2.1.3　數(shù)據(jù)分布偏態(tài)與峰度的測定

偏態(tài)和峰度就是對這些分布特征的描述：偏度是對數(shù)據(jù)分布在偏移方向和程度所做的進(jìn)一步描述；峰度是對數(shù)據(jù)分布的扁平程度所做的描述。偏斜程度的描述用偏態(tài)系數(shù)，扁平程度的描述用峰度系數(shù)。

1．動(dòng)差法

動(dòng)差又稱矩，原是物理學(xué)上用以表示力與力臂對重心關(guān)系的術(shù)語，這個(gè)關(guān)系和統(tǒng)計(jì)學(xué)中變量與權(quán)數(shù)對平均數(shù)的關(guān)系在性質(zhì)上很類似，所以統(tǒng)計(jì)學(xué)也用動(dòng)差來說明頻數(shù)分布的性質(zhì)。

一般地說，取變量的a值為中點(diǎn)，所有變量值與a之差的K次方的平均數(shù)稱為變量X關(guān)于a的K階動(dòng)差。用式子表示即為：

（2.31）

當(dāng)a=0時(shí)，即變量以原點(diǎn)為中心，上式稱為K階原點(diǎn)動(dòng)差，用大寫英文字母M表示。

一階原點(diǎn)動(dòng)差：

（2.32）

二階原點(diǎn)動(dòng)差：

（2.33）

三階原點(diǎn)動(dòng)差：

（2.34）

當(dāng)時(shí)，即變量以算術(shù)平均數(shù)為中心，上式稱為K階中心動(dòng)差，用小寫英文字母m表示。

一階中心動(dòng)差：

（2.35）

二階中心動(dòng)差：

（2.36）

三階中心動(dòng)差：

（2.37）

2．偏態(tài)及其測度

偏態(tài)是對分布偏斜方向及程度的度量。從前面的內(nèi)容中我們已經(jīng)知道，頻數(shù)分布有對稱的，有不對稱的（偏態(tài)的）。在偏態(tài)的分布中，又有兩種不同的形態(tài)，即左偏和右偏。我們可以利用眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)之間的關(guān)系判斷分布是左偏還是右偏，但要度量分布偏斜的程度，就需要計(jì)算偏態(tài)系數(shù)了。

采用動(dòng)差法計(jì)算偏態(tài)系數(shù)是用變量的三階中心動(dòng)差m₃與進(jìn)行對比，計(jì)算公式為：

（2.38）

當(dāng)分布對稱時(shí)，變量的三階中心動(dòng)差m₃由于離差三次方后正負(fù)相互抵消而取得0值，所以a=0；當(dāng)分布不對稱時(shí)，正負(fù)離差不能抵消，就形成正的或負(fù)的三階中心動(dòng)差m₃。當(dāng)m₃為正值時(shí)，表示正偏離差值比負(fù)偏離差值要大，可以判斷為正偏或右偏；反之，當(dāng)m₃為負(fù)值時(shí)，表示負(fù)偏離差值比正偏離差值要大，可以判斷為負(fù)偏或左偏。|m₃|越大，表示偏斜的程度就越大。由于三階中心動(dòng)差m₃含有計(jì)量單位，為消除計(jì)量單位的影響，就用去除m₃，使其轉(zhuǎn)化為相對數(shù)。同樣的， a的絕對值越大，表示偏斜的程度就越大。

3．峰度及其測度

峰度是用來衡量分布的集中程度或分布曲線的尖峭程度的指標(biāo)。計(jì)算公式如下：

（2.39）

分布曲線的尖峭程度與偶數(shù)階中心動(dòng)差的數(shù)值大小有直接的關(guān)系，m₂是方差，于是就以四階中心動(dòng)差m₄來度量分布曲線的尖峭程度。m₄是一個(gè)絕對數(shù)，含有計(jì)量單位，為消除計(jì)量單位的影響，將m₄除以，就得到無量綱的相對數(shù)。衡量分布的集中程度或分布曲線的尖峭程度往往是以正態(tài)分布的峰度作為比較標(biāo)準(zhǔn)的。在正態(tài)分布條件下，m4/σ4=3，將各種不同分布的尖峭程度與正態(tài)分布比較。

當(dāng)峰度a₄＞3時(shí)，表示分布的形狀比正態(tài)分布更瘦更高，意味著分布比正態(tài)分布更集中在平均數(shù)周圍，這樣的分布稱為尖峰分布，如圖2.1（a）；當(dāng)a₄=3時(shí)，分布為正態(tài)分布；當(dāng)a₄＜3時(shí)，表示分布比正態(tài)分布更扁平，意味著分布比正態(tài)分布更分散，這樣的分布稱為扁平分布，如圖2.1（b）所示。