1.3　多項式運算

叢書第一冊和第三冊講過多項式（polynomial）函數；特別地泰勒展開經常使用線性函數（linear function）和二次函數（parabola）。

一元多項式函數基本形式為：

poly2sym() 函數可以構造符號多項式，比如：

syms a b c d x y t
y1 = poly2sym([1, 2, 3, 4])
% y1
% = x^3 + 2*x^2 + 3*x + 4
y2 = poly2sym([a, b, c, d])
% y2 =
%  a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
y3 = poly2sym([a, b, c, d], t)
% y3 =
% a*t^3 + b*t^2 + c*t + d
y4 = subs(y3, t, y^2 + 1)
% y 4 =
% d + a*(y^2 + 1)^3 + b*(y^2 + 1)^2 + c*(y^2 + 1)

函數sym2poly()可以提取符號多項式各項系數，比如下例：

syms x
coeff_1 = sym2poly(x^3 + 2*x^2 + 3*x + 4)
% coeff_1 =
%      1     2     3     4

coeffs() 函數也可以提取符號多項式成分，但值得注意的是，這個函數輸出各項系數的順序和sym2poly()的結果相反，比如下例。fliplr()函數左右顛倒行向量。

syms x
coeff_1 = coeffs(x^3 + 2*x^2 + 3*x + 4)
% coeff_1 =
% [ 4, 3, 2, 1]
% Reverse the ordering of coefficients by using fliplr.
c = fliplr(coeff_1)
% c =
% [ 1, 2, 3, 4]

coeffs() 不但可以獲得系數，也能獲得對應項，比如下例。請讀者注意系數的先后順序。

syms x
[coeff_1,terms_x] = coeffs(x^3 + 2*x^2 + 3*x + 4)
% coeff_1 =
% [ 1, 2, 3, 4]
%
% terms_x =
% [ x^3, x^2, x, 1]

如果在輸入加入指令符'All'，coeffs()會輸出所有項系數，哪怕該項系數為零。

syms x
c = coeffs(3*x^2)
% c =
% 3

c_all = coeffs(3*x^2, 'All')
% c_all =
% [ 3, 0, 0]

coeffs()還可以針對某一個變量，輸出它的系數。比如對下式，用coeffs()可以分別獲得它關于x或y的系數。

具體代碼如下：

cx = coeffs(x^3 + 2*x^2*y + 3*x*y^2 + 4*y^3, x)
% cx =
% [ 4*y^3, 3*y^2, 2*y, 1]

cy = coeffs(x^3 + 2*x^2*y + 3*x*y^2 + 4*y^3, y)
% cy =
% [ x^3, 2*x^2, 3*x, 4]

coeffs() 還可以獲得多元函數變量，比如獲得上例中x和y的系數。

syms x y
cxy = coeffs(x^3 + 2*x^2*y + 3*x*y^2 + 4*y^3, [x y])
% cxy =
% [ 4, 3, 2, 1]
cyx = coeffs(x^3 + 2*x^2*y + 3*x*y^2 + 4*y^3, [y x])
% cyx =
% [ 1, 2, 3, 4]

類似地，coeffs()可以輸出多元函數變量和對應項，如下：

syms x y
[cxy,terms_xy] = coeffs(x^3 + 2*x^2*y + 3*x*y^2 + 4*y^3, [x y])
% cxy =
% [ 1, 2, 3, 4]
%
% terms_xy =
% [ x^3, x^2*y, x*y^2, y^3]
[cyx,terms_yx] = coeffs(x^3 + 2*x^2*y + 3*x*y^2 + 4*y^3, [y x])
% cyx =
% [ 4, 3, 2, 1]
%
% terms_yx =
% [ y^3, x*y^2, x^2*y, x^3]

另外，coeffs()還能獲取符號系數，而sym2poly()函數暫時沒有這個功能。

syms a b c x
[c_x, terms_x] = coeffs(a*x^2 + b*x + c, [x], 'All')
% c_x =
% [ a, b, c]
%
% terms_x =
% [ x^2, x, 1]

對于多項式，MATLAB還提供了一系列函數來處理多項式符號表達式。感興趣的讀者可閱讀幫助文件學習如下函數：