4.2　三角函數、解三角形、平面向量高考小題實戰典型例題

4.2.1　代數法

例4-8　在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，則△ABC的形狀是（　　）

A.銳角三角形　　B.直角三角形　　

C.鈍角三角形　　D.不能確定

解析：

傳統方法思路:三角函數，正弦定理，余弦定理。缺點是相當麻煩，還不好理解。

周老師解題法:代特殊值。

選項A，若A=B=C=，

左邊sin2A+sin2B=sin2+sin2，右邊sin2C=，而，故A錯；

選項B，若A=B=，C=，

　　　

左邊sin2A+sin2B=sin2+sin2=1，

右邊sin2C=12=1，而1=1，故B錯；

選項C，若A=B=，C=，

左邊sin2A+sin2B=sin2+sin2，

右邊sin2C=sin2，而，故C對；

故選C。

例4-9　實數a，b均不為零，若=tanβ，且β－α=，則=　　　　。 

A.　　　　B.　　　　

C. －　　　　D. －

解析：

傳統方法思路:三角函數計算。缺點是麻煩，容易出錯。

周老師解題法:代數。

令α=0，β=，

原式中的等式可變為=tan，

即，故選B。

故選B。

例4-10　若A、B是銳角△ABC的兩個內角，則點P（cosB－sinA，sinB－cosA）在　　　　。 

A.第一象限　　　　B.第二象限　　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

解析：

傳統方法思路:三角函數計算。缺點是易出錯且不好理解。

周老師解題法:代數。

令A=B=，則cosB－sinA=<0，sinB－cosA=>0，

所以（－，+），故在第二象限。

故選B。

例4-11　（較難） 已知f（x）=sinx+cosx+sinxcosx，f（x）的最小值是　　　　。 

解析：

傳統方法思路:三角函數各種公式變形；缺點是特別麻煩，還容易錯。

周老師解題法:代數。

詳細解析如下（可作為大題解題步驟）:

令sinx+cosx=t，兩邊平方（sinx+cosx）2=t2，

得到sin2x+cos2x+2sinxcosx=t2，

即1+2sinxcosx=t2，所以sinxcosx=，

故sinx+cosx+sinxcosx=t+t2+t－，

變成了初中的二次函數，很明顯，在t∈[－]時，最小值為－1。

答案:－1。

為什么t∈[－]呢?以下給出解釋，

sinx+cosx=（sinx·+cosx·）

　　　　　=（sinx·sin+cosx·sin）=sin（x+）