任務1.1 數制與碼制

人們在生產和生活中，創造了各種不同的計數方法。采用何種方法計數，是根據人們的需要和方便而定的。由數字符號構成且表示物理量大小的數字和數字組合，稱為數碼。多位數碼中每一位的構成方法，以及從低位到高位的進制規則，稱為數制（或計數制），又稱進制。在數字電路中，往往用“0”和“1”組成的二進制數碼表示數值的大小或者一些特定的信息，這種具有特定意義的二進制數碼稱為二進制代碼，代碼的編制過程稱為編碼。

1.1.1 數制

1．幾種常用的數制

我們在日常生活中，習慣于用十進制，但在數字電路及其系統中，常用的是二進制。除此之外，還有八進制、十六進制等數制。

通常，十進制數用（N）₁₀或（N）_D表示，二進制用（N）₂或（N）_B表示，八進制用（N）₈或（N）_O表示，十六進制用（N）₁₆或（N）_H表示。

（1）十進制（Decimal）

十進制是我們最熟悉的一種數制，它的基數為10，用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10個數碼（或系數），按“逢十進一”的規律計數，例如，9+1=10。

任何一個十進制數都可以寫成以10為底的冪的求和式，即其位權展開式為

式中，i為位數，從整數最低位（個位）依次往高位，i分別取0、1、…、n-1共n位整數位，從小數最高位（十分位）依次往低位，i分別取-1、-2、…、-m共m位小數；a_i為第i位的數碼；10ⁱ為第i位的權值。

例如，（143.75）₁₀=1×10²+4×10¹+3×10⁰+7×10^-1+5×10^-2

式中的注腳10表示十進制，或者說以10為“基數”；各位數的權為10的冪；1、4、3、7、5稱為系數。

（2）二進制（Binary）

數字系統中廣泛采用二進制數，這是因為數字電路通常只有兩種基本狀態，比如電位的高和低、脈沖的有和無、晶體管的導通和截止。二進制中只有0、1兩個數字符號，基數為2，計數規律是“逢二進一，借一當二”，例如，1+1=10。

任何一個二進制數都可以表示成以2為底的冪的求和式，即其位權展開式為

例如，（10010）₂=1×2⁴+0×2³+0×2²+1×2¹+0×2⁰=（18）₁₀

從上例可以看出，5位二進制數（10010）₂可以表示為十進制數（18）₁₀。由于數值越大，二進制的位數就越多，讀寫不方便，且容易出錯。所以，數字系統中還用到八進制和十六進制。

（3）八進制（Octal）

八進制的數碼為0、1、2、3、4、5、6、7共8個數碼，基數為8。它的計數規則是“逢八進一，借一當八”，例如，7+1=10。

其位權展開式為

例如，（116）₈=1×8²+1×8¹+6×8⁰=（78）₁₀

（4）十六進制（Hexadecimal）

十六進制是以16為基數的計數體制，它有0～9、A、B、C、D、E、F共16個數碼，其計數規則是“逢十六進一，借一當十六”，例如，F+1=10。

其位權展開式為

例如，（3F）₁₆=3×16¹+15×16⁰=（63）₁₀

2．數制轉換

二進制、八進制、十六進制轉換成十進制時，只要將它們按位權展開式展開，將各項相加，便可得到相應進制數對應的十進制數，這里不再贅述。

（1）十進制數轉換成非十進制數

把十進制數轉換成為非十進制數可用“除基數取余法”。它是將十進制數逐次除以轉換數的基數，并依次記下余數，直到商為0。最先得到的余數為轉換數的最低位，最后得到的余數為轉換數的最高位。

例如，將十進制數157轉換為二進制數的步驟如下：

可得（157）₁₀=（10011101）₂

（2）二進制數與八進制數之間的轉換

1）二進制數轉換成八進制數。從低位到高位“三位并一位”，不足三位用0補足，分組后將每三位二進制數組用對應的八進數來代替，再按順序排列寫出對應的八進制數。

例如，（10110001）₂=（010，110，001）₂=（261）₈

2）八進制數轉換成二進制數?？梢愿爬椤耙晃徊鹑弧?，并去掉整數部分最高位的0即可。

例如，（315）₈=（011，001，101）₂=（11001101）₂

（3）二進制數與十六進制數之間的轉換

1）二進制數轉換成十六進制數。從低位到高位“四位并一位”，不足四位用0補足，分組后將每四位二進制數組用對應的十六進數來代替，再按順序排列寫出對應的十六進制數。

例如，（10111100010）₂=（0101，1110，0010）₂=（5E2）₁₆

2）十六進制數轉換成二進制數?？梢愿爬椤耙晃徊鹚奈弧?，并去掉整數部分最高位的0即可。

例如，（8D3C）₁₆=（1000，1101，0011，1100）₂=（1000110100111100）₂

幾種進制數的對照表見表1-1。

1.1.2 碼制

碼制即編碼的方式。在數字系統中，用0和1組成的二進制數碼不僅可以表示數值的大小，而且還常用來表示數字、文字或符號等特定信息，這種具有特定意義的二進制數碼稱為二進制代碼。二進制代碼的編制過程稱為“編碼”。編碼的形式有很多，本節只介紹常用的二-十進制編碼（又稱為BCD碼）和格雷碼。

1．常用的BCD碼

BCD碼是用一個4位二進制代碼表示1位十進制數字的編碼方法。4位二進制有16種不同的狀態組合，從中取出10種組合來表示0～9十個數字，可以有多種組合方式，因此BCD碼有許多種，見表1-2。

（1）有權BCD碼

1）8421BCD碼。從表1-2可以看出，8421BCD碼是選取0000～1001這10種狀態來表示十進制數0～9的，1010～1111為不用狀態。8421BCD碼實際上就是用按自然順序的二進制數來表示對應的十進制數的。因此，這種編碼最自然和簡單，很容易識別和記憶，與十進制數之間的轉換也比較方便。

8421BCD碼和一個4位二進制數一樣，從高到低的位權值分別是8、4、2、1，故稱為8421BCD碼。在這種編碼中，1010～1111這6種狀態是不用的，稱為禁用碼。用8421BCD碼可以十分方便地表示任意一個十進制數。例如，十進制數1314用8421BCD碼表示為

（1314）₁₀=（0001 0011 0001 0100）_8421BCD

2）5421BCD碼。從表1-2可以看出，5421BCD碼是選取0000～0100和1000～1100這10種狀態來表示十進制數0～9的，0101～0111和1101～1111這6種狀態為不用狀態。5421BCD碼從高到低的位權值分別是5、4、2、1。

可以看出，8421BCD碼和5421BCD碼都是用位權值來命名的，所有又稱為有權碼。

（2）無權BCD碼（余3碼）

余3碼選取的是0011～1100這10種狀態，與8421BCD碼相比，對應相同十進制數均要多3，故稱為余3碼。要將一位十進制數轉換成余3碼，只要先將十進制數轉換成8421BCD碼，然后再加上（0011）₂即可。可以看出，余3碼不是用位權值來命名的，所有又稱為無權BCD碼。

2．其他常用的編碼

（1）格雷碼

格雷碼又稱為循環碼。它有一個顯著特點，即任意兩個相鄰的數所對應的代碼之間只有一位不同，其余位都相同。這一特點使它在代碼的形成和傳輸時引起的誤差比較小。4位循環碼的編碼表見表1-3。

格雷碼和余3碼均屬于無權BCD碼，無權BCD碼沒有確定的權值，但它們各有特點，在不同的場合可以根據需要選用。

（2）奇偶校驗碼

信息的正確性對數字系統和計算機系統有著重要的意義，但在信息的存儲和傳送過程中，常由于某種隨機干擾而發生錯誤。所以希望在傳送代碼時能進行某種校驗以判斷是否發生了錯誤，甚至能自動糾正錯誤。

奇偶校驗碼就是一種具有自動檢錯的代碼。這種代碼由兩部分組成：一部分是信息位，可以是任意一種二進制代碼（如8421BCD碼）；另一部分是校驗位，它僅有一位。常見的奇偶校驗碼見表1-4。

從表1-4可以看出校驗位數碼的編碼方式：作為“奇校驗”時，使校驗位和信息位所組成的每組代碼中含有奇數個“1”；作為“偶校驗”時，使校驗位和信息位所組成的每組代碼中含有偶數個“1”。

奇偶校驗碼常用于代碼的傳送中對代碼接收端的奇偶性進行檢查：與發送端的奇偶性一致，則可認為接收的代碼正確；否則，接收的代碼錯誤。