3.2　直線

叢書第一冊第5章介紹了一次函數的幾種定義方式，本節將采用向量方式定義一次函數。首先用法向量方法定義平面直線。

如圖3.10所示，直線法向量為n = [a, b]^T，A點為直線上一個定點，它的坐標為（x₀, y₀）。直線上任意一點P（x, y）和A構成向量[x – x₀, y – y₀]^T 垂直于法向量n；因此，兩者內積為標量0，即：

上式即直線法向量和直線上一點構造直線函數。

如圖3.11所示，定點A （x₀, y₀）位于直線上，P點為直線上任意一點。直線切向量為τ = [a, b]^T，平行于A和P構成的向量。

上式中，t為任意實數。上式實際上是一個參數方程（parametric equation）。x-y平面直角坐標系中，任意一點（x, y）橫縱坐標都是t的函數。本冊很多章節會使用參數方程繪制各種曲線，表3.1總結了常用圓錐曲線參數方程。

參數方程用來繪制復雜平面或者空間曲線，如下例：

當a、b、c、d、j和k取不同值時，上述參數方程在平面上繪制各種復雜曲線，如圖3.12所示。如下代碼繪制圖3.12。

B4_Ch3_2.m

figure(1)

subplot(3,2,1)
a = 1; b = 80; c = 1; d = 80; j = 3; k = 3;
plot_curve (a, b, c, d, j, k)

subplot(3,2,2)
a = 80; b = 1; c = 1; d = 80; j = 3; k = 3;
plot_curve (a, b, c, d, j, k)

subplot(3,2,3)
a = 1; b = 80; c = 1; d = 80; j = 3; k = 4;
plot_curve (a, b, c, d, j, k)

subplot(3,2,4)
a = 80; b = 1; c = 1; d = 80; j = 3; k = 4;
plot_curve (a, b, c, d, j, k)

subplot(3,2,5)
a = 1; b = 80; c = 80; d = 80; j = 3; k = 4;
plot_curve (a, b, c, d, j, k)

subplot(3,2,6)
a = 1; b = 80; c = 80; d = 1; j = 3; k = 4;
plot_curve (a, b, c, d, j, k)

function plot_curve (a, b, c, d, j, k)

t = 0:0.001:2*pi;
x = cos(a*t) - cos(b*t).^j;
y = sin(c*t) - sin(d*t).^k;
plot(x,y)
daspect([1,1,1])
set(gca,'xtick',[])
set(gca,'ytick',[])
set(gca,'ztick',[])
axis off
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
title({['a = ',num2str(a),'; b = ',num2str(b),...
    '; c = ',num2str(c),'; d = ',num2str(d),';'],...
    ['j = ',num2str(j),'; k = ',num2str(k)]})
end

一元一次函數y = f（x）= kx + c，用其一階導數構造函數法向量和切向量。首先，構造如下二元F（x, y）函數：

F（x, y）在（x₀, y₀）點處法向量，即平面上f（x）法向量n通過下式求解：

如圖3.13（a）所示，發現法向量n和點位置無關，因此，直線上任意一點法向量均可用上式表達。另外，法向量n即F（x, y）梯度向量。

已經知道函數f（x）一階導數即切線斜率，因此，很容易用一階導數df/dx來表達直線切線向量：

如圖3.13（b）所示，同樣發現，直線切向量和直線具體點坐標無關。圖3.1 4展示了另外一種法向量和切向量定義。圖中向量方向和圖3.13相反。

如圖3.15所示，平面內任意一點Q（x_Q, y_Q）到直線ax + by + c = 0距離為d，d計算式如下：

有興趣的讀者用上一章投影內容介紹方法來推導得到上式。

過空間一點和已知直線平行直線唯一，即一點和空間向量確定一條直線。如圖3.16給出空間點A坐標為（x₀, y₀, z₀），直線切線向量τ = [m, n, p]^T。P（x, y, z）為直線上任意一點，向量PA（x – x₀, y – y₀, z –z₀）^T 平行于τ，由此得到下式：

上式類似叢書第一冊第5章中介紹空間直線定義方法。明顯區別是，這里明確了直線方向向量和直線本身關系。引入比例系數t，可構造如下方程：

上式，適用于m、n或p為0情況。比例系數t便是空間直線參數方程變量。