2.4　集合的高考試題實(shí)戰(zhàn)典型例題

為了鞏固所學(xué)的集合知識(shí)，我們來(lái)做一些典型的例題。

例2-1　設(shè)集合A={a，b}， B={b，c，d}， 則A∪B=（　　）

A.{b}　　B.{b，c，d}　　C.{a，c，d}　　D.{a，b，c，d}

解析：求集合A與集合B的并集，也就是把集合A的元素和集合B的元素都放在一起，得到:a，b，b，c，d。

故A∪B={a，b，c，d}，選D。

例2-2　設(shè)a、b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，則b－a等于（　　）

A.1　　B.－1　　C.2　　D.－2

解析：

第一步，分母不能為0，所以a≠0；

第二步，由于兩個(gè)集合相等，只能a+b=0，即a=－b，

得到=－1，所以b=1，a=－1；

第三步，b－a=1－（－1）=2。

故選C。

例2-3　設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足A?B?I，則下列各式中錯(cuò)誤的是（　　）

A.（?IA）∪B=I　　B.（?IA）∪（?IB）=I

C.A∩（?IB）=?　　D.（?IA）∩（?IB）=?IB

解析：

這種題看似非常麻煩，當(dāng)然，如果你用基礎(chǔ)知識(shí)去推導(dǎo)，的確非常麻煩。解決這種題的較好的方法就是維恩圖法，但是不好理解。其實(shí)，最簡(jiǎn)單的方法是代數(shù)去做。

較好的方法

如圖2-10所示，可知B錯(cuò)，故選B。

最好的方法

第一步，令A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}；

第二步，分別驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)

選項(xiàng)A， （?IA）∪B={2，3}∪{1，2}={1，2，3}=I

選項(xiàng)B， （?IA）∪（?IB）={2，3}∪{3}={2，3}≠{1，2，3}=I

選項(xiàng)C， A∩（?IB）={1}∩{3}=?

選項(xiàng)D， （?IA）∩（?IB）={2，3}∩{3}={3}=?IB

我們發(fā)現(xiàn)，只有選項(xiàng)B錯(cuò)誤。

故選B。

例2-4　集合M={xlgx>0}，N={xx2≤4}，則M∩N=（　　）

A.（1，2）　　B.[1，2）　　

C.（1，2]　　D.[1，2]

解析：

第一步，先看集合M，由lgx>lg1=0得到x>1；

第二步，再看集合N，由x2≤4得到－2≤x≤2；

第三步，求M和N的交集（圖2-11），M∩N=（1，2]。

故選C。

例2-5　已知全集U=R，則正確表示集合M={－1，0，1}和N={xx2+x=0}關(guān)系的維恩圖是（　　）

A.　　B.　　

C.　　D.

解析：

第一步，求出集合N，得到N={－1，0}；

第二步，我們找到關(guān)系，N?M?U；

故選B。

例2-6　已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，則A∪B=　　　　。 

解析：

第一步，把集合A和集合B的元素放在一起，得到1，2，4，2，4，6；

第二步，消去重復(fù)的元素，得到1，2，4，6。

所以A∪B={1，2，4，6}

答案:{1，2，4，6}。

例2-7　設(shè)集合A={x－<x<2} ，B={xx2≤1}，則A∪B=（　　）

A.{x－1≤x<2}　　B.{x－<x≤1}

C.{xx<2}　　D.{x1≤x<2}

解析：

第一步，求出集合B的不等式，得到－1≤x≤1；

第二步，求出集合A和集合B的并集（圖2-12），得到{x－1≤x<2}。

故選A。

例2-8　已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為（　　）

A. 2　　B. 3　　C. 8　　D. 10

解析：

由x∈A，y∈A，x－y∈A，用A中元素:

當(dāng)x=1時(shí)，y取不到，沒(méi)有元素；

當(dāng)x=2時(shí)，y=1，1個(gè)元素；

當(dāng)x=3時(shí)，y=1或2，2個(gè)元素；

當(dāng)x=4時(shí)，y=1或2或3，3個(gè)元素；

當(dāng)x=5時(shí)，y=1或2或3或4，4個(gè)元素。

故1+2+3+4=10個(gè)。

故選D。

例2-9　集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，則a的值為（　　）

A. 0　　B. 1　　C. 2　　D. 4

解析：

第一步，在{0，1，2，4，16}中，把集合A和集合B里面能確定的數(shù)字都劃掉，剩下4和16；

第二步，集合A和集合B中剩下a和a2，對(duì)應(yīng)4和16，所以a=4。

故選D。

例2-10　已知集合A={x∈R3x+2≥0}，

B={x∈R（x+1）（x－3）>0}，則A∩B=（　　）

A.（－∞，－1）　　B.（－1，－）　　C.（－，3）　　D.（3，+∞）

解析：

傳統(tǒng)方法思路

第一步，算出集合A中的不等式，得到x≥－；

第二步，用穿線法解不等式（x+1）（x－3）>0，

得到x>3或x<－1；

第三步，求出第一步和第二步的交集（圖2-13），為（3，+∞）。

故選D。

特殊值思路　

第一步，找出各選項(xiàng)不同之處，發(fā)現(xiàn)最特殊的是兩個(gè)無(wú)窮；

第二步，先將正無(wú)窮代入集合A和集合B中，取100，分別滿足集合A和集合B。

故選D。

例2-11　已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，

N={5，6，7}，則?U（M∪N）=（　　）

A.{5，7}　　B.{2，4}　　C.{2，4，8}　　D.{1，3，5，6，7}

解析：

第一步，M∪N={1，3，5，6，7}；

第二步，?U（M∪N）={2，4，8}。

故選C。

例2-12　設(shè)集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，則?UM=（　　）

A. U　　B.{1，3，5}　　C.{3，5，6}　　D.{2，4，6}

解析：

把1，2，3，4，5，6消掉1，2，4，得到3，5，6。

故選C。

例2-13　已知全集U=R，集合M={x－2≤x－1≤2}和N={xx=2k－1，k=1，2，3…}的維恩圖如圖2-14所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（　　）個(gè)

A. 3個(gè)　　B. 2個(gè)　　

C. 1個(gè)　　D.無(wú)窮多個(gè)

解析：

第一步，由M={x－2≤x－1≤2}，得到M={x－1≤x≤3}；

第二步，由N={xx=2k－1，k=1，2，3…}知道x是奇數(shù)；

第三步，這個(gè)維恩圖表示交集，所以M∩N={1，3}。

故選B。

例2-14　設(shè)集合M={－1，0，1}，N={xx2=x}，則M∩N=（　　）

A.{－1，0，1}　　B.{0，1}　　C.{1}　　D.{0}

解析：

第一步，把N={xx2=x}解出來(lái)，得到N={0，1}；

第二步，求出M∩N={0，1}。

故選B。

例2-15　某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26、15、13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有　　　　人。 

解析：

該題如果列方程組或者維恩圖有些麻煩。我們利用

card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）－card（A∩B）

－card（B∩C）－card（C∩A）+card（A∩B∩C）來(lái)做。

設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)構(gòu)成的集合分別為A，B，C。由條件知，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，故不可能出現(xiàn)一名同學(xué)同時(shí)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組， 所以card（A∩B∩C）=0，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，card（A∩B）=6，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，card（B∩C）=4，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有x人，card（C∩A）=x，

所以，根據(jù)公式得到36=26+15+13－6－4－x+0

解得，x=8

所以，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人。