4.4 改進(jìn)的最大類間方差法

最大類間方差法（OTSU法）是一種典型的無參數(shù)、無監(jiān)督的自動(dòng)確定閾值的閾值分割方法。早在1979年，該算法由日本學(xué)者大津展之提出，是在最小二乘法的基礎(chǔ)上被推導(dǎo)求出的。該方法無須預(yù)先知道其他先驗(yàn)知識(shí)，具有算法簡便、運(yùn)算速度快、目標(biāo)和背景分離性較好以及擁有自適應(yīng)閾值等優(yōu)點(diǎn)，從而該方法被廣泛地應(yīng)用到圖像分割中。

最大類間方差法的基本原理是依據(jù)待分割圖像中像素的灰度特點(diǎn)，將圖像分成目標(biāo)和背景兩種類型；若圖像中的目標(biāo)與背景的類間方差大，則表示目標(biāo)和背景之間的差別大，因此如果當(dāng)圖像中的背景信息被誤判為目標(biāo)信息，或者圖像中的目標(biāo)信息被錯(cuò)判為背景信息時(shí)，該圖像中的目標(biāo)與背景的類間方差就會(huì)取很小的值。由于這一特性，該方法只要滿足圖像中像素的類間方差最大或類內(nèi)方差最小，就意味著最小的誤差，進(jìn)而可以取得最優(yōu)閾值，從而對(duì)圖像進(jìn)行精確分割。

最大類間方差法的思想如下：

1）一維最大類間方差法的基本原理：假設(shè)待分割圖像為h，該圖像的灰度級(jí)共L，n_j代表圖像中灰度值是j的像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)，N代表圖像像素的總個(gè)數(shù)，其表達(dá)式見式（4-20）；圖像中各像素點(diǎn)的灰度值的概率是p_j，其表達(dá)式見式（4-21）。接著，該方法自動(dòng)確定閾值為T，將圖像中的像素按照灰度級(jí)分為以下兩組像素點(diǎn)的集合D₀和D₁，其表達(dá)式分別見式（4-22）和式（4-23）；像素點(diǎn)集合D₀的概率為M₀（或表示為M（T）），其表達(dá)式見式（4-24），像素點(diǎn)集合D₁的概率為M₁，其表達(dá)式見式（4-25）；D₀平均值為μ₀，其表達(dá)式見式（4-26），D₁平均值為μ₁，其表達(dá)式見式（4-27）；整個(gè)圖像的灰度平均值為μ，其表達(dá)式見式（4-28）；μ（T）代表當(dāng)圖像的閾值為T時(shí)，整個(gè)圖像灰度值的平均值，其表達(dá)式見式（4-29）；所有采樣的灰度值的平均值為μ′，其表達(dá)式見式（4-30）；δ²（T）代表兩組像素點(diǎn)集合D₀與D₁間的方差，稱其為閾值選取函數(shù)，其表達(dá)式見式（4-31），并且求解式（4-31）中δ²（T）的最大值，記作maxδ²（T），這個(gè)值就是該方法的最佳閾值。

2）二維最大類間方差法的基本原理：假設(shè)待分割圖像為h（x，y），圖像中像素點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y），圖像的灰度級(jí)共L，f（x，y）代表k×k鄰域的平均灰度值，其表達(dá)式見式（4-32）；該方法用圖像的灰度值h（x，y）和k×k鄰域的平均灰度值f（x，y）來表示圖像，記作h_i，j，h_i，j=（h（x，y），f（x，y）），且代表像素點(diǎn)坐標(biāo)為（i，j），該像素點(diǎn)的灰度值為h（x，y），其鄰域的平均灰度值為f（x，y）；p_i，j代表點(diǎn)（i，j）的頻率，其表達(dá)式見式（4-33）。

二維最大類間方差法的二維灰度直方圖如圖4-2所示。圖中橫、縱坐標(biāo)代表二維最大類間方差法的分割閾值（s，t），直方圖被分為A、B、C、D四個(gè)區(qū)域；圖像中的目標(biāo)和背景主要集中在B、C這兩個(gè)區(qū)域，而對(duì)于A、D這兩個(gè)區(qū)域幾乎沒有圖像的目標(biāo)和背景，因此在這兩個(gè)區(qū)域目標(biāo)和背景的分布概率幾乎接近于0。像素點(diǎn)集合D₀和D₁分別代表直方圖中的目標(biāo)和背景，即在直方圖中的B、C兩個(gè)區(qū)域，且它們的概率分別為p（D₀）、p（D₁），其表達(dá)式分別見式（4-34）和式（4-35）；像素點(diǎn)集合D₀和D₁的灰度均值矢量分別為μ₀、μ₁，其表達(dá)式分別見式（4-36）和式（4-37）；待分割圖像總的灰度均值矢量是μ_T，其表達(dá)式見式（4-38）；該直方圖的離散矩陣為S_E，其表達(dá)式見式（4-39）；離散矩陣S_E的跡是tr（S_E），且當(dāng)離散矩陣S_E的跡tr（S_E）取最大值時(shí)，此時(shí)就可以取得該圖像的最佳閾值（S，T），這個(gè)最佳閾值記作tr（S_E（S，T）），tr（S_E（S，T））的表達(dá)式見式（4-40）。

圖4-2 二維灰度直方圖

由于待分割的多源圖像中的目標(biāo)和背景有時(shí)差別不是很大，背景呈不均勻分布，此時(shí)采用最大類間方差法分割多源圖像，不僅使多源圖像的分割閾值難以把握，而且還會(huì)造成圖像的邊緣信息殘缺，因此，針對(duì)此缺陷本章對(duì)最大類間方差法進(jìn)行了改進(jìn)。由于大量的實(shí)驗(yàn)已證明，圖像經(jīng)過梯度運(yùn)算轉(zhuǎn)為梯度圖像后可以保存圖像的邊界信息，同時(shí)去除圖像中的局部極小值及干擾噪聲，從而使得圖像的目標(biāo)和背景更為突出，使得圖像的直方圖具有更加明顯的雙峰，因而獲得最優(yōu)閾值，并且結(jié)合了梯度特征的閾值分割能夠使多源圖像取得較好的分割效果，因此本章使用梯度算法與最大類間方差法結(jié)合的方法來對(duì)多源圖像進(jìn)行分割。

結(jié)合梯度特征的最大類間方差法的步驟：首先將多源圖像梯度化獲取梯度信息，保存圖像完整的邊緣信息，從而為準(zhǔn)確尋找最優(yōu)閾值奠定基礎(chǔ)；然后再使用最大類間方差法對(duì)多源圖像進(jìn)行分割。圖像梯度化通常使用一階差分表示梯度，且常用的計(jì)算一階差分的方法包含：Prewitt邊緣檢測(cè)算子、Roberts邊緣檢測(cè)算子以及Sobel邊緣檢測(cè)算子等；計(jì)算梯度值通常使用圖像的卷積和圖像小區(qū)域模板，Kirsch邊緣檢測(cè)算子是利用卷積和圖像小區(qū)域模板計(jì)算梯度值的典型方法之一。

Prewitt邊緣檢測(cè)算子計(jì)算圖像h（x，y）對(duì)x、y的一階差分，其中h₀，h₁，…，h₉是以h₅為中心的各個(gè)像素點(diǎn)，則x、y的一階差分分別表示為G_x、G_y，表達(dá)式如下：

G_x=（h₇+h₈+h₉）-（h₁+h₂+h₃）（4-41）

G_y=（h₃+h₆+h₉）-（h₁+h₄+h₇）（4-42）

Roberts邊緣檢測(cè)算子計(jì)算圖像h（x，y）對(duì)x、y的一階差分，其中h₀，h₁，…，h9是以h₅為中心的各個(gè)像素點(diǎn)，則x、y的一階差分分別表示為G_x、G_y，表達(dá)式如下：

G_x=h₉-h₅（4-43）

G_y=h₈-h₆（4-44）

Sobel邊緣檢測(cè)算子計(jì)算圖像h（x，y）對(duì)x、y的一階差分，其中h₀，h₁，…，h₉是以h₅為中心的各個(gè)像素點(diǎn)，則x、y的一階差分分別表示為G_x、G_y，表達(dá)式如下：

G_x=（h₇+2h₈+h₉）-（h₁+2h₂+h₃）（4-45）

G_y=（h₃+2h₆+h₉）-（h₁+2h₄+h₇）（4-46）

Kirsch邊緣檢測(cè)算子由八個(gè)代表八個(gè)方向的模板組成算子，利用該算子進(jìn)行卷積，即可得到八個(gè)方向中的最大值及其該方向所對(duì)應(yīng)的方向數(shù)值，從而得到由邊緣方向及強(qiáng)度表示的具有梯度特征的圖像。

若圖像為h（x，y），且該圖像的灰度取值范圍是G∈（0，L-1），則圖像h（x，y）的梯度為Δh（x，y），其表達(dá)式見式（4-47）；Δh（x，y）的幅度值為mag（h（x，y）），其表達(dá)式見式（4-48）；Δh（x，y）的相位為θ（x，y），其表達(dá)式見式（4-49）。

本章采用形態(tài)學(xué)開閉運(yùn)算對(duì)多源圖像梯度化，是因?yàn)樾螒B(tài)學(xué)梯度運(yùn)算具有非線性，與Prewitt邊緣檢測(cè)算子、Roberts邊緣檢測(cè)算子以及Sobel邊緣檢測(cè)算子等常用的梯度化方法相比，更能增強(qiáng)圖形中極值的對(duì)比度，使圖像中的目標(biāo)與背景的對(duì)比度增加，從而使目標(biāo)和背景的區(qū)分度變得明顯；其次，該方法也具有良好的保持圖像中重要輪廓區(qū)域的效果，從而保存了圖像完整的邊緣信息，為準(zhǔn)確尋找最佳閾值打下良好的基礎(chǔ)。圖4-3為原測(cè)試的多源圖像，圖4-4為最大類間方差法的分割圖像，圖4-5為改進(jìn)的最大類間方差法即結(jié)合梯度特征的最大類間方差法的分割圖像。

圖4-3 測(cè)試圖

圖4-4 最大類間方差法分割圖

圖4-5 改進(jìn)的最大類間方差法分割圖

通過對(duì)比圖4-4與圖4-5，可知直接采用最大類間方差法，由于多源圖像中的背景有時(shí)比較復(fù)雜，背景呈不均勻分布，使得多源圖像的分割閾值難以尋找到，甚至出現(xiàn)圖4-4中大量的與目標(biāo)無關(guān)的極小值區(qū)域，分割效果遠(yuǎn)差于圖4-5的結(jié)合梯度特征的最大類間方差法的分割效果。

因此，本章采用結(jié)合梯度特征的最大類間方差法對(duì)分水嶺算法進(jìn)行改進(jìn)，形成結(jié)合梯度特征的最大類間方差法的分水嶺算法，從而得到了具有一定意義的邊界特征的分割圖像，解決了傳統(tǒng)分水嶺算法中虛假的局部極小值過多與過分割問題，而且使分水嶺算法中的分水點(diǎn)較準(zhǔn)確地定位，因此改善了傳統(tǒng)分水嶺算法中易產(chǎn)生過分割的缺陷。選取圖像去噪、平滑、濾波預(yù)處理后的圖像作為輸入圖像，對(duì)其采用結(jié)合梯度特征的最大類間方差法進(jìn)行分割，其分割結(jié)果分別如圖4-6和圖4-7所示，其中圖4-6為可見光圖像閾值分割圖像，圖4-7為紅外圖像閾值分割圖像；之后再對(duì)閾值分割后的圖像進(jìn)行分水嶺分割，其分割結(jié)果分別如圖4-8和圖4-9所示，其中圖4-8為可見光圖像結(jié)合閾值算法的分水嶺分割圖像，圖4-9為紅外圖像結(jié)合閾值算法的分水嶺分割圖像。

圖4-6 可見光圖像閾值分割圖像

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，結(jié)合閾值算法的分水嶺算法比只使用分水嶺算法的分割效果要好，該算法消除了易造成過多區(qū)域的極小值，使分水嶺算法的分水點(diǎn)較準(zhǔn)確地定位，同時(shí)去除了大部分的復(fù)雜背景，并且也得到了具有一定意義的邊界特征的分割圖像，從而改善了傳統(tǒng)分水嶺算法中易產(chǎn)生過分割的缺陷。

圖4-7 紅外圖像閾值分割圖像

圖4-8 可見光圖像結(jié)合閾值分割算法的分水嶺分割圖像

圖4-9 紅外圖像結(jié)合閾值分割算法的分水嶺分割圖像