1.1　實(shí)數(shù)及其運(yùn)算

1.1.1　實(shí)數(shù)的概念和有理數(shù)的運(yùn)算法則

1．實(shí)數(shù)的概念

（1）自然數(shù)：0,1,2,3,4,?稱為自然數(shù)。

（2）有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，即正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)和零統(tǒng)稱有理數(shù)。

（3）無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱為無(wú)理數(shù)，如、3、π等。

（4）實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的集合統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，即

（5）倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

（6）相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。

（7）絕對(duì)值：正數(shù)與零的絕對(duì)值是其本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，記作，即

（8）區(qū)間：介于a和b兩數(shù)之間的所有實(shí)數(shù)的全體（a≤b）稱為區(qū)間。若包括端點(diǎn)在內(nèi)的，稱為閉區(qū)間；不包括端點(diǎn)在內(nèi)的，稱為開區(qū)間；只包括一個(gè)端點(diǎn)在內(nèi)的，稱為半開半閉區(qū)間。區(qū)間的表示：閉區(qū)間為[a,b]，開區(qū)間為（a,b），半開半閉區(qū)間為[a,b）或（a,b]。

2．有理數(shù)的運(yùn)算法則和定律

（1）加（減）法運(yùn)算法則：①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；②絕對(duì)值不等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；③相反數(shù)的和為零；④一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)；⑤兩數(shù)相減，減去一個(gè)數(shù)，等于加上它的相反數(shù)，即a-b=a+(-b)。

（2）乘法運(yùn)算法則：①幾個(gè)實(shí)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)是零，則積等于零；②如果沒有零因數(shù)，則負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)積取正號(hào)，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)積取負(fù)號(hào)，并把各因數(shù)的絕對(duì)值相乘。

（3）除法運(yùn)算法則：①0不能做除數(shù)；②若除數(shù)不為0，則除以一個(gè)數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，其符號(hào)與乘法相同，即b≠0，則a÷ b=a×1/b；③0除以任何一個(gè)不為0的數(shù)，都為0。

（4）乘方：相同因數(shù)相乘稱為乘方，其積稱為冪。乘方是乘法的特例。負(fù)數(shù)的偶次冪為正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪為負(fù)數(shù)。

（5）開方：求一個(gè)實(shí)數(shù)方根的運(yùn)算稱為開方，結(jié)果為方根。開方是乘方的逆運(yùn)算。在實(shí)數(shù)中，負(fù)數(shù)沒有偶次方根，所以開方運(yùn)算的結(jié)果不一定仍是實(shí)數(shù)。

（6）交換律、結(jié)合律及分配律：

①交換律：a+b=b+a，a×b=b×a；

②結(jié)合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)；

③分配律：(a+b)×c=a×c+b×c。

（7）乘方的運(yùn)算定律：

aman=a(m + n)；

(am)n=am×n；

(a×b)m=am×bm；

am÷an=a(m-n)。

（8）有理數(shù)的混合運(yùn)算：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，則先算括號(hào)內(nèi)的。同級(jí)運(yùn)算中，從左到右按順序算。

（9）近似數(shù)與有效數(shù)字：

①近似數(shù)。近似地表示某一個(gè)量的值的數(shù)稱為近似數(shù)。一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，這個(gè)近似數(shù)就精確到哪一位。

②有效數(shù)字。由四舍五入得到的近似數(shù)，精確到某一位，那么，從左面第一個(gè)不是零的數(shù)字起，到這一位數(shù)字止，所有的數(shù)都稱為這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。

【例1】計(jì)算下列各式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（4）原式=×1=0.06

【例2】用四舍五入法，按括號(hào)中的要求對(duì)下列各數(shù)取近似值。

（1）0.32049（精確到千分位）；

（2）3.49499（精確到0.01）；

（3）4539（保留一位有效數(shù)字）；

（4）0.003195（保留兩位有效數(shù)字）。

解：（1）0.32049≈0.320

（2）3.49499≈3.49

（3）4539≈5×

（4）0.003195≈3.2×

【1.1.1練習(xí)題】

1．計(jì)算：

（1）

（2）

（3）

2．下列由四舍五入得到的近似數(shù)，各精確到哪一位，各有幾位有效數(shù)字？

（1）0.00430　（2）250萬(wàn)

（3）0.0043　（4）3.10×104