4.1.2　向量的線性運算

（1）向量的概念

① 向量的概念及表示　在高中階段，我們暫且把具有大小和方向的量稱為向量。

從點A位移到點B，用線段AB的長度表示位移的距離，在點B處畫上箭頭表示位移的方向，這時我們說線段AB具有從A到B的方向.具有方向的線段，叫作有向線段。點A叫作有向線段的始點，點B叫作有向線段的終點。

如果，那么的長度表示的大小，也叫作的長度（或模），記作||。

兩個向量和同向且等長，即和相等，記作。

通過有向線段的直線，叫作的基線。

如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行。這就是說，共線向量的方向相同或相反。向量平行于向量，記作∥。如果向量=λ，則∥；反之，如果∥，且≠0，則一定存在唯一一個實數λ，使=λ。

長度等于零的向量，叫作零向量，記作。零向量的方向不確定，在處理平行問題時，通常規定零向量與任意向量平行。

② 向量的加法　

對于零向量與任一向量的和有

③ 向量的減法　 （任意）

=－

④ 數乘向量　數乘向量運算滿足下列運算律:

（λ+μ）=λ+μ

λ（μ）=（λμ）

λ（）=λ+λ

⑤ 單位向量　給定一個非零向量，與同方向且長度等于1的向量，叫作向量的單位向量。如果的單位向量記作，有=||·，或。

（2）向量的分解與向量的坐標運算

① 向量的分解　如果和是一平面內的兩個不平行的向量，那么該平面內的任一向量，存在唯一的一對實數a1、a2，使=a1+a2。

② 向量的直角坐標運算

=（x1，y1），=（x2，y2），

||= ，

，

||=

=（x1+x2，y1+y2）

·=x1x2+y1y2

⊥?·=x1x2+y1y2=0

∥=x1y2－x2y1=0

（3）平面向量的數量積

① 兩個向量的夾角　已知兩個非零向量、的夾角可以記作<>，并規定0≤<>≤π。

② 向量的數量積

·=x1x2+y1y2=||||cos<>

cos<>=

③ 向量求斜率

k==tanα

（4）向量在軸上的正射影　已知向量和軸?。作，過點O、A分別作軸?的垂線，垂足分別為O1、A1，則向量叫作向量在軸?上的正射影（簡稱射影），該射影在軸?上的坐標，稱作在軸?上的數量或軸?的方向上的數量。

在軸?上正射影的坐標記作a1，向量的方向與軸?的方向所成的角為θ，則三角函數中的余弦定義有a1=||cosθ。