在數獨里只用到正的奇數，它一般也俗稱為“單數”；正的偶數則一般俗稱為“雙數”。

Part 4　基本數獨技巧

當然了，不靠一些數獨技巧也是無法完成題目的，所以這里簡單介紹一些數獨技巧，幫助你完成后面的一些題目。

排除

宮排除

如圖所示，我們可以觀察到，數字6在第2個宮內，填數的位置只有唯一一處。根據數獨規則，“每一行、每一列、每一個宮內的填數必須是數字1到9，沒有重復的數字出現”。所以我們可以觀察到，A4和A5兩處明顯是不可以填入6的，否則A行內就會出現兩個6，違背數獨規則；同理，C4和C5也是一樣。

因此，根據這樣的要求，我們發現，第2個宮內，填入6的位置只有C6可以，所以C6一定填入6。

因為這個技巧對于宮內進行排除，所以稱為宮排除法。

在觀察宮排除時，我們只需要忽略其他的數字，然后逐個從數字1到數字9進行觀察即可。對于初學而言，建議從數字1到數字9的順序（或是從數字9到數字1）挨個查找宮排除。

行/列排除法

除了宮排除外，還有對行和列作排除的技巧。

如圖所示，我們發現第4列，填入4的位置只有E4一處，而C4和G4都不能填入4，否則對應行上會有兩處4，產生重復。

當然，也存在行排除技巧。不過這里不給予示例，請自行觀察和尋找。

區塊

行列排除不好觀察，所以我們可能會采用一種名為區塊的技巧來代替一部分行/列排除。區塊同排除一樣，分宮區塊和行/列區塊。

宮區塊

如圖所示，觀察第4個宮，我們發現4只能填入到D1或D2。雖然具體我們確定不下來，但我們可以確定的是，D1和D2內有一個單元格一定是填4的。而恰好，它們又剛好同一行，所以D行內其余位置都不能填入4。

于是我們觀察第6個宮（或觀察第9列），我們發現4只能填入到F9之中。所以F9應填4。

這樣的宮排除比較起行列排除來說，要輕松一些。我們稱，類似于“D1和D2內一定有一格填4”這樣的結構為區塊。因為結構是從宮內推導得到的，所以稱為宮區塊。

行/列區塊

有宮區塊，就一定存在行/列區塊。

如圖所示，觀察E行，我們發現，E行能夠填入數字9的位置，只有E7和E9。

而我們發現，E7和E9內恰有一格填入數字9，而它們又剛好同一個宮，所以第6個宮內的其余位置都不可以填入數字9。

于是觀察第7列，由于9不能填入D7，所以數字9只能填入到E7了。

這個技巧稱為行區塊。因為區塊產生于行內。不過，這樣的結構依然是比較難觀察到。所以，我們還有比它規模更大一些的區塊，它的視角會更輕松一些。

級聯區塊

如圖所示，我們可以觀察到，第1列和第5列，填入5的位置恰好只有A1、A5、C1和C5（AC15）四格。

這兩個區塊，能夠表示AC1內只有一格是5；AC5內也是一樣。那么，我們可以清楚地了解到，這樣兩個區塊恰好可以構成一個長方形的形狀，所以5的填數位置是錯開的。也就是說，如果A1是5的話，那么右邊的區塊內，只能是C5是5；換過來，C1是5的話，右邊的區塊內A5是5。

不論如何，A行和C行內，這四格之中必有填入5的位置，所以A行和C行之中，其余位置都不可能是5，否則必然會有數字5重復的情況發生。所以，A8自然就不能是5了。

于是，我們發現，第8列內，填入5的位置只能是B8。所以B8是5。

這種區塊有一點點難受的地方在于結構可能是產生于行列的。不過，這樣的結構往往都有與之互補的區塊，比如下面這樣：

它和前面一題是一樣的，不過換了個角度。觀察第5、8兩個宮，可以發現5的填數位置形成了區塊，位于D4、D6、H4和H6（DH46）四格。

所以根據B行的排除法，可以發現5的填數位置只有一處。

不過，你可以看到，這樣的區塊其實只需要一個行/列區塊就可以搞定，這樣組合起來看，只是為了觀察的方便。

唯一余數

唯一余數是另一種得到數字的技巧。

如圖所示，當排除法不好用的時候，我們可以嘗試觀察唯一余數。

我們發現，G9單元格只可能填入4。原因在于，G9所在的行、列、宮內，恰好存在1、2、3、5、6、7、8、9，就只有數字4沒有出現。

如果填入這些數，顯然會重復。所以只能讓G9填入4。

這個技巧稱為唯一余數，簡稱唯余。

割補法

割補法，是借助于另外一種變型數獨“鋸齒數獨”（接下來會介紹到）而產生的數獨觀察技巧。所有這樣的技巧都能被改寫為區塊技巧或接下來要介紹的“數組”技巧的觀察，不過由于割補法的存在，這樣的區塊就會較為容易地被觀察出來。

如圖所示，觀察第4個宮和D行，因為這兩個區域內，都必須有1到9各一次，而它們還具有D1、D2和D3三格是“共用”部分。所以，我們可以知道一點，D4、D5、D6、D7、D8和D9（D456789）這六格和E1、E2、E3、F1、F2和F3（EF123）這六格的填數必然是一樣的。

可以觀察到，D456789中有四個數，EF123中也有兩個數，它們恰好不重復，也恰好是六個數。那么我們可以直接知道，D456789和EF123內一定都是數字1、3、4、5、7、8。

隨即觀察第7列，數字9的填數位置只有F7可填。E7不能填9的原因是，在第5個宮內，9形成區塊，E4、E5和E6之中有一格是9，所以E行內不能再填9。

數對

隱性數對

如圖所示，我們可以直接觀察到，數字3和數字8在第1個宮的填數情況都只有同樣的兩格：B12。因為我們可以直接找到旁邊的一簇3和8的提示數的排除，發現到這一點。

因為3和8這兩個數字都恰好只能填入到B12兩格之中，所以這兩格一定是3和8，別無其他。

于是，觀察第1列，數字9的填數位置就只剩下H1。所以H1是9。

這個技巧稱為隱性數對，因為數對的存在是“隱性”的，它需要提示數作出排除后才會發現，它是隱藏在盤面之中的。而這里的3和8，我們可以說，它們是一個數對。

顯性數對

有隱性數對，就有顯性數對。

如圖所示，觀察第9列，發現C9只可能填入數字6和8；而恰好，同樣位于第9列的F9，也只可能填入6和8。所以，CF9這兩格的填數只能是“此6彼8”或“此8彼6”的狀態。但是不論是哪種情況，因為6和8被確定下來在CF9兩格，所以第9列其余位置肯定都不會是6和8了。不然的話，一定會有一個數和這兩格的填數有重復。

隨即觀察第9個宮。發現根據如此得到的結論后，數字6只能填入到H7，所以H7一定填6。

這個技巧稱為顯性數對，因為數對是直接裸露存在的，通過類似唯一余數的數數方式，就可以直接看到它們。

說起簡單，使用起來可沒有那么簡單。所以以后還需要多加練習，鞏固這些數獨技巧。這些技巧也就是數獨里最為基礎的技巧，不論是標準還是變型數獨題，這些技巧都是存在的。

數組簡介

當然了，有沒有辦法將數對進行推廣呢？當然是有的，數對大致指的是“一個區域下，只有兩格填入兩種不同數字”的情況，那么將其推廣，就只需要修改里面的“兩”字：

一個區域下，只有n格填入n種不同數字的情況。

這種說法我們稱之為數組（或鏈數），其中n為2的時候叫做數對（或二數組、二鏈數）；n為3的時候，叫三數組（或三鏈數）；n為4的時候叫四數組（或四鏈數）。

這就是數組的基本描述。不過這種東西在一定程度上是比較難觀察到，并且難理解。所以本書不著重講解這一點。你只需要了解即可[3]，以便后續提到類似的東西時，可以馬上了解到它。這里給出一個示例幫助你理解數組。

隱性三數組

如圖所示，可以觀察E行，發現2、4、8的填數位置只可能在E347三個單元格。很顯然，數字2、4、8只可能填入到這三格的話，那這三格就一定是2、4、8，別無其他。

再次觀察E行，發現數字3的填數位置只剩下E9。所以E9一定是3。

顯性三數組

如圖所示，觀察第8個宮，發現G46和H4三個單元格內，只有4、8、9這樣三種數字可以填入。試想一下，這樣三個單元格同一個宮，并且只有三種不同的數字可以填入進這樣三個單元格內，那么不管怎么換著填數，這三格都只可能是4、8、9。

因為這樣三格只能是4、8、9[4]，所以這一個宮內的其余位置都不能是4、8、9，但凡出現其中一格是4、8、9其一的話，就必然會和這三格內的填數產生重復。

此時觀察第5列，發現數字4只有C5唯一一處可以填入。所以，C5一定是4。

總結

標準數獨的基礎技巧就已經全部介紹完畢了。下面我們來作一個總結，教大家如何觀察這些技巧。

排除法，需要你用觀察“消消樂”的方式來觀察它。在玩消消樂的時候，我們是針對同一種顏色的物件來著重觀察的；而排除則是觀察同一種數字。排除法僅會涉及同一種數字，所以在觀察之中，先看填入的一些數字是否有基礎的排除結果，注重觀察數字的分布狀況，進而得到一些結論；這個時候可以配合一些宮區塊來觀察。

唯一余數法，這種技巧較為難觀察到，由于它的邏輯和排除基本上是可以說“完全相反的”，所以在觀察它的時候，就需要切換角度，不能再使用消消樂的眼睛來看它了。這個時候，先縱觀整個盤面，有哪些種類的提示數，以便找到一格，比較容易得到唯一余數的結果；其次確定好一些“可能是唯一余數”的位置時，再通過快速的數數操作，確定單元格內填入的數是否真的只有唯一的一種情況。針對于數數操作，你需要多加練習，可以登錄這個網站努力練習：http：//www.sudokufans.org.cn/finder.php。

數對里，顯性數對比隱性數對的觀察要難一些，因為顯性的思維方式和唯一余數類似；而隱性數對則和排除的思維類似。所以在觀察的時候，我們盡量優先觀察隱性數對，然后是顯性數對的方式來節省時間。在觀察數對的時候，我們通常為了快速觀察到，一般都是通過分解成兩個區塊的形式來觀察：即先觀察到一個a的區塊，隨后發現b的區塊也在a區塊所在兩格，于是a和b就形成了隱性數對結構。當然，這種結構一般只產生于同宮又同一行/列的情況。較為復雜的結構，就需要使用行/列排除類似的邏輯來找了，不過，也是需要觀察兩種不同的數字的。

那么，后面就是7個練習題啦（題號300～294），要加油哦！