1.1 邏輯的抽象與表示

本書提到的“0”“1”不是數值型數據，是表示兩種對立狀態的數字。

如果某電路中只有兩種穩定的電壓：高電平和低電平，在研究時可用數字0、1與之一一對應表示。從而將對電平的研究轉化為對數字0、1的研究，將對電路內部規律的研究轉換為由數字延展的數學規律的研究，這種電路稱為數字電路。在數字電路中只存在高電平和低電平兩種對立的、相反的電平狀態，表示它們的0、1兩個數值并不代表具體的數值大小，而是相反的、對立的兩種條件或狀態。

對于邏輯分析過程，一般要根據多個條件的滿足與否，決定結果的成立與否，每個條件具有“滿足”和“不滿足”兩種取值，結果具有“成立”和“不成立”兩種取值，條件與結果都具有二值性，所以條件和結果都可以用0、1兩個數字進行表示。

無論是電路中的0、1，還是邏輯分析過程中的0、1，都是某個過程中對立且僅有的兩個邏輯常量，也就是說常量具有二值性，而且是相反的兩種條件或狀態。這種常量存在于邏輯問題的抽象過程中。0、1是邏輯學的兩個常量，也是全部常量。

我們可以通過對邏輯學的研究，尋找一定的邏輯規律，同時研究數字電路與邏輯學的關系，研究是否可以用邏輯學的規律去實現數字電路的分析與設計。

1.1.1 邏輯的抽象

世界上的所有事物與過程都存在著一定的矛盾，矛盾是永恒存在和對立的。我們針對對象和過程尋找矛盾產生的條件，也可根據矛盾存在的原因推理矛盾可能存在的結果，這個過程稱為邏輯推理過程，也是邏輯問題具體抽象的過程，即把研究對象和事件過程分解為邏輯條件、邏輯結果及條件和結果間的邏輯關系（原因）的抽象過程。

上述描述可歸結為邏輯問題。邏輯就是針對研究對象的研究（抽象）性思維規律，邏輯學就是關于思維規律的學說。研究對象可以是人認識的一切東西，包括客觀的事物、現象，人的感覺、表象、思想意識、情感意志等。抽象思維規律是指邏輯的研究規則，就是研究時有理有據，有原因有結果，有條件有結果。從狹義來講，邏輯就是指形式邏輯或抽象邏輯，是指人的抽象思維的邏輯；廣義來講，邏輯還包括具象邏輯，即人的整體思維的邏輯。就本書的研究而言，是利用狹義的邏輯進行邏輯研究的，狹義的邏輯即抽象邏輯。

抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質性的特征，而舍棄其非本質的特征。例如蘋果、香蕉、生梨、葡萄、桃子等，它們共同的特性就是水果。得出水果概念的過程，就是一個抽象的過程。要抽象，就必須進行比較，沒有比較就無法找到在本質上共同的部分。共同特征是指那些能把一類事物與它類事物區分開來的特征，這些具有區分作用的特征又稱本質特征。因此抽取事物的共同特征就是抽取事物的本質特征，舍棄非本質的特征。所以抽象的過程也是一個裁剪的過程。在抽象時，同與不同，取決于從什么角度上來抽象。抽象的角度取決于分析問題的目的。

而抽象邏輯則是通過調查研究，根據分析結果的需要，去抽象所有對象的共同特征，并根據共同特征存在與否（存在條件），確定結果的成立與否（結果狀態），即將具體化的邏輯推理過程轉換為條件決定結果的形式化表示過程。條件決定結果的依據，是抽象邏輯中的研究規律，這里可稱為邏輯關系，邏輯關系是邏輯學中的運算關系。

【例1.1】判斷蘋果、桃子、菠菜是否都是水果？找出邏輯條件、邏輯結果及邏輯關系。

分析：從題目要求來看，我們要判斷的結果是“蘋果、桃子、菠菜是否都是水果？”，這個結果具有兩種取值：是水果或不是水果，這是指邏輯結果。那么如何根據邏輯條件判斷該結果呢？顯然要同時判別蘋果是否為水果、桃子是否為水果、菠菜是否為水果，每一個判別只有兩種取值：滿足這個條件還是不滿足條件，這兩個為邏輯條件的對立取值。根據三個邏輯條件的滿足與否決定邏輯結果是否都是水果，這就是邏輯關系。如果三個條件都是水果，則邏輯輸出結果都是水果。

對于上述邏輯結果、邏輯條件、邏輯關系的分析過程，就是將事件進行邏輯抽象的過程。我們可以將該抽象過程以二維表格的形式體現，該表格首先羅列出邏輯條件的所有可能取值，然后根據邏輯關系計算每種取值的結果。邏輯條件有3個，每個邏輯條件有兩種取值，根據乘法定理，邏輯條件取值共有2 ×2 ×2 = 8種，三個條件從不滿足條件開始取值，采用從高位到低位、從不滿足到滿足的交替變化，從而獲得表1-1所示的水果判別邏輯抽象表。

針對表中左側三列條件的取值，根據邏輯關系逐行進行判斷，只有最后一行都滿足條件，符合邏輯關系的要求，所以輸出結果為是，其他輸出結果為否；而因為菠菜是蔬菜而不是水果，滿足倒數第2行的條件，因此實際的邏輯結果為否。這種用二維表格進行邏輯關系抽象的方法比較直觀，表示條件全面，便于觀察，能夠對抽象過程的反映一目了然。

上述抽象過程存在一個問題，就是蘋果、桃子、菠菜可以直接指定為水果、水果、蔬菜，而分析過程需要逐一列舉其是否為水果，這個過程是否是多余的呢？這里有先入為主的原因存在，是因為我們知道它們是否是水果，而判斷過程應該把它們看做是未知的，需要進行調查研究與取證，去證明它們在抽象過程中應該具有的所有可能邏輯條件，用客觀分析代替主觀判斷，實現邏輯抽象的完整性。

仸何事物和過程都可以進行邏輯抽象。

物體可以看做是由客觀存在的“元素”組成的，元素“存在與否”是邏輯狀態，用1表示“有元素”，而用0表示“無元素”，用1、0代替物體中的元素，則將物體轉換為邏輯表示。例如，對蘋果圖像進行等仹分割，分解為多個方形元素，對屬于蘋果組成部分的元素用1表示，不屬于蘋果組成部分的元素用0表示，以行列形式排列的二進制數，就是蘋果圖形的邏輯表示。

過程可以抽象為由邏輯條件去推導邏輯結果的實現，根據邏輯條件推導出邏輯結果的依據稱為邏輯關系。邏輯條件與邏輯結果的取值具有二值性，也就是取值是對立的、相反的。三評委表決過程是根據評委“投票與否”“同意與否”確定表決是否通過，采用少數服從多數的邏輯關系。邏輯條件是指每個評委同意與否，3個評委對應 3 個邏輯條件，邏輯條件的取值是“同意與不同意”，或者是“投票與不投票”；邏輯結果是表決結果通過或不通過。

邏輯抽象是實現邏輯問題的主要方法。

1.1.2 邏輯的數字表示

通過對事物或過程進行邏輯抽象，可以得到邏輯條件、邏輯結果及邏輯關系，而邏輯條件和邏輯結果具有二值性。根據前面所述，可以用數字0、1代替邏輯條件或邏輯結果的兩種對立的取值，用數字表示文字含義，可以把語言化的邏輯分析過程轉換為邏輯數學的分析過程，在研究時更容易記憶和尋找規律，這門數學稱為邏輯代數。和代數一樣，邏輯代數具有常量、變量、運算符、表達式、定律與規則等。其中常量0、1不是兩個數值，表示條件“是否滿足”或結果“是否發生”的兩種狀態。

數字0、1是兩個相對立的數字，邏輯條件有兩種相對立的取值，它們之間可以一一對應表示。如果用數字“0”表示不滿足的條件取值，用數字“1”表示滿足的條件取值，這稱為正邏輯表示法；反之，如果用數字“1”表示不滿足的條件取值，用數字“0”表示滿足的條件取值，稱為負邏輯表示法。本書一般采用正邏輯表示法。

采用正邏輯表示法，用數字“0”表示邏輯條件或邏輯結果的“否”，用數字“1”表示邏輯條件或邏輯結果的“是”。而對于“蘋果滿足為水果與否”等3個邏輯條件，以及“是否全是水果”的邏輯結果，可以分別用未知邏輯變量A、B、C、F表示，則把表1-1轉換為正邏輯表示的水果判別邏輯表，如表1-2所示。

表1-2由邏輯變量和數字“0”“1”組成，“0”視為不滿足條件或結果不成立，“1”視為滿足條件或結果成立，3個條件變量的不同取值組合，反映了所有可能出現的邏輯條件情況，以及對應的邏輯結果。用數字代替邏輯條件和邏輯結果進行表示，讓邏輯過程的分析更有規律性，這種用數字表示的邏輯表稱為真值表。真值表將邏輯問題轉化為數學問題，從而可以尋找邏輯學的研究規律。

1.1.3 邏輯學研究方法

根據前面所述，仸何的事物與過程都可以抽象為邏輯問題，即抽象出所有邏輯條件變量、邏輯結果變量及找出它們之間的邏輯關系，并為邏輯條件和邏輯結果的兩種取值指定用“0”還是用“1”表示。然后列出真值表，自小到大列舉所有邏輯條件的可能取值，從而根據邏輯關系求出邏輯結果的數值，將邏輯問題轉換為邏輯代數。最后用邏輯代數的定義、公式、定律去實現和表達邏輯問題。

對于數字電路，我們用數字“1”“0”表示高低電平，從而將對電路電平的研究，轉換為對邏輯代數的研究。可以把數字電路的研究看做邏輯代數研究的特例，或者把數字電路看做邏輯代數的一種表示形式。