2.3　關系數據庫的基礎理論

2.3.1　關系模式規范化

關系模式設計要以關系模式規范化理論為指導，從而減少數據庫中的數據冗余，避免異常操作和避免數據不一致。

關系模式規范化理論包括一系列范式（Normal Forms，NF）。高一級范式所需要的條件包含了低一級范式所需要的條件：如果一個關系模式需要符合第三范式，則其必須符合第一范式和第二范式。關系模式的規范化就是將一個低一級范式的關系模式，通過模式分解轉換為高一級范式的過程。對于大部分關系數據庫設計來說，符合第三范式就可以了。如圖2.12所示的“e學習”系統數據庫的所有關系模式都符合第三范式。

1．第一范式（1NF）

如果關系模式中的每個分量都是不可分的，則其符合1NF。1NF是關系模式的最低要求。

將非1NF關系模式規范化為1NF，需要對列中有分量的屬性進行合并或分割，以保證每個字段都不可分；對行中存在的多個數據值通過擴展主鍵的方法進行記錄分割，以唯一標識一條記錄。

【例2.17】生源表的正確描述。

圖2.18（a）中的生源表出現了“表中有表”的現象，它有兩點不符合1NF的要求：第一，“地區”字段有“省”和“市”兩個分量值；第二，首條記錄的“姓名”字段有多個值。解決的方法是，把地區分成省、市兩列（見圖2.18（b））或合并為一列（見圖2.18（c）），同時設置主鍵，將相關數據項拆分到單條記錄中。

2．第二范式（2NF）

如果一個關系模式符合1NF，且所有非主鍵屬性都完全依賴于主鍵，則其符合2NF。

2NF適用于有復合主鍵的關系模式。復合主鍵即由兩個或多個屬性組成的主鍵。主鍵為單屬性且滿足1NF的關系模式一定滿足2NF。

如圖2.19所示的關系模式R（學號，姓名，課程名，學分，類別，成績），主鍵為（學號，課程名）。非主鍵屬性“姓名”只依賴于復合主鍵的部分屬性“學號”，而“學分”和“類別”只依賴于“課程名”，不完全依賴于主鍵。因此，關系模式R不滿足2NF。

非2NF的關系模式會引起數據冗余、數據不一致和操作復雜等問題。例如，一門課的學分在多條記錄中重復存儲，修改學分要修改所有相關記錄，不僅操作復雜，而且稍有不慎，可能所有記錄無法保持一致的學分。

將非2NF的關系模式轉化為符合2NF的關系模式，一般采用投影分解的方法，將其分解為兩個或多個關系模式，從而消除非主鍵屬性對主鍵的部分依賴。分解過程如下。

第1步：用主鍵屬性集合的每個子集分別作為主鍵構成一個關系模式。

第2步：將每個屬性分配到它所依賴的最小主鍵對應的關系模式中。

第3步：去掉只由主鍵的子集構成的關系模式。

【例2.18】將R（學號，姓名，課程名，學分，類別，成績）規范化為2NF關系模式。

投影分解步驟如圖2.20所示，得到三個滿足2NF的關系模式：R1（學號，姓名）、R2（課程名，學分，類別）、R3（學號，課程名，成績）。結果如圖2.19所示。

3．第三范式（3NF）

如果一個關系模式符合2NF，且表中任意非主鍵屬性都不傳遞依賴于主鍵，則其符合3NF。

如圖2.21所示的關系模式R（課程名，學分，教師，職稱）是一個非3NF的關系模式。原因是：表中的非主鍵屬性“職稱”并不直接依賴于主鍵“課程名”，而是依賴于非主鍵屬性“教師”，而“教師”依賴于主鍵“課程名”，說明該表存在非主鍵屬性“職稱”傳遞依賴于主鍵“課程名”。

非3NF的關系模式也會出現數據冗余和操作異常等問題。例如，教師張曉蕓開設多門課程，她的職稱也要重復出現多次，造成數據的冗余；若要對職稱進行修改，則可能會出現修改復雜、產生數據不一致等問題。

將非3NF的關系模式轉化為符合3NF的關系模式，也采用投影分解方法，將其分解為兩個或多個關系模式，從而消除非主鍵屬性對主鍵的傳遞依賴。分解過程如下。

第1步：刪除不直接依賴于主鍵的所有屬性，并以每個被依賴屬性作為主鍵新建一個關系模式。

第2步：在新建關系模式中放入所有依賴它的屬性。

【例2.19】將R（課程名，學分，教師，職稱）分解為滿足3NF的關系模式。

投影分解步驟如圖2.22所示，得到兩個滿足3NF的關系模式：R1（課程名，學分，教師）、R2（教師，職稱）。結果如圖2.21所示。

2.3.2　關系模型運算理論簡介

了解關系模型的數學基礎，對于理解關系模型、設計關系模式和實現應用很有幫助。本節通過實例對關系模型的數學理論基礎—關系代數進行簡要介紹。

1．關系定義

在關系模型中，無論是實體還是實體之間的聯系均由單一的結構類型，即關系（二維表）來表示。下面首先以關系代數中的集合理論引出關系的定義。

（1）域。域是一組具有相同數據類型的值的集合。例如，非負整數、整數、實數、長度小于25字節的字符串集合、{0, l}、大于0且小于100的正整數等都可以是域。

【例2.20】下列三個集合表示三個域。

D1={陳佳迪,徐瑤琪}，表示學生的集合。

D2={男,女}，表示性別的集合。

D3={上海,浙江,山西}，表示地區的集合。

（2）笛卡兒積。為了從集合代數的角度給出關系的定義，這里引入笛卡兒積的概念。

給定一組域D1,D2, …,Dn，則這組域的笛卡兒積為：

從這個定義中可以看出，笛卡兒積得到的也是一個集合，該集合中的每個元素稱為一個元組，簡稱元組。元組中的每個di稱為元組的一個分量，分別取自相應的集合Di。

【例2.21】求例2.20中三個域的笛卡兒積。

D1×D2×D3={(陳佳迪,男,上海), (陳佳迪,男,浙江), (陳佳迪,男,山西), (陳佳迪,女,上海), (陳佳迪,女,浙江), (陳佳迪,女,山西), (徐瑤琪,男,上海), (徐瑤琪,男,浙江), (徐瑤琪,男,山西), (徐瑤琪,女,上海), (徐瑤琪,女,浙江), (徐瑤琪,女,山西)}。

D1×D2×D3共有12個元組，它組成了一個以元組為元素的集合，形成一個二維表（見圖2.23）。由此可見，笛卡兒積可以表示一個二維表。

（3）關系。笛卡兒積D1×D2×…×Dn的任意一個子集稱為D1, D2, …, Dn上的一個n元關系，通常用R(D1, D2, …, Dn)表示，這里為關系名，是關系的度。關系也是一個集合，它的元素為元組。關系可以直觀地用一個二維表表示，表的每行對應一個元組，表的每列對應一個域。由于域可以相同，為了加以區分，應為每列起一個名字，稱為屬性。顯然，元關系必有n個屬性。

【例2.22】用例2.21中笛卡兒積的一個子集構造一個關系。

陳佳迪、徐瑤琪是兩個學生的姓名，他們的性別都在D2域內，地區在D3域內，從圖2.23中笛卡兒積的12個元組中必能找出符合他們實際情況的兩個元組，用二維表來表示如圖2.24所示。

在實際應用中，關系是從笛卡兒積中選取的有意義的子集。圖2.24中的兩個元組是圖2.23中笛卡兒積的一個子集，構成了名為“學生”的關系模式，記為學生(姓名,性別,地區)。其中，“學生”為關系名，“姓名”“性別”“地區”均為屬性名。

2．關系運算

關系運算是以集合為基礎的各種運算，可以支持對關系模型的操作要求，也是關系數據庫查詢語言的理論基礎。關系運算包括傳統的集合運算和面向數據庫的專門關系運算。

（1）傳統的集合運算

在傳統的集合運算中，參加運算的集合以元組（記錄）作為它的元素，其運算是從行的角度來進行的。這些運算都是二元運算，由兩個關系產生一個新的關系，主要包括并、交、差和笛卡兒積。

如果關系R和S具有相同或相容的關系模式（相容指兩個關系有相同的屬性結構，且對應屬性的值域相同），則R和S可進行并、交、差運算。在圖2.25中，文學社表R（見圖2.25（a））與合唱團表S（見圖2.25（b））有相同的關系模式。

1）并運算

關系R和S的并運算的形式化表示為：

關系R和S的并運算結果由屬于和屬于S的所有元組組成，其結果關系的屬性的個數與R或S相同。并運算實現了數據記錄的合并，即向表中插入數據記錄的操作。

【例2.23】文學社表R和合唱團表S的并運算。

圖2.25（d）為R和S并運算的結果，包含文學社和合唱團的所有學生記錄。

2）交運算

關系R和S的交運算的形式化表示為：

關系R和S的交運算結果由既屬于R又屬于S的元組組成，其結果關系的屬性的個數與R或S相同。交運算獲得兩個關系中相同的記錄。

【例2.24】文學社表R和合唱團表S的交運算。

圖2.25（e）為R和S交運算的結果，僅包含既參加文學社又參加合唱團的學生記錄。

3）差運算

關系R和S差運算的形式化表示為：

關系R和S的差運算結果由屬于R但不屬于S的元組組成，其結果關系的屬性的個數與R或S相同。差運算實現了從表中刪除數據記錄的操作。

【例2.25】文學社表R和合唱團表S的差運算。

圖2.25（f）為R和S差運算的結果，包含只參加文學社未參加合唱團的學生記錄。

4）笛卡兒積

笛卡兒積也是二元運算，但與并、交、差運算不同，它不要求參加運算的兩個關系模式相同或相容。關系R和U的笛卡兒積運算的形式化表示：

一個列的關系R和一個列的關系U的笛卡兒積是一個列的元組的集合，元組的前列是關系R的一個元組，后列是關系U的一個元組。若R有k1個元組，U有k2個元組，則關系和關系U的笛卡兒積有k1×k2個元組。笛卡兒積運算獲得兩個關系中記錄的連接。

【例2.26】文學社表R和選課表U的笛卡兒積運算。

圖2.25（c）為選課表U。圖2.25（g）為R和U的笛卡兒積運算的結果，是文學社表與選課表數據記錄的連接。但有些連接數據沒有意義，因為運算實現的是不同學生的選課記錄與所有學生記錄的連接，進一步選取學號相等的元組就有實際意義了。

（2）專門的關系運算

這種運算是為關系模型而引進的特殊運算，它主要從列的角度即屬性的角度來進行運算，但有時也會對行有影響。專門的關系運算主要包括選擇、投影、連接等。

1）選擇

選擇操作是一元運算，它在關系中選擇滿足某些條件的元組，即在表中選擇滿足某些條件的記錄行。因此選擇操作得到的關系模式與原來關系模式的定義相同，只是數據是原數據的子集。選擇操作是對關系的水平分割，實現了依據條件查詢數據記錄的操作。

關系R關于選擇條件F的選擇操作記為：

【例2.27】文學社表R的選擇運算：找出所有男學生。

若要在文學社表中找出所有性別是“男”的學生，就可以對學生表做選擇操作，條件是：“性別等于"男"”，操作記為。圖2.25（h）為運算結果。

2）投影

投影操作是一元運算，它在關系中選擇某些屬性，因此選擇結果的關系是原關系的子集。選擇操作是對關系的垂直分割，實現了查詢包含部分屬性的記錄集合的操作。

關系R是元關系，R在其分量集合A中的投影操作記為：

【例2.28】文學社表R的投影運算：查看成員的姓名和性別。

若只要查看文學社學生的姓名、性別，就可以對文學社表做投影操作，選擇表中的“姓名”和“性別”列，操作記為。圖2.25（i）為運算結果。

3）連接

連接操作是二元運算，指從兩個關系的笛卡兒積中選取滿足一定條件的元組。

【例2.29】文學社表R和選課表U的連接運算。

關系R和關系U做連接操作，連接條件是，即在圖2.25（g）的笛卡兒積中選取滿足R中“學號”屬性值和U中“學號”屬性值相等的元組，得到的結果如圖2.25（j）所示。該連接結果反映了學生及其所選課程的信息，與實際情況相符合。連接運算實現了針對多表的聯合查詢操作。

連接條件中的屬性稱為連接屬性，兩個關系中的連接屬性應該是可比的，即：是同一種數據類型的。例如，都是數字型的或都是字符型的。連接條件中的運算符為比較運算符，當此運算符取“=”時，稱為等值連接，圖2.25（j）是關系R和S做等值連接后得到的結果關系。運算符也可以是=、>、>=、<、<=、<>（不等于）。

如果等值連接中連接屬性為相同屬性（或屬性組），而且在結果關系中去掉重復屬性，則此等值連接稱為自然連接。圖2.25（k）是關系R和S做自然連接后得到的結果關系。自然連接是最常用的連接。